Главные нумерации - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:28:43Z

rollbackEdits.php mass rollback

80.82.78.13 в 04:37, 1 сентября 2022

2022-09-01T04:37:25Z

192.168.0.2: /* Литература */

2010-12-09T23:09:34Z

‎Литература

192.168.0.2 в 23:06, 9 декабря 2010

2010-12-09T23:06:32Z

Haliullin в 17:40, 9 декабря 2010

2010-12-09T17:40:01Z

Haliullin в 17:39, 9 декабря 2010

2010-12-09T17:39:08Z

Haliullin: Новая страница: «В этом разделе равенство двух вычислимых функций при заданных аргументах понимается в то…»

2010-12-09T04:56:47Z

Новая страница: «В этом разделе равенство двух вычислимых функций при заданных аргументах понимается в то…»

Новая страница

В этом разделе равенство двух вычислимых функций при заданных аргументах понимается в том смысле, что при этих аргументах вычисляющие программы для этих функций зависают, либо равны значения, возвращаемые ими.
{{Теорема
|statement=Существует универсальная функция
|proof=Зафиксируем какой-либо язык программирования. Пусть программами на этом языке являются слова над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Программа будет иметь номер <tex>n</tex>, если ее код - <tex>n</tex>-е слово среди всех слов над алфавитом <tex>\Sigma</tex>, отсортированных сначала по возрастанию длины, а при равной длине - в лексикографическом порядке. При этом если <tex>n</tex>-я программа не компилируется, будем считать, что она всегда зависает. Рассмотрим функцию <tex>U(n,x):\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\cup\perp</tex> такую, что <tex>U(n,x)=p_n(x)</tex>, где <tex>p_n</tex> - <tex>n</tex>-я программа. Заметим, что по определению вычислимой функции существует программа, вычисляющая ее. Но в заданной нумерации у любой программы есть номер. Таким образом для любой вычислимой функции <tex>f</tex> существует номер <tex>n: U(n,x)=f(x)</tex>. И наоборот - <tex>f_n=U(n)</tex> - является вычислимой функцией. Вычисляющая программа содержит интерпретатор для зафиксированного языка программирования, по номеру программы (первый аргумент) восстанавливает ее код, и передает ей второй аргумент, возвращая результат ее работы. Значит U(n,x) - универсальная функция.
}}
Рассмотрим двуместную универсальную функцию <tex>U(n,x)</tex>. Будем говорить, что она задает нумерацию для класса одноместных функций следующим образом: <tex>f_n(x)=U(n,x)</tex>.
{{Определение
|definition=Нумерация, заданная двуместной универсальной функцией <tex>U(n,x)</tex> называется главной (Гёделевой), если для любой двуместной вычислимой функции <tex>V(n,x)</tex> существует вычислимая, всюду определенная функция <tex>S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</tex> такая, что <tex>V(n,x)=U(S(n),x)</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=Существует главная нумерация.
|proof=Рассмотрим универсальную функцию, построенную ранее, и нумерацию, соответствующую ей. Обозначим программу, вычисляющую функцию <tex>V(n,x)</tex> как <tex>v(n,x)</tex>. Построим программу (назовем ее <tex>s</tex>) с одним параметром - <tex>m</tex>, которая генерирует код программы <tex>v(n,x)</tex>, но с фиксированным <tex>n = m</tex>, и возвращает ее номер в заданной нумерации. Построенная программа вычисляет искомую функцию для универсальной двуместной функции <tex>U</tex> и двуместной функции <tex>V</tex>, то есть <tex>V(n,x)=U(S(n),x)</tex>, где <tex>S</tex> - функция, вычисляемая программой <tex>s</tex>. Из вычислимости <tex>v</tex> следует существование <tex>V</tex>, и за конечное время мы можем вернуть номер любой программы в выбранной нумерации. Таким образом <tex>S</tex> - вычислимая, всюду определенная.
}}

← Предыдущая		Версия 16:28, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	В этом разделе равенство двух вычислимых функций при заданных аргументах понимается в том смысле, что при этих аргументах вычисляющие программы для этих функций зависают, либо равны значения, возвращаемые ими.		В этом разделе равенство двух вычислимых функций при заданных аргументах понимается в том смысле, что при этих аргументах вычисляющие программы для этих функций зависают, либо равны значения, возвращаемые ими.
	{{Теорема		{{Теорема

