Гильбертовы пространства - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:38:25Z

rollbackEdits.php mass rollback

23.128.248.38 в 03:52, 1 сентября 2022

2022-09-01T03:52:52Z

Megabyte в 09:29, 27 января 2014

2014-01-27T09:29:07Z

Sementry: ЧА-ЩА – ПИШИ С БУКВОЙ А!!1

2013-02-17T15:23:46Z

ЧА-ЩА – ПИШИ С БУКВОЙ А!!1

Sementry в 17:01, 16 февраля 2013

2013-02-16T17:01:46Z

ArtemVasilyev в 11:40, 18 января 2013

2013-01-18T11:40:12Z

Sementry: исправил баги и добавил переводы строк для повышения читабельности

2013-01-17T17:55:56Z

исправил баги и добавил переводы строк для повышения читабельности

Sementry в 17:48, 17 января 2013

2013-01-17T17:48:36Z

Komarov: добавлено доказательство x=x_1+x_2

2013-01-14T23:49:08Z

добавлено доказательство x=x_1+x_2

Rybak в 20:53, 14 января 2013

2013-01-14T20:53:55Z

← Предыдущая		Версия 16:38, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=

← Предыдущая		Версия 03:52, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=

@@ Строка 135: / Строка 135: @@
 <tex> = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x, e_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x, e_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n  \langle x, e_k \rangle ^2 </tex>.
-Теперь, пусть <tex> \beta_k = (x, l_k) </tex>, имеем <tex> 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, e_k)^2 </tex>, устремив <tex> n </tex> к бесконечности, получим требуемое.
+Теперь, пусть <tex> \beta_k = (x, e_k) </tex>, имеем <tex> 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, e_k)^2 </tex>, устремив <tex> n </tex> к бесконечности, получим требуемое.
 }}

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Определение
 |definition=
-'''Скалярным произведением''' в действительном линейном пространстве <tex>X</tex> называется функция <tex>\langle \cdot, \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{R}</tex>, удовлетворяющяя следующим аксиомам:
+'''Скалярным произведением''' в действительном линейном пространстве <tex>X</tex> называется функция <tex>\langle \cdot, \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{R}</tex>, удовлетворяющая следующим аксиомам:
 # <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex> и <tex>\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0</tex>
 # <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex>

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Определение
 |definition=
@@ Строка 166: / Строка 164: @@
 Пусть <tex>H</tex> {{---}} сепарабельное. Тогда в <tex> H </tex> существует ортнормированный базис.
 |proof=
 <tex>\exists A = \{ a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A = H</tex> — счетное всюду плотное.

@@ Строка 50: / Строка 50: @@
 Положим <tex>d = \rho(x, H_1)</tex>, <tex>d_n=d+\frac1n</tex> и для каждого <tex>n\in\mathbb{N}</tex> найдём <tex>x_n \in H_1</tex> такой, что <tex>\|x-x_n\|<d_n</tex>.
-По равенству параллелограмма, <tex>\|2x-(x_n+x+m)\|^2+\|x_m-x_n\|^2 = 2(\|x-x_n\|^2+\|x_m-x\|^2)</tex>.
+По равенству параллелограмма, <tex>\|2x-(x_n+x_m)\|^2+\|x_m-x_n\|^2 = 2(\|x-x_n\|^2+\|x_m-x\|^2)</tex>.
 Так как <tex>\frac{x_n+x_m}{2}\in H_1</tex>, то <tex>\|x-\frac{x_n+x_m}2\|\ge d</tex> или <tex>\|2x-(x_n+x_m)\|^2\ge 4d^2</tex>.

