Выпуклые функции - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:10:46Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.220.100.252 в 06:07, 1 сентября 2022

2022-09-01T06:07:14Z

Geralt: /* Определения */

2011-01-21T18:25:19Z

‎Определения

Rybak: +ссылка

2010-12-12T08:43:13Z

+ссылка

Komarov: /* Определения */

2010-12-06T06:01:58Z

‎Определения

192.168.0.2: ссылка на "следующий параграф"

2010-11-18T05:02:41Z

ссылка на "следующий параграф"

192.168.0.2: LOAAADS OF BUGS (куда смотрел наборщик вообще?)

2010-11-17T04:45:54Z

LOAAADS OF BUGS (куда смотрел наборщик вообще?)

Komarov в 05:28, 16 ноября 2010

2010-11-16T05:28:51Z

Komarov: /* Неравенство Йенсена */

2010-11-16T05:27:07Z

‎Неравенство Йенсена

Komarov: /* Неравенство Йенсена */

2010-11-16T05:25:44Z

‎Неравенство Йенсена

← Предыдущая		Версия 16:10, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	== Определения ==		== Определения ==

← Предыдущая		Версия 06:07, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	== Определения ==		== Определения ==

@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 {{Определение
 |definition=
-Выпуклая комбинация чисел <tex>x_k</tex> &mdash; это <tex>\bar x = \sum\limits_{i = 1}^n \alpha_kx_k</tex>
+Выпуклая комбинация чисел <tex>x_k</tex> &mdash; это <tex>\bar x = \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_kx_k</tex>
 }}

@@ Строка 20: / Строка 20: @@
 {{Определение
 |definition=
-Пусть <tex>f(x)</tex> задана на <tex>[a; b]</tex>. Тогда она выпукла вверх на этом отрезке, если
+Пусть [[Отображения|функция]] <tex>f(x)</tex> задана на <tex>[a; b]</tex>. Тогда она выпукла вверх на этом отрезке, если
 <tex>\forall x_1, x_2 \in [a; b] \forall \alpha \in [0; 1] \quad \alpha f(x_1) + (1 - \alpha) f(x_2) \leq f(\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2)</tex>.
 Если же всё время неравенство противоположно, то функция называется выпуклой вниз.

@@ Строка 27: / Строка 27: @@
 В силу того, что было сказано о выпуклой комбинации, определение корректно: <tex>\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2 \in [a; b]</tex>.
-Легко понять, что с геометрической точки это значит, что для выпуклой вверх функции её график будет лежать выше хорды.
+Геометрической смысл этого факта состоит в том, что для выпуклой вверх функции её график будет лежать выше хорды.
 Замечание: если <tex>f(x)</tex> выпукла вниз, то <tex>-f(x)</tex> выпукла вверх.

