Просмотр исходного текста страницы Ppi1sumwu

<tex dpi = "200"> P \mid p_i=1 \mid \sum w_i U_i</tex>
{{Задача
|definition=
Дано <tex>m</tex> одинаковых станков, на которых нужно выполнить <tex>n</tex> работ. Любая работа на любом станке выполняется единицу времени. Для каждой работы есть время окончания <tex>d_i</tex> {{---}} ожидается, что до этого времени она будет закончена, и штраф <tex>w_i</tex>, который нужно будет выплатить в случае, если работа была закончена после <tex>d_i</tex>. Необходимо минимизировать суммарный штраф, который придется выплатить.
}} 
== Описание алгоритма ==
=== Идея ===
Оптимальное расписание для этой задачи будем задавать множеством работ <tex>S</tex>, которые будут выполнены в срок. Работы, которые не войдут в <tex>S</tex>, то есть завершатся с опозданием, могут быть выполнены в конце в любом порядке. Чтобы построить множество <tex>S</tex>, будем добавлять работы в порядке неуменьшения их времен окончания, и как только некоторая работа <tex>j</tex> опаздывает, удалим из <tex>S</tex> работу <tex>i</tex> с минимальным значением <tex>w_i</tex> и поставим <tex>j</tex> на ее место.

=== Псевдокод ===
Пусть есть работы <tex>1 \ldots n</tex> с временами окончания <tex>d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_n</tex>. Будем называть ''простоем '' временной интервал, в который на машине ничего не обрабатывается. Для определения работ, не укладывающихся в срок, заведем счетчик времени <tex>t</tex>, который будем модифицировать так, как показано ниже. Тогда работа <tex>j</tex> опаздывает, если <tex>\left\lfloor \dfrac{t}{m} \right\rfloor + p_j > d_j</tex>, где <tex>p_j = 1</tex>. Следующий алгоритм вычислит оптимальное множество <tex>S</tex>.

   <tex>S = \varnothing</tex>
   <tex>t = 0</tex>
   '''for''' <tex>j = 1</tex> '''to''' <tex>n</tex>
      '''if''' <tex>j</tex> опаздывает, и все более ранние простои заполнены
         найти <tex>i: w[i] = \min\limits_{k \in S}(w[k])</tex>
         '''if''' <tex>w[i] < w[j]</tex>
            заменить <tex>i</tex> на <tex>j</tex> в <tex>S</tex>
      '''else'''
         <tex>t = t + 1</tex>
         добавить <tex>i</tex> в <tex>S</tex> и поставить <tex>i</tex> на место самого раннего простоя
Таким образом, работы, не попавшие в <tex>S</tex>, будут иметь минимальное значение <tex>w_i</tex>.

=== Асимптотика ===
Данный алгоритм может быть реализован за время <tex>O(n\log{n})</tex>, например, если хранить значения <tex>w_i</tex>, которые принадлежат <tex>S</tex>, в [[Приоритетные очереди|приоритетной очереди]] и для множества <tex>S</tex> использовать любую структуру данных, у которой операции поиска и добавления элемента не хуже, чем <tex>O(\log{n})</tex>.