@@ Строка 64: / Строка 64: @@
 Возьмём <tex>y\in H_1\setminus \{0\}</tex>. При любом <tex>\lambda</tex> имеем <tex>x'+\lambda y \in H_1</tex>, так что <tex>\|x''-\lambda y\|^2=\|x-(x'+\lambda y)\|^2 \ge d^2</tex>, что можно, воспользовавшись <tex>\|x-x'\|=d</tex>, переписать в форме:
-<tex>-\bar\lambda \langle x'',y\rangle-\lambda\langle y,x''\rangle +|\lambda|^2\langle y,y\rangle \ge 0</tex>.
+<tex>-\lambda \langle x'',y\rangle-\lambda\langle y,x''\rangle +|\lambda|^2\langle y,y\rangle \ge 0</tex>.
 В частности, при <tex>\lambda=\frac{\langle x'',y\rangle }{\langle y,y\rangle }</tex> получаем отсюда:
@@ Строка 72: / Строка 72: @@
 Итак, возможность представления <tex>x</tex> в форме <tex>x=x'+x''</tex> и соотношение <tex>\|x-x'\|=\rho(x, H_1)</tex> установлены.
-Докажем единственность такого представления. В самом деле, если <tex>x=x_1'+x_1''</tex>(<tex>x_1'\in H_1</tex>,<tex>x_1''\in H_2</tex>), то сопоставив это с <tex>x=x'+x''</tex>, получим <tex> x'-x_1'=x_1''-x''</tex>.
+Докажем единственность такого представления. В самом деле, если <tex>x=x_1'+x_1''</tex> (<tex>x_1'\in H_1</tex>,<tex>x_1''\in H_2</tex>), то сопоставив это с <tex>x=x'+x''</tex>, получим <tex> x'-x_1'=x_1''-x''</tex>.
 Поскольку <tex>x'-x_1' \in H_1</tex>, <tex>x_1''-x''\in H_2</tex>, то <tex>x'-x_1' \perp x_1''-x''</tex>, откуда получаем <tex>x'-x_1' = x_1''-x'' = 0</tex>.
 }}

@@ Строка 46: / Строка 46: @@
 Пусть <tex> H_1 </tex> — подпространство в <tex>H</tex>, <tex> H_2 </tex> {{---}} его ортогональное дополнение. Тогда для любого <tex> x \in H </tex> существует единственное представление <tex> x = x_1 + x_2 </tex>, где <tex> x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 </tex> и <tex> x_1 \perp x_2 </tex>.
 |proof=
 Доказательство из [http://www.apmath.spbu.ru/ru/education/final/question07.pdf]
 Положим <tex>d = \rho(x, H_1)</tex>, <tex>d_n=d+\frac1n</tex> и для каждого <tex>n\in\mathbb{N}</tex> найдём <tex>x_n \in H_1</tex> такой, что <tex>\|x-x_n\|<d_n</tex>.
-По равенству параллелограмма, <tex>\|2x-(x_n+x+m)^2\|+\|x_m-x_n\|^2 = 2(\|x-x_n\|^2+\|x_m-x\|^2)</tex>. Так как <tex>\frac{x_n+x_m}{2}\in H_1</tex>, то <tex>\|x-\frac{x_n-x_m}2\|\ge d</tex> или <tex>\|2x-(x_n+x_m)^2\|\ge 4d^2\|</tex>. Тогда получаем, что <tex>\|x_m-x_n\|^2\le2(d_n^2+d_m^2)-4d^2</tex>. Но <tex>d_n, d_m \to d</tex>, и потому <tex>\|x_m-x_n\|_{n,m\to\infty}\to0</tex>, то есть, последовательность <tex>\{x_n\}</tex>{{---}}фундаментальная. Вследствие полноты <tex>H</tex>, существует <tex>x'=\lim x_n</tex>, а так как множество <tex>H_1</tex> замкнуто (по определению подпространства), то <tex>x'\in H_1</tex>. При этом <tex>\|x-x'\|=\lim \|x-x_n\|</tex> и из <tex>\|x-x_n\|\le d_n</tex> следует, что <tex>\|x-x'\|\le d</tex>. Но так как знак <<меньше>> невозможен, то <tex>\|x-x'\|=d</tex>.
+По равенству параллелограмма, <tex>\|2x-(x_n+x+m)\|^2+\|x_m-x_n\|^2 = 2(\|x-x_n\|^2+\|x_m-x\|^2)</tex>.
-Теперь положим <tex>x''=x-x'</tex> и покажем, что <tex>x''\in H_2</tex>, то есть, <tex>x'' \perp H_1</tex>. Возьмём <tex>y\in H_1\setminus \{\varnothing\}</tex>. При любом <tex>\lambda</tex> имеем <tex>x'+\lambda y \in H_1</tex>, так что <tex>\|x''-\lambda y\|^2=\|x-(x'+\lambda y)\|^2 \ge d^2</tex>, что можно, воспользовавшись <tex>\|x-x'\|=d</tex>, переписать в форме {{TODO|t=wtf лямбда с палкой}}<tex>-\bar\lambda(x'',y)-\lambda(y,x'')+|\lambda|^2(y,y)\ge 0</tex>. В частности, при <tex>\lambda=\frac{(x'',y)}{(y,y)}</tex> получаем отсюда <tex>-\frac{|(x'',y)|^2}{(y,y)}-\frac{|(x'',y)|^2}{(y,y)}+\frac{|(x'',y)|^2}{(y,y)}\ge 0</tex>, то есть, <tex>|(x'',y)|^2 \le 0</tex>, что может быть только лишь в случае <tex>(x'',y)=0</tex>. Итак, возможность представления <tex>x</tex> в форме <tex>x=x'+x''</tex> и соотношение <tex>\|x-x'\|=\rho(x, H_1)\|</tex> установлены.
+Так как <tex>\frac{x_n+x_m}{2}\in H_1</tex>, то <tex>\|x-\frac{x_n+x_m}2\|\ge d</tex> или <tex>\|2x-(x_n+x_m)\|^2\ge 4d^2</tex>.
-Докажем единственность такого представления. В самом деле, если <tex>x=x_1'+x_1''</tex>(<tex>x_1'\in H_1</tex>,<tex>x_1''\in H_2</tex>), то сопоставив это с <tex>x=x'+x''</tex>, получим <tex> x'-x_1'=x_1''-x''</tex>. Поскольку <tex>x'-x_1' \in H_1</tex>, <tex>x_1''-x''\in H_2</tex>, то <tex>x'-x_1' \perp x_1''-x''</tex>, откуда получаем <tex>x'-x_1' = x_1''-x'' = 0</tex>.
+Тогда получаем, что <tex>\|x_m-x_n\|^2\le2(d_n^2+d_m^2)-4d^2</tex>. Но <tex>d_n, d_m \to d</tex>, и потому <tex>\|x_m-x_n\|_{n,m\to\infty}\to0</tex>, то есть, последовательность <tex>\{x_n\}</tex> {{---}} фундаментальная.
 {{TODO|t=Чукча не читатель, чукча писатель. Проверить, правильно ли переписано}}
 }}