← Предыдущая		Версия 04:37, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	В этом разделе равенство двух вычислимых функций при заданных аргументах понимается в том смысле, что при этих аргументах вычисляющие программы для этих функций зависают, либо равны значения, возвращаемые ими.		В этом разделе равенство двух вычислимых функций при заданных аргументах понимается в том смысле, что при этих аргументах вычисляющие программы для этих функций зависают, либо равны значения, возвращаемые ими.
	{{Теорема		{{Теорема

@@ Строка 13: / Строка 13: @@
 }}
 == Литература ==
-<font face="Times" size="3">
+Н. К. Верещагин,  А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. -- М.: МЦНМО, 1999

← Предыдущая		Версия 23:06, 9 декабря 2010
Строка 12:		Строка 12:
	\|proof=Рассмотрим универсальную функцию, построенную ранее, и нумерацию, соответствующую ей. Обозначим программу, вычисляющую функцию <tex>V(n,x)</tex> как <tex>v(n,x)</tex>. Построим программу (назовем ее <tex>s</tex>) с одним параметром - <tex>m</tex>, которая генерирует код программы <tex>v(n,x)</tex>, но с фиксированным <tex>n = m</tex>, и возвращает ее номер в заданной нумерации. Построенная программа вычисляет искомую функцию для универсальной двуместной функции <tex>U</tex> и двуместной функции <tex>V</tex>, то есть <tex>V(n,x)=U(S(n),x)</tex>, где <tex>S</tex> - функция, вычисляемая программой <tex>s</tex>. Из вычислимости <tex>v</tex> следует существование <tex>V</tex>, и за конечное время мы можем вернуть номер любой программы в выбранной нумерации. Таким образом <tex>S</tex> - вычислимая, всюду определенная.		\|proof=Рассмотрим универсальную функцию, построенную ранее, и нумерацию, соответствующую ей. Обозначим программу, вычисляющую функцию <tex>V(n,x)</tex> как <tex>v(n,x)</tex>. Построим программу (назовем ее <tex>s</tex>) с одним параметром - <tex>m</tex>, которая генерирует код программы <tex>v(n,x)</tex>, но с фиксированным <tex>n = m</tex>, и возвращает ее номер в заданной нумерации. Построенная программа вычисляет искомую функцию для универсальной двуместной функции <tex>U</tex> и двуместной функции <tex>V</tex>, то есть <tex>V(n,x)=U(S(n),x)</tex>, где <tex>S</tex> - функция, вычисляемая программой <tex>s</tex>. Из вычислимости <tex>v</tex> следует существование <tex>V</tex>, и за конечное время мы можем вернуть номер любой программы в выбранной нумерации. Таким образом <tex>S</tex> - вычислимая, всюду определенная.
	}}		}}
		+	== Литература ==
		+	<font face="Times" size="3">
		+	*Н.К.Верещагин, А.Шень - "Вычислимые функции"
		+	</font>

@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 |proof=Зафиксируем какой-либо язык программирования. Пусть программами на этом языке являются слова над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Программа будет иметь номер <tex>n</tex>, если ее код - <tex>n</tex>-е слово среди всех слов над алфавитом <tex>\Sigma</tex>, отсортированных сначала по возрастанию длины, а при равной длине - в лексикографическом порядке. При этом если <tex>n</tex>-я программа не компилируется, будем считать, что она всегда зависает. Рассмотрим функцию <tex>U(n,x):\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\cup\perp</tex> такую, что <tex>U(n,x)=p_n(x)</tex>, где <tex>p_n</tex> - <tex>n</tex>-я программа. Заметим, что по определению вычислимой функции существует программа, вычисляющая ее. Но в заданной нумерации у любой программы есть номер. Таким образом для любой вычислимой функции <tex>f</tex> существует номер <tex>n: U(n,x)=f(x)</tex>. И наоборот - <tex>f_n=U(n)</tex> - является вычислимой функцией. Вычисляющая программа для <tex>U</tex> содержит интерпретатор для зафиксированного языка программирования, по номеру программы (первый аргумент) восстанавливает ее код, и передает ей второй аргумент, возвращая результат ее работы. Таким образом <tex>U_n(x)=U(n,x)</tex> - вычислима для любого <tex>n\in\mathbb{N}</tex>, и <tex>\forall f(x) \exists n\in\mathbb{N}: f(x)=U(n,x)</tex>, <tex>f(x)</tex> - вычислима, значит U(n,x) - универсальная функция.
 }}
-Рассмотрим двуместную универсальную функцию <tex>U(n,x)</tex>. Будем говорить, что она задает нумерацию для класса одноместных функций следующим образом: <tex>f_n(x)=U(n,x)</tex>.
+Рассмотрим двуместную универсальную функцию <tex>U(n,x)</tex>. Будем говорить, что она задает нумерацию для класса одноместных вычислимых функций следующим образом: <tex>f_n(x)=U(n,x)</tex>.
 {{Определение
 |definition=Нумерация, заданная двуместной универсальной функцией <tex>U(n,x)</tex> называется главной (Гёделевой), если для любой двуместной вычислимой функции <tex>V(n,x)</tex> существует вычислимая, всюду определенная функция <tex>S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</tex> такая, что <tex>V(n,x)=U(S(n),x)</tex>.