== Доказательство корректности ==
{{Теорема
|statement=
Вышеописанный алгоритм корректен и строит оптимальное множество работ <tex>S</tex>.
|proof=
Пусть <tex>S</tex> {{---}} множество работ, вычисленное с помощью алгоритма. Тогда все работы, находящиеся в этом множестве, будут выполнены в срок, то есть штраф за них налагаться не будет, так как если работа <tex>j</tex> заменила работу <tex>i</tex>, которая успевала выполниться до истечения <tex>d_i</tex>, то <tex>j</tex> так же успеет выполниться в срок, потому что <tex>d_i \leqslant d_j</tex>.<br>
Пусть <tex>S^*</tex> {{---}} множество работ без штрафов в оптимальном расписании. Определим работы <tex>l</tex> и <tex>k</tex> следующим образом:
* <tex>l</tex> {{---}} первая работа в <tex>S</tex>: <tex>l \notin S^*</tex>
* <tex>k</tex> {{---}} первая работа в <tex>S^*</tex>: <tex>k \notin S</tex>
Покажем, что в <tex>S^*</tex> работа <tex>k</tex> может быть заменена работой <tex>l</tex> без увеличения значения целевой функции. Рассмотрим два случая:
# Пусть <tex>l < k</tex>.
#:То, что <tex>k</tex> не принадлежит множеству <tex>S</tex>, значит, что либо на некотором шаге появилась опаздывающая работа <tex>j</tex>, которая заменила <tex>k</tex>, либо работа <tex>k</tex> опаздывала и <tex>w_k</tex> было меньше <tex>\min\limits_{i \in S}w_i</tex>, и поэтому она не была добавлена. В любом случае в это время работа <tex>l</tex> уже принадлежала <tex>S</tex>. Во втором случае очевидно, что <tex>w_k \leqslant w_l</tex>. То же неравенство выполняется и в первом случае, так как на этапе замены мы выбрали <tex>k</tex>, а не <tex>l</tex>. Следовательно, мы не ухудшим целевую функцию заменой <tex>k</tex> на <tex>l</tex>.
# Пусть <tex>l > k</tex>.
#:Замена работы <tex>k</tex> в <tex>S^*</tex> на работу <tex>l</tex> не противоречит условию, что за все работы в этом множестве штраф налагаться не будет, так как <tex>k</tex> выполнялась в срок, а <tex>d_k \leqslant d_l</tex> и все работы выполняются одинаковое количество времени. Следовательно, <tex>l</tex> так же будет выполнена в срок. Осталось доказать, что <tex>w_k \leqslant w_l</tex>. 
#:Пусть работа <tex>k_{i_0} = k</tex> была заменена работой <tex>i_0</tex>, а так же <tex>k_{i_1} \ldots k_{i_r}</tex> {{---}} последовательность работ из <tex>S</tex>, каждая из которых была на некотором шаге заменена работой <tex>i_1 \ldots i_r</tex> соответственно. Тогда <tex>i_0 < i_1 < \ldots < i_r</tex>.
#:[[Файл:Sh.jpg|370px|thumb|right|Рис. 1. <tex>i_v</tex> превосходит <tex>i_u</tex>.]]
#:Будем говорить <tex>i_v</tex> ''превосходит'' <tex>i_u</tex>, где <tex>u < v</tex>, если <tex>k_{i_v} \leqslant i_u</tex>. Тогда <tex>w_{k_{i_v}} \geqslant w_{k_{i_u}}</tex>, так как когда мы вставляли работу <tex>i_u</tex> мы выбрали для замены <tex>k_{i_u}</tex>, то есть ее вес был минимальным среди всех работ, находившихся на тот момент в <tex>S</tex>, включая <tex>k_{i_v}</tex>. Для большей ясности на рисунке 1 показано, в каком порядке располагаются эти работы относительно друг друга согласно их номерам.
#:Если из последовательности <tex>i_0 < i_1 < \ldots < i_r</tex> можно выделить подпоследовательность <tex>j_0 = i_0 < j_1 < \ldots < j_s</tex> со свойствами:
#:* <tex>j_{v + 1}</tex> превосходит <tex>j_v</tex>, где <tex>v \in [0 \ldots s - 1]</tex>
#:* <tex>j_{s - 1} < l \leqslant j_s</tex> ,
#:то <tex>w_l \geqslant w_{k_{j_s}} \geqslant \ldots \geqslant w_{k_{j_0}} = w_k</tex>, что доказывает теорему.
#:В противном случае найдем такую работу <tex>i_t</tex> с наименьшим <tex>t</tex>, что никакая работа <tex>i_v</tex>, где <tex>v > t</tex>, не превосходит <tex>i_t</tex>, причем <tex>i_t < l</tex>. По определению это значит, что после того, как работа <tex>i_t</tex> будет добавлена в <tex>S</tex>, ни одна работа <tex>i \leqslant i_t</tex> не будет удалена из этого множества. Так как <tex>i_t < l</tex>, то по определению <tex>l</tex> все работы, которые на момент добавления <tex>i_t</tex> находятся в <tex>S</tex>, так же должны принадлежать <tex>S^*</tex>. Покажем, что это приведет нас к противоречию.
#:Пусть <tex>S_t</tex> {{---}} множество <tex>S</tex> после удаления <tex>k_{i_t}</tex> и добавления <tex>i_t</tex>. Рассмотрим два случая:
#::<tex>(a)</tex> Если <tex>k^* = k_{i_t} > k</tex>, то есть <tex>d_{k^*} \geqslant d_k</tex>, то мы можем заменить <tex>k</tex> на <tex>k^*</tex> в <tex>S^*</tex>, сохранив условие, что <tex>S^*</tex> не содержит опаздывающих работ. Следовательно, множество <tex>S_t \cup \{k^*\}</tex> не содержит работ со штрафами, что противоречит построению <tex>S</tex>.
#::<tex>(b)</tex> Пусть <tex>k^* < k</tex>. Тогда все работы из <tex>S_t \cup \{k\}</tex> могут быть выполнены в срок, так как <tex>S_t</tex> и <tex>k</tex> принадлежат <tex>S^*</tex>. Более того, все работы из множества <tex>\{j \in S_t \mid j < k\}</tex> могут быть выполнены без опозданий. Таким образом, мы снова приходим к тому, что множество <tex>S_t \cup \{k^*\}</tex> не содержит работ со штрафами, что является противоречием.
}}

== См. также ==
* [[PpmtnriLmax|<tex>P \mid pmtn, r_i \mid L_{max}</tex>]]
* [[P2precpi1Lmax|<tex>P2 \mid prec, p_i = 1 \mid L_{\max}</tex>]]

== Источники информации == 
* Peter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer {{---}} с. 119-120 ISBN 978-3-540-69515-8

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Теория расписаний]]