@@ Строка 103: / Строка 103: @@
 неравенство Бесселя
 |statement=
-<tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, e_k)^2 \le \|x\|^2</tex>
+<tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty}  \langle x, e_k \rangle^2 \le \|x\|^2</tex>
 |proof=
 Для некоторого набора коэффициентов <tex> \beta_k </tex> рассмотрим скалярное произведение:
@@ Строка 109: / Строка 109: @@
 <tex> 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k, x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k) = \|x\|^2 - 2\sum \limits_{k=1}^n \beta_k (x, e_k) + \sum \limits_{k=1}^n \beta_k^2 = </tex>
-<tex> = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x, e_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x, e_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n(x, e_k)^2 </tex>.
+<tex> = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x, e_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x, e_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n  \langle x, e_k \rangle ^2 </tex>.
 Теперь, пусть <tex> \beta_k = (x, l_k) </tex>, имеем <tex> 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, e_k)^2 </tex>, устремив <tex> n </tex> к бесконечности, получим требуемое.
 }}
@@ Строка 119: / Строка 119: @@
 равенство Парсеваля
 |statement=
-<tex>\forall x: \|x\|^2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \langle x; e_k \rangle^2 </tex> тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая.
+<tex>\forall x: \|x\|^2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle ^2 </tex> тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая.
 |proof=
 Это доказательство (правда, по кускам) тоже есть здесь: [[L_2-теория рядов Фурье]].
@@ Строка 128: / Строка 128: @@
 |author=Рисс-Фишер
 |statement=
-Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> - ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2</tex>
+Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> - ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 < +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2</tex>
 |proof=
 И это доказательство тоже здесь есть: [[L 2-теория рядов Фурье#Теорема Рисса-Фишера|Теорема Рисса-Фишера]].