Просмотр исходного текста страницы Участник:Dgerasimov/Численные методы

== Какие-то ключевые темы ==
* Модельное уравнение теплопроводности
* Элементы теории аппроксимации
* Построение разностных схем методом конечных объемов
* Вычислительная устойчивость разностных схем. Простой анализ устойчивости.
* Метод дифференциального (?) приближения для анализа усойчивости разностных схем
* Метод фон Неймана анализа устойчивости разностных схем
* Численное решение нелинейных уравнений
* Численное решение уравнений с несколькими пространственными переменными
* Уравнения Навье-Стокса
* Примеры точных решений уравнений Навье-Стокса. Течение Пуазейля.
* Случай круглой трубы
* Метод SMAC
* Модификация SMAC, расщепление в дельта-форме.
== Курсовой проект ==
TODO: запилить нормальное описание курсача
== sfdfsdf ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_and_implicit_methods W: Explicit and implicit methods]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Stiff_equation W: Stiff equation]
** есть пример исследования устойчивости уравнения <tex>y' = ky</tex>
* [http://www.geometrictools.com/Documentation/StabilityAnalysis.pdf Stability analysis for systems of differential equations]
** есть хороший пример с явным, невным методами Эйера и Рунге-Куттой
* [http://web.mit.edu/10.001/Web/Course_Notes/Differential_Equations_Notes/node3.html]
* Введение в разностные схемы — Самарский, стр. 19, 20

== Вопросы от Сегаля ==
=== 1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Свойства консервативности и транспортивности. Типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов. ===
<wikitex>Начально-краевые задачи:

# Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает распространение волны по струне, акустические волны в газе/жидкости)
# Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает релаксационное приближение системы к термодинамическому равновесию)
# Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}  + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение)

Классификация: [https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation#Equations_of_second_order wiki]
Блаблабла классификация: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3).

Че-то про общее уравнение теплопроводности, про то, что его сложно решить и упрощение до модельного

Модельное уравнение теплопроводности: $\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} - \varkappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = Q$ — линейное с постоянным коэффициентом.

TODO: что-то там про нелинейное и квазилинейное

TODO: частные случаи

TODO: какие-то свойства точных решений 

Свойства приближенных методов:

# Транспортивность - свойство приближенного решения воспроизводить теоретическую скорость передачи сигнала.
# Консервативность - свойство метода воспроизводить закон сохранения энергии.

Закон сохранения энергии в интегральной форме: $\frac{d}{dt} \int\limits_a^b T dx = -(uT - \varkappa \frac {\partial T}{\partial x})|_a^b$

Принцип максимума (Понтрягина?): $T_a \le T_0(x) \le T_b \implies T_a \le T(x, t) \le T_b$ (для уравнения теплопроводности).

TODO: типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов
</wikitex>

=== 2. Основные понятия теории разностных схем: дискретизация, разностный шаблон, явная и неявная схемы. Типовой алгоритм решения начально-краевой задачи для модельного уравнения теплопроводности. ===

=== 3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса. === 
IMG_1127, страница 12

Рихтмайтер, страница 54

Теорема Лакса: конечно-разностная задача аппроксимирует исходную задачу с порядком q и обладает свойством вычислительной устойчивости, то ее решение сходится к исходному решению с порядком q.

#* [http://en.wikipedia.org/wiki/Lax_equivalence_theorem Lax equivalence theorem]

=== 4. Построение разностных схем методом разложения в ряд Тейлора. Параметрические разностные схемы. ===
IMG_1128

=== 5. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом (методом конечных объемов). === 
=== 6. Прямой анализ устойчивости разностных схем для уравнения конвективного переноса. Число Куранта (сеточное число Струхала), критерий Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ). ===

IMG_1131

=== 7. Прямой анализ устойчивости разностных схем для параболического уравнения теплопроводности в неподвижной среде. Сеточное число Рейнольдса. === 
=== 8. Анализ устойчивости разностных схем методом дифференциального приближения (на примере явной схемы «против потока» для уравнения конвективного переноса). Понятие схемной релаксации. === 
=== 9. Анализ устойчивости разностных схем методом Фон Неймана. ===

IMG_1134

=== 10. Разностные методы решения нелинейных уравнений в частных производных. Частично-неявная аппроксимация, внутренние итерации по нелинейности, линеаризация по Ньютону. === 
=== 11. Разностные методы решения систем линейных уравнений в частных производных. Диагонально-неявная аппроксимация, векторная (матричная) прогонка. === 
=== 12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений. === 
=== 13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости. === 
=== 14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса. ===
IMG_1144

* [https://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations wiki]

Нелинейность, неустойчивость, неэволюционный характер уравнений (что это??)

Что-то про выброшенный эффект

Квазистационарность по полю давления, возникает трудность с поиском давления.

Wall, Inlet, Outlet?

Что-то про векторный потенциал.

=== 15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля. ===
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_equation wiki]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_flow_from_the_Navier%E2%80%93Stokes_equations wiki]

=== 16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом. ===
* [http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/pdf/fluid_flow_for_the_rest_of_us.pdf тык]

Частично-неявная схема, расщепление по физическим процессам

=== 17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка. ===

== Учебники от Сегаля ==
То, что присылалось в письме когда-то

# А.А. Самарский. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
# Р. Рихтмайер, К. Мортон. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.
# Д. Андерсон, Дж. Таннехил, Р. Плетчер. Вычислительная гидродинамика и теплообмен, т. 1,2. М.: Мир, 1990.
# К. Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей., т.1,2. М.: Мир, 1991.
# С. Патанкар. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Мир, 1984 (!!!).
# Г.Н. Дульнев, В.Г. Парфенов, А.В. Сигалов. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена. М.: Высшая школа, 1990.