Просмотр исходного текста страницы F2Cmax

<tex dpi=200>F2 \mid\mid C_{max} </tex>
{{Задача
|definition=Рассмотрим задачу:
*дано <tex>n</tex> работ и <tex>2</tex> станка,
*для каждой работы известно её время выполнения на каждом станке <tex>p_{ij}</tex>,
*каждую работу необходимо выполнить сначала на первом станке, а потом на втором. 
Требуется минимизировать время окончания выполнения всех работ. }}


== Описание алгоритма ==
Пусть <tex>p_{i1}</tex> {{---}} время выполнения <tex>i</tex>-ой работы на первом станке, а <tex>p_{i2}</tex> {{---}} на втором.<br/>
<ol>
<li>Алгоритм строит два списка <tex> L </tex> и <tex>  R </tex>. Изначально они пусты. Также поддерживается множество еще не распределенных по спискам <tex> L </tex> и <tex>  R </tex> работ <tex>X = \{i \mid  i = 1, \dots, n\}</tex>  </li>
<li> Пока множество <tex> X </tex> не пусто, распределяем работы по спискам следующим образом:
<ul>
<li> находим такие индексы <tex> i </tex> и <tex> j </tex>, что  <tex>p_{ij} = \min \{ p_{ij}  \mid i \in X \land j = 1, 2\}</tex>, </li>
<li>если минимум достигается на первом станке (иными словами <tex> j = 1 </tex>), то поставим работу <tex> i </tex> в конец  списка <tex> L </tex>, иначе ставим в начало списка <tex> R </tex>,  </li>
<li>удаляем работу <tex> i </tex> из множества <tex> X </tex>. </li>
</ul>
</li>
<li> Рассмотрим список <tex> T = L ~\texttt{++}~ R</tex> {{---}} конкатенацию <tex> L</tex> и <tex>R</tex>. Утверждается, что этот список является оптимальной перестановкой работ как на первом, так и на втором станке. Далее расставляем подряд работы на первом станке согласно перестановке, после чего ставим в том же порядке работы на втором станке, при этом избегая одновременного выполнения одной и той же работы. </li>

</ol>

==Доказательство корректности алгоритма==
{{
Теорема|statement=
Существует оптимальное расписание, в котором станки выполняют работы в одном и том же порядке.

|proof=
[[Файл:f2cmax_first_fixed.png|400px|thumb|right|Рис. 1]]
Предположим обратное: что не существует оптимального расписания с одинаковыми перестановками работ на станках. 
Рассмотрим некоторое оптимальное расписание с максимальным по длине общим префиксом на станках. Пусть его длина равна <tex> k </tex>, где <tex> k < n </tex>. Пусть на <tex> k </tex> позиции на первом и втором станках стоит работа <tex> i </tex>, а на втором станке на позиции <tex> k + 1 </tex> стоит работа <tex> j </tex>. Тогда заметим, что если мы поставим работу <tex> j </tex> на первом станке сразу после работы <tex> i </tex>, то последовательные работы с <tex> h </tex> по <tex> m </tex> (см. рис. 1) по-прежнему будут успевать выполниться, так как на втором станке они выполняются в текущем расписании после <tex> j </tex>. Таким образом нам удалось увеличить длину наибольшего общего префикса, а так как по нашему предположению она была максимальна, то предположение неверно и искомое расписание с одинаковым порядком выполнения работ на обоих станках существует.
}}

Таким образом задача сводится к поиску этой перестановки.  Докажем, что полученный приведенным выше алгоритмом список является оптимальной перестановкой работ. 

{{лемма
|id=lemma1
|about=1
|statement= Если для каких-то работ <tex> i </tex> и <tex> j </tex> из списка <tex> T </tex> верно неравенство <tex> \min(p_{i1}, p_{j2}) < \min(p_{j1}, p_{i2}) </tex>, то работа <tex> i </tex> встречается в списке <tex> T </tex> раньше, чем <tex> j </tex>.
|proof=
Пусть <tex> p_{i1} < p_{j2} </tex>. Случай <tex> p_{i1} > p_{j2} </tex> рассматривается аналогично. 

