Алгоритм Хопкрофта - История изменений

5.8.16.169: Перенаправление на Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

2020-06-14T11:15:19Z

Перенаправление на Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

Warrior: Содержимое страницы заменено на «Категория: Удалить»

2013-12-22T18:22:15Z

Содержимое страницы заменено на «Категория: Удалить»

Внесённые изменения

Warrior: /* Время работы */

2013-12-22T18:13:24Z

‎Время работы

Warrior: /* Реализация */

2013-12-22T18:03:02Z

‎Реализация

Warrior: /* Реализация */

2013-12-19T17:43:11Z

‎Реализация

Warrior: /* Реализация */

2013-12-19T17:35:27Z

‎Реализация

Warrior: /* Псевдокод */

2013-12-19T17:34:48Z

‎Псевдокод

Warrior: /* Реализация */

2013-12-19T17:31:19Z

‎Реализация

Warrior: /* Реализация */

2013-12-19T17:16:38Z

‎Реализация

Warrior: /* Реализация */

2013-12-19T17:06:32Z

‎Реализация

← Предыдущая		Версия 11:15, 14 июня 2020
Строка 1:		Строка 1:
−	[[~~Категория: Удалить~~]]	+	#перенаправление [[Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))]]

@@ Строка 191: / Строка 191: @@
 Пусть <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex>p \in Q</tex>. Тогда количество пар <tex>(C,a)</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которые мы удалим из очереди, не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex> для фиксированных <tex>a</tex> и <tex>p</tex>.
 |proof =
-Рассмотрим пару <tex>(C,a)</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которую мы удаляем из очереди. И пусть <tex>(C',a)</tex> следующая пара, где <tex>p \in C'</tex> и которую мы удалим из очереди. Согласно нашему алгоритму класс <tex>C'</tex> мог появиться в очереди только после операции <tex>replace</tex>. Но после первого же разбиения класса <tex>C</tex> на подклассы мы добавим в очередь пару <tex>(C'', a)</tex>, где <tex>C''</tex> меньший из образовавшихся подклассов, то есть <tex>|C''| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Так же заметим, что <tex>C' \subseteq C''</tex>, а следовательно <tex>|C'| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Но тогда таких пар не может быть больше, чем <tex>\log_2(|Q|)</tex>.
+Рассмотрим пару <tex>(C,a)</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которую мы удаляем из очереди. И пусть <tex>(C',a)</tex> следующая пара, где <tex>p \in C'</tex> и которую мы удалим из очереди. Согласно нашему алгоритму класс <tex>C'</tex> мог появиться в очереди только после операции <tex>\mathtt{replace}</tex>. Но после первого же разбиения класса <tex>C</tex> на подклассы мы добавим в очередь пару <tex>(C'', a)</tex>, где <tex>C''</tex> меньший из образовавшихся подклассов, то есть <tex>|C''| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Так же заметим, что <tex>C' \subseteq C''</tex>, а следовательно <tex>|C'| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Но тогда таких пар не может быть больше, чем <tex>\log_2(|Q|)</tex>.
 }}
@@ Строка 215: / Строка 215: @@
 *Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>O(\sum(|Inverse|))</tex> времени. Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|Inverse|)</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.
-*В [[#Лемма1 | лемме(1)]] мы показали, что в процессе работы алгоритма не может появится больше, чем <tex>2 |Q| - 1</tex> классов, из чего следует, что количество операций <tex>replace</tex> равно <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
+*В [[#Лемма1 | лемме(1)]] мы показали, что в процессе работы алгоритма не может появится больше, чем <tex>2 |Q| - 1</tex> классов, из чего следует, что количество операций <tex>\mathtt{replace}</tex> равно <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
 Итого, получается, что время работы алгоритма Хопкрофта не превышает <tex> O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)) + O(|\Sigma| |Q|) = O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.

@@ Строка 92: / Строка 92: @@
    '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
      <tex>(C, a) \leftarrow</tex> '''pop'''(<tex>\mathtt{S}</tex>)
-     <tex>T \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R</tex> '''split by''' <tex>(C, a) \}</tex>
+     <tex>T \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R</tex> splits by <tex>(C, a) \}</tex>
      '''for each''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T</tex>
        <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> '''split'''(<tex>R, C, a</tex>)
@@ Строка 115: / Строка 115: @@
      <tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}</tex>
      '''for each''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T'</tex>
-       '''if''' <tex>R</tex> '''split by''' <tex>(C, a)</tex>
+       '''if''' <tex>R</tex> splits by <tex>(C, a)</tex>
          <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> '''split'''(<tex>R, C, a</tex>)
          '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>

