Просмотр исходного текста страницы Факты из математического анализа

{{В разработке}}


== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью  <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==

{{Утверждение
|id = th1.
|statement = 
Пусть есть ряд состоящий из значений функций: 
<math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math>, притом <math> f_n </math> либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с какой скоростью?
|proof = 
Рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно возрастает.
Оценим ряд сверху: <math> {f(1) + \int \limits_{1}^{n} f(x) dx} \leq {f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)} \leq {\int \limits_{1}^{n + 1} f(x) dx} </math>
Аналогично оценим ряд снизу.

Теперь рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно убывает.
Оценим ряд снизу: <math> {\int \limits_{1}^{n} f(x) dx + f(n) \leq f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) } </math>.
Аналогично оценим ряд сверху: <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) \leq f(1) + \int \limits_{2}^{n} f(x) dx </math>.
Таким образом <math> \sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + O(1) </math>, где <math> O(1) = c + o(1) </math>.
В итоге <math> \sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + c + o(1) </math>.
}}

== Теорема о <math> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </math> ==

Рассмотрим пример, когда <tex> f(x) = \ln x </tex>

{{Теорема
|id = th2. 
|statement = <math> {\sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x)} </math>
|proof= Воспользуемся ранее полученным результатом ([[#th1|оценка ряда из монотонно возрастающих <tex> f_n </tex>]]).
<math> \sum \limits_{n \leq x} \ln (n) \leq \int \limits_{1}^{x + 1} \ln (t) dt = (x + 1) \ln (x + 1) - (x + 1) + 1 = x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x = x \ln (x) - x + O(\ln (x)) </math> - оценка сверху.
Также оценим снизу: <math> f(1) + \int \limits_{1}^{n} \ln (x) dx = x \ln(x) - x </math> - оценка снизу.
В итоге получаем то, что требовалось получить: <math> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </math>
}}

== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln n} = \ln \ln x + c + o(1) </tex> ==

== Формула Тейлора ==

== Теорема о <tex> \frac{1}{\ln (n+1)} = \frac{1}{\ln n} - \frac{1}{n \ln^2 n} + O(\frac{1}{n^2}) </tex> ==