@@ Строка 92: / Строка 92: @@
 В качестве примера рассмотрим <tex>y = \ln x</tex>, <tex>y'' = \frac{-1}{x^2} \leq 0 \Rightarrow \ln x</tex> выпукла вверх.
-Это мы применим в следующем параграфе.
+Это мы применим в [[Неравенства_Гёльдера,_Минковского|следующем параграфе]].
 [[Категория:Математический анализ 1 курс]]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 == Определения ==
-Будем рассматривать отрезок <tex>[a; b]</tex>, набор чисел <tex>x_1, x_2, x_3, \ldots x_n \in [a; b]</tex> и коэффициенты <tex>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n > 0</tex>
+Будем рассматривать отрезок <tex>[a; b]</tex>, набор чисел <tex>x_1, x_2, x_3, \ldots x_n \in [a; b]</tex> и коэффициенты <tex>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \ge 0</tex>
 такие, что <tex>\sum\limits_{i = 1}^n \alpha_i = 1</tex>.
@@ Строка 36: / Строка 36: @@
 Неравенство Йенсена
 |statement=
-Пусть <tex>f(x)</tex> выпукла вверх на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\forall x_1; x_2 \ldots x_n \in [a; b]</tex> и их выпуклой комбинации выполнено неравенство
+Пусть <tex>f(x)</tex> выпукла вверх на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\forall x_1, x_2 \ldots x_n \in [a; b]</tex> и их выпуклой комбинации выполнено неравенство
 <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k f(x_k) \leq f\left(\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k\right)</tex>.
 |proof=
@@ Строка 51: / Строка 51: @@
 <tex>
 \sum\limits_{k = 1}^{n + 1} \alpha_k f(x_k) =
-s_n \sum\limits_{k = 1}^n \beta_k f(x_k) + \alpha_{n + 1}f(x_{n + 1}) \leq
+s_n \sum\limits_{k = 1}^n \beta_k f(x_k) + \alpha_{n + 1}f(x_{n + 1}) \leq</tex> (по предположению индукции) <tex>
-s_n f\left(\sum\limits_{k = 1}^n \beta_k x_k + \alpha_{n + 1}x_{n + 1}\right) \leq </tex> (так как <tex>s_n + \alpha_{n + 1} = 1</tex>)
+s_n f\left(\sum\limits_{k = 1}^n \beta_k x_k \right) + \alpha_{n + 1}f(x_{n + 1}) \leq </tex> (так как <tex>s_n + \alpha_{n + 1} = 1</tex>)
 <tex> f\left(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} \alpha_k x_k\right)</tex>
-Значит, шаг индукции проделан, нерваенство доказано для произвольного <tex>n</tex>.
+Значит, шаг индукции проделан, неравенство доказано для произвольного <tex>n</tex>.
 }}
@@ Строка 71: / Строка 71: @@
 <tex>f(x) - L_n(x) = \frac{f^{(2)}(c_x)}{2!}(x - x_0)(x - x_1)</tex>, <tex>x_0 \leq x \leq x_1</tex>.
-Если <tex>f^{(2)} = 0</tex> на <tex>\langle a; b\rangle</tex> то правая часть будет неотрицательная, так как <tex>x \in [x_0; x_1]</tex>, поэтому
+Если <tex>f^{(2)} \leq 0</tex> на <tex>\langle a; b\rangle</tex> то правая часть будет неотрицательная, так как <tex>x \in [x_0; x_1]</tex>, поэтому
-<tex>f(x) - L_n(x) \leq 0</tex>, так как <tex>x_0</tex> и <tex>x_1</tex> произвольны, то <tex>f</tex> выпукла вверх.
+<tex>f(x) - L_n(x) \geq 0</tex>, и т. к. <tex>x_0</tex> и <tex>x_1</tex> произвольны, то <tex>f</tex> выпукла вверх.
-Итак, <tex>f^{(2)} = 0 \Rightarrow f </tex> &mdash; выпукла вверх.
+Итак, <tex>f^{(2)} \leq 0 \Rightarrow f </tex> &mdash; выпукла вверх.
 Пусть <tex>f</tex> выпукла вверх. Будем считать, что <tex>f^{(2)}</tex> &mdash; непрерывна. <tex>x \in \langle a; b\rangle</tex>.
-<tex>x_0 = x - \Delta x</tex>, <tex>x_1 = x + \Delta x</tex>, где <tex>\Delta x</tex> &mdash; малое положительное число.
+Пусть <tex>x_0 = x - \Delta x</tex>, <tex>x_1 = x + \Delta x</tex>, где <tex>\Delta x</tex> &mdash; малое положительное число.
-<tex>f(t) - L_n(t) = \frac{f^{(2)}(c_t)}{2!} (t - x_0)(t - x_1), \, (t - x_0)(t - x_1) < 0 \Rightarrow f^{(2)}(c_t) \leq 0</tex>
+<tex>f(t) - L_n(t) = \frac{f^{(2)}(c_t)}{2!} (t - x_0)(t - x_1) \geq 0, \, (t - x_0)(t - x_1) < 0 \Rightarrow f^{(2)}(c_t) \leq 0</tex>
 <tex>c_t \in \langle x - \Delta x; x + \Delta x \rangle</tex>
-<tex>\Delta x \to 0 : x_0 \to x : f^{(2)}(x) \leq 0</tex>
+<tex>\Delta x \to 0 : c_t \to x : f^{(2)}(x) \leq 0</tex>
-Если <tex>f</tex> выпукла вверх, то <tex>f^{(2)} \leq 0</tex>.
+Итак, если <tex>f</tex> выпукла вверх, то <tex>f^{(2)} \leq 0</tex>.
 === Пример ===
-В качестве примера рассмотрим <tex>y = \ln x</tex>, <tex>y^{(2)} = \frac{-1}{x^2} \leq 0 \Rightarrow \ln x</tex> выпукла вверх.
+В качестве примера рассмотрим <tex>y = \ln x</tex>, <tex>y'' = \frac{-1}{x^2} \leq 0 \Rightarrow \ln x</tex> выпукла вверх.
 Это мы применим в следующем параграфе.
 [[Категория:Математический анализ 1 курс]]

@@ Строка 47: / Строка 47: @@
 <tex>\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} \alpha_k = 1</tex>, обозначим за <tex>s_n = \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k</tex>
-Пусть <tex>\beta_k = \frac{\alpha_k}{s_n}</tex>. Тогда <tex>\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} = 1</tex>. Тогда получаем: <tex>\sum\limits_{k = 1}^{n} \beta_k = 1</tex>.
+Пусть <tex>\beta_k = \frac{\alpha_k}{s_n}</tex>. Тогда получаем: <tex>\sum\limits_{k = 1}^{n} \beta_k = 1</tex>.
 <tex>