@@ Строка 90: / Строка 90: @@
    '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
      '''insert''' <tex> (\mathtt{min} (\mathtt{F, Q} \setminus \mathtt{F}), c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
-   '''while''' <tex>S \ne \varnothing</tex>
+   '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
      <tex>(C, a) \leftarrow</tex> '''pop'''(<tex>\mathtt{S}</tex>)
      <tex>T \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R</tex> '''split by''' <tex>(C, a) \}</tex>

@@ Строка 92: / Строка 92: @@
    '''while''' <tex>S \ne \varnothing</tex>
      <tex>(C, a) \leftarrow</tex> '''pop'''(<tex>\mathtt{S}</tex>)
-     <tex>T = \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R</tex> '''split by''' <tex>(C, a) \}</tex>
+     <tex>T \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R</tex> '''split by''' <tex>(C, a) \}</tex>
      '''for each''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T</tex>
        <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> '''split'''(<tex>R, C, a</tex>)

@@ Строка 28: / Строка 28: @@
 <tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.
 <tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
-   <tex>P \leftarrow \{ F, Q \setminus F \}</tex>
+   <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ \mathtt{F, Q} \setminus \mathtt{F} \}</tex>
-   <tex>S \leftarrow \varnothing </tex>
+   <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
    '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
-     '''insert''' <tex>(F, c)</tex> '''in''' <tex>S</tex>
+     '''insert''' <tex>(\mathtt{F}, c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
-     '''insert''' <tex>(Q \setminus F, c)</tex> '''in''' <tex>S</tex>
+     '''insert''' <tex>(\mathtt{Q} \setminus \mathtt{F}, c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
-   '''while''' <tex> S \ne \varnothing </tex>
+   '''while''' <tex> \mathtt{S} \ne \varnothing </tex>
-     <tex>(C, a) \leftarrow</tex> '''pop'''(<tex>S</tex>)
+     <tex>(C, a) \leftarrow</tex> '''pop'''(<tex>\mathtt{S}</tex>)
-     '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>P</tex>
+     '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex>
        <tex>R_1 = R \cap \delta^{-1} (C, a) </tex>
        <tex>R_2 = R \setminus R_1</tex>
        '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
-         '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>P</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
+         '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
-         '''for ''' <tex> c \in \Sigma </tex>
+         '''for''' <tex> c \in \Sigma </tex>
-           '''insert''' <tex>(R_1, c)</tex> '''in''' <tex>S</tex>
+           '''insert''' <tex>(R_1, c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
-           '''insert''' <tex>(R_2, c)</tex> '''in''' <tex>S</tex>
+           '''insert''' <tex>(R_2, c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
 Когда очередь <tex>S</tex> станет пустой, будет получено разбиение на классы эквивалентности, так как больше ни один класс невозможно разбить.

@@ Строка 109: / Строка 109: @@
    <tex>S \leftarrow \varnothing </tex>
    '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
-     <tex> insert \ (min (F, Q \setminus F), c)</tex> '''to''' <tex>S</tex>
+     '''insert''' <tex>(min (F, Q \setminus F), c)</tex> '''in''' <tex>S</tex>
    '''while''' <tex>S \ne \varnothing</tex>
-     <tex>(C, a) \leftarrow pop(S)</tex>
+     <tex>(C, a) \leftarrow</tex> '''pop'''(<tex>S</tex>)
      <tex>Inverse \leftarrow \{r \ | \ r \in Q, \ \delta(r, a) \in C\}</tex>
      <tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in P, \ R \cap Inverse \neq \varnothing\}</tex>
      '''for each''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T'</tex>
        '''if''' <tex>R</tex> '''split by''' <tex>(C, a)</tex>
-         <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex> split(R, C, a) </tex>
+         <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> '''split(<tex>R, C, a</tex>)
-         <tex>replace</tex> <tex>R</tex> '''in''' <tex>P</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
+         '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>P</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
          '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
            '''if''' <tex>(R, c)</tex> '''in''' <tex>S</tex>
-             <tex>replace \ (R, c)</tex> '''in''' <tex>S</tex> '''with''' <tex>(R_1, c)</tex> '''and''' <tex>(R_2, c)</tex>
+             '''replace''' <tex>(R, c)</tex> '''in''' <tex>S</tex> '''with''' <tex>(R_1, c)</tex> '''and''' <tex>(R_2, c)</tex>
            '''else'''
-             <tex>insert \ (min(R_1, R_2), c)</tex> '''to''' <tex>S</tex>
+             '''insert''' <tex>(min(R_1, R_2), c)</tex> '''in''' <tex>S</tex>
 Каждая итерация цикла <tex> while </tex> не может быть выполнена быстрее, чем за <tex> O(|Inverse|) </tex> для текущей пары <tex> (C,a)</tex>. Покажем, как достичь этой оценки.