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 {{Теорема
 |statement=Существует универсальная функция
-|proof=Зафиксируем какой-либо язык программирования. Пусть программами на этом языке являются слова над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Программа будет иметь номер <tex>n</tex>, если ее код - <tex>n</tex>-е слово среди всех слов над алфавитом <tex>\Sigma</tex>, отсортированных сначала по возрастанию длины, а при равной длине - в лексикографическом порядке. При этом если <tex>n</tex>-я программа не компилируется, будем считать, что она всегда зависает. Рассмотрим функцию <tex>U(n,x):\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\cup\perp</tex> такую, что <tex>U(n,x)=p_n(x)</tex>, где <tex>p_n</tex> - <tex>n</tex>-я программа. Заметим, что по определению вычислимой функции существует программа, вычисляющая ее. Но в заданной нумерации у любой программы есть номер. Таким образом для любой вычислимой функции <tex>f</tex> существует номер <tex>n: U(n,x)=f(x)</tex>. И наоборот - <tex>f_n=U(n)</tex> - является вычислимой функцией. Вычисляющая программа содержит интерпретатор для зафиксированного языка программирования, по номеру программы (первый аргумент) восстанавливает ее код, и передает ей второй аргумент, возвращая результат ее работы. Значит U(n,x) - универсальная функция.
+|proof=Зафиксируем какой-либо язык программирования. Пусть программами на этом языке являются слова над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Программа будет иметь номер <tex>n</tex>, если ее код - <tex>n</tex>-е слово среди всех слов над алфавитом <tex>\Sigma</tex>, отсортированных сначала по возрастанию длины, а при равной длине - в лексикографическом порядке. При этом если <tex>n</tex>-я программа не компилируется, будем считать, что она всегда зависает. Рассмотрим функцию <tex>U(n,x):\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\cup\perp</tex> такую, что <tex>U(n,x)=p_n(x)</tex>, где <tex>p_n</tex> - <tex>n</tex>-я программа. Заметим, что по определению вычислимой функции существует программа, вычисляющая ее. Но в заданной нумерации у любой программы есть номер. Таким образом для любой вычислимой функции <tex>f</tex> существует номер <tex>n: U(n,x)=f(x)</tex>. И наоборот - <tex>f_n=U(n)</tex> - является вычислимой функцией. Вычисляющая программа для <tex>U</tex> содержит интерпретатор для зафиксированного языка программирования, по номеру программы (первый аргумент) восстанавливает ее код, и передает ей второй аргумент, возвращая результат ее работы. Таким образом <tex>U_n(x)=U(n,x)</tex> - вычислима для любого <tex>n\in\mathbb{N}</tex>, и <tex>\forall f(x) \exists n\in\mathbb{N}: f(x)=U(n,x)</tex>, <tex>f(x)</tex> - вычислима, значит U(n,x) - универсальная функция.
 }}
 Рассмотрим двуместную универсальную функцию <tex>U(n,x)</tex>. Будем говорить, что она задает нумерацию для класса одноместных функций следующим образом: <tex>f_n(x)=U(n,x)</tex>.