Так как <tex> p_{i1} < \min(p_{j1}, p_{i2}) \leqslant p_{i2} </tex>, то работа <tex> i \in L </tex>. Работа <tex> j </tex> либо стоит в <tex> R </tex>, либо она стоит в <tex> L </tex> и при этом <tex> p_{i1} < p_{j1} </tex>. Заметим, что в обоих случаях она расположена позже (в силу нашего построения), чем работа <tex> i </tex>.

}}

{{лемма
|id=lemma2
|about=2
|statement= Пусть имеем произвольное расписание, в котором работа <tex> j </tex> идет сразу же после работы <tex> i </tex>. Тогда если <tex> \min(p_{j1}, p_{i2}) \leqslant   \min(p_{i1}, p_{j2}) </tex>, то можем поменять местами эти работы без ухудшения целевой функции. 
|proof=
[[Файл:f2cmax_fixed.png|200px|thumb|right|Рис. 2 {{---}} Расположение последовательных работ]]
Пусть <tex> w_{ij} </tex> {{---}} время, прошедшее с начала выполнения работы <tex> i </tex> на первом станке до окончания работы <tex> j </tex> на втором станке. 

Рассмотрим возможные случаи расположения работ <tex> i </tex> и <tex> j </tex> (см. Рис. 2)
<ol>
<li>Работа <tex> i </tex> начинается на втором станке сразу же после завершения ее на первом
<ul>
* Выполнение работы <tex> i </tex> на втором станке заканчивается позже, чем работы <tex> j </tex> на первом.  
*: Тогда  <tex> w_{ij} = p_{i1} + p_{i2} + p_{j2} </tex>.
* Выполнение работы <tex> i </tex> на втором станке заканчивается раньше, чем работы <tex> j </tex> на первом.  
*: В этом случае <tex> w_{ij} = p_{i1} + p_{j1} + p_{j2}  </tex>. 
</ul>
</li>
<li>Работа <tex> i </tex> не может  начаться на втором станке сразу же после завершения ее на первом 

* Выполнение работы <tex> i </tex> на втором станке заканчивается раньше, чем работы <tex> j </tex> на первом. 
*: Здесь снова имеем <tex> w_{ij} = p_{i1} + p_{j1} + p_{j2}  </tex>.
* Выполнение работы <tex> i </tex> на втором станке заканчивается позже, чем работы <tex> j </tex> на первом.           
*: Пусть <tex> \Delta </tex> {{---}} время прошедшее с начала выполнения работы <tex> i</tex> на первом станке и до начала ее выполнения на втором станке. Получили, что <tex> w_{ij} = \Delta + p_{i2} + p_{j2} </tex>. 

</li>
</ol>

Таким образом, <tex> w_{ij} = \max (p_{i1} + p_{j1} + p_{j2}, p_{i1} + p_{i2} + p_{j2}, \Delta + p_{i2} + p_{j2}) </tex>.
 
Иначе говоря,   <tex> w_{ij} = \max (p_{i1} + \max(p_{j1}, p_{i2}) + p_{j2}, \Delta + p_{i2} + p_{j2}) </tex>.

Аналогично,  <tex> w_{ji} = \max (p_{j1} + \max(p_{i1}, p_{j2}) + p_{i2},  \Delta + p_{i2} + p_{j2}) </tex>

Так как <tex> \min(a, b) = - \max(-a, -b)</tex>, то из условия леммы имеем <tex> \max(-p_{i1}, -p_{j2}) \leqslant   \max(-p_{j1}, -p_{i2}) </tex>. Добавив <tex> p_{i1} + p_{i2} + p_{j1} + p_{j2} </tex> к обеим частям, получим, что <tex> p_{j1} + \max(p_{i1}, p_{j2}) + p_{i2} \leqslant p_{i1} + \max(p_{j1}, p_{i2}) + p_{j2} </tex>, то есть <tex> w_{ji} \leqslant w_{ij} </tex> и при смене местами работ <tex> i </tex> и <tex> j </tex> ответ не ухудшается. 

}}


{{
Теорема|statement=
Построенная перестановка <tex> T </tex> является оптимальной. 

|proof=
Рассмотрим произвольную перестановку <tex> S </tex>. Пусть перестановки <tex> T </tex> и <tex> S </tex> имеют общий префикс длины <tex> l-1 </tex>. Пусть <tex> i = T_{l} </tex> и <tex> j = S_{l} </tex>. Рассмотрим множество работ <tex>M = \{T_{r} \mid  r = l, \dots, n\}</tex>. Заметим, что для любой работы <tex> k \in M </tex> верно, что <tex> \min(p_{k1}, p_{i2}) \geqslant \min(p_{i1}, p_{k2}) </tex>, так как если было бы верно обратное, то есть <tex> \min(p_{k1}, p_{i2}) < \min(p_{i1}, p_{k2}) </tex>, то по лемме 1 было бы верно, что <tex> k </tex> идет раньше <tex> i </tex>, что неверно. 

Очевидно, что в перестановке <tex> S </tex> работа <tex> i </tex> будет стоять после <tex> j </tex> (иначе общий префикс был бы длиннее), то заметим, что в этой перестановке для работы <tex> i </tex> и для предыдущей работы <tex> w </tex> верно <tex> \min(p_{w1}, p_{i2}) \geqslant \min(p_{i1}, p_{w2}) </tex> (так как <tex> w \in M </tex>), то по лемме 2 можем поменять местами работы <tex> i </tex> и <tex> w </tex> без ухудшения ответа. То такими операциями сможем дойти до пары работ <tex> i </tex> и <tex> j </tex>, которые при смене увеличат общий префикс перестановок <tex> S </tex> и <tex> T </tex>. 

Таким образом любая перестановка сводится к нашей без ухудшения ответа такими операциями, что подтверждает оптимальность перестановки <tex> T </tex>

}}

==Псевдокод==

   '''function''' F2Cmax(p: '''int'''[n][2]): '''list<int>'''
      '''list<int>''' L = <tex>\varnothing </tex>
      '''list<int>''' R = <tex>\varnothing </tex>
      '''set<int>''' X = <tex>\{1, \ldots, n\}</tex>
      '''while''' X <tex>\neq \varnothing</tex>
         Найти i и j, такие что <tex>p_{ij} = \min \{ p_{ij} \mid i \in X \land j = 1, 2\}</tex>
         '''if''' j == 1
            L.addLast(i)
         '''else''' 
            R.addFirst(i)
         X.remove(i)
      '''list<int>''' T = L ++ R
      '''return''' T

==Сложность алгоритма==
Заметим, что на каждом шаге алгоритма мы выбираем минимум из оставшихся элементов за <tex>O(\log n)</tex> (либо предварительной [[Сортировка|сортировкой]], либо  с помощью любой структуры данных, поддерживающей нахождение минимума и удаление за <tex>O(\log n)</tex>, например, [[Двоичная_куча|кучи]]). А так как мы делаем  это <tex> n </tex> раз, алгоритм работает за <tex>O(n\log n)</tex>.

==См. также==
* [[J2ni2Cmax|<tex>J2 \mid n_i \leqslant 2 \mid C_{max}</tex>]]
* [[O2Cmax|<tex>O2\mid\mid C_{max}</tex>]]
* [[R2Cmax|<tex>R2\mid\mid C_{max}</tex>]]

==Источники информации==
* Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», 2006 г. {{---}} 175 стр. {{---}} ISBN 978-3-540-69515-8

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Теория расписаний]]