Графы де Брюина - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:29:53Z

rollbackEdits.php mass rollback

80.82.78.13 в 04:35, 1 сентября 2022

2022-09-01T04:35:14Z

178.71.22.15: /* Основные свойства */

2017-12-08T20:09:39Z

‎Основные свойства

178.71.22.15: /* Основные свойства */

2017-12-08T14:06:22Z

‎Основные свойства

78.37.150.104: /* Основные свойства */

2017-12-07T21:36:00Z

‎Основные свойства

78.37.150.104: /* Применение графов де Брюина */

2017-12-07T21:34:12Z

‎Применение графов де Брюина

78.37.150.104: /* Применение графов де Брюина */

2017-12-07T21:33:00Z

‎Применение графов де Брюина

78.37.150.104: /* Алгоритм построения */

2017-12-07T21:30:44Z

‎Алгоритм построения

78.37.150.104: /* Применение графов де Брюина */

2017-12-07T21:19:43Z

‎Применение графов де Брюина

78.37.150.104: /* Применение графов де Брюина */

2017-12-07T21:19:22Z

‎Применение графов де Брюина

← Предыдущая		Версия 16:29, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	{{Определение		{{Определение
	\|id = de_bruijn_graph		\|id = de_bruijn_graph

← Предыдущая		Версия 04:35, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	{{Определение		{{Определение
	\|id = de_bruijn_graph		\|id = de_bruijn_graph

@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 |about = о количестве вершин и рёбер в графе
 |statement= В <tex> B(n, l) \  |V| = n^l, |E| = n^{l+1}</tex>
-|proof= Число вершин очевидно находится из определения графа и равно <tex> n^l </tex>. Число рёбер следует из доказательства предыдущей леммы: каждой вершине инцидентно ровно <tex> 2n </tex> ребер. Значит, <tex> |E| = n^{l+1} </tex> по теореме о связи числа рёбер и степеней вершин.
+|proof= Число вершин очевидно находится из определения графа и равно <tex> n^l </tex>. Число рёбер следует из доказательства предыдущей леммы: каждой вершине инцидентно ровно <tex> 2n </tex> ребер. Значит, <tex> |E| = n^{l+1} </tex> по [[Лемма о рукопожатиях | лемме о рукопожатиях]].
 }}

@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 |about = о количестве вершин и рёбер в графе
 |statement= В <tex> B(n, l) \  |V| = n^l, |E| = n^{l+1}</tex>
-|proof= Число вершин очевидно находится из определения графа и равно <tex> n^l </tex>. Число рёбер следует из доказательства предыдущей леммы: каждой вершине инцидентно ровно <tex> 2n </tex> ребер. Таким образом, <tex> |E| = \frac{1}{2} \cdot n^l \cdot 2n  = n^{l+1} </tex>
+|proof= Число вершин очевидно находится из определения графа и равно <tex> n^l </tex>. Число рёбер следует из доказательства предыдущей леммы: каждой вершине инцидентно ровно <tex> 2n </tex> ребер. Значит, <tex> |E| = n^{l+1} </tex> по теореме о связи числа рёбер и степеней вершин.
 }}

@@ Строка 25: / Строка 25: @@
 |statement= В <tex> B(n, l) \  (u, v) \in E \Leftrightarrow </tex> <tex> prefix_{l-1}(v) = suffix_{l-1}(u) </tex>
 |proof= <tex> \Leftarrow </tex>
-Составим слово длины <tex>l+1 \  L = a \gamma b </tex>, тогда <tex> \gamma b = suffix(L), a \gamma = prefix(L) </tex> . При этом <tex> |a \gamma| = |\gamma b| = |L|-1 = l </tex>. Если выбрать <tex> a, b \ </tex> как первый и последний символ слов <tex> u, v </tex> соответственно, и взять <tex> \gamma = prefix_{l-1}(v) = suffix_{l-1}(u) </tex>, то ребро между этими вершинами есть по определению.
+Составим слово длины <tex>l+1 \  L = a \gamma b </tex>, тогда <tex> \gamma b = suffix(L), a \gamma = prefix(L) </tex> . Если выбрать <tex> a, b \ </tex> как первый и последний символ слов <tex> u, v </tex> соответственно, и взять <tex> \gamma = prefix_{l-1}(v) = suffix_{l-1}(u) </tex>, то ребро между этими вершинами есть по определению.
 <tex> \Rightarrow </tex> Возьмём подстроку слова <tex> L </tex> (из определения) без крайних символов (её длина <tex> l - 1  </tex>). Так же из определения следует, что это будет суффиксом строки, соответствующей вершине <tex> u </tex>, и префиксом для строки, соответствующей <tex> v </tex>.

@@ Строка 80: / Строка 80: @@
 . Двум разным рёбрам <tex>(u_1, v_1), (u_2, v_2) </tex> соответствует два ''различных'' слова <tex> L </tex> длины <tex> l </tex>. Иначе <tex> u_{1} = prefix(L) = u_{2} </tex> и <tex> v_{1} = suffix(L) = v_{2} </tex>. То есть это одно и то же ребро, при этом кратных рёбер в графе нет.
-. Отсюда следует, что в последовательности содержится <tex> n^l </tex> различных подстрок длины <tex> l </tex>. И короче последовательность получить нельзя. Мы получили ответ за <tex> O((|E| \cdot (l-1)) + (|E| + |V|)) = O(|E| \cdot (l-1)) </tex>, то есть за время построения графа де Брюина <tex> (n, l-1) </tex>.
+'''Вывод''':
 {{Задача

@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 '''Алгоритм: '''
-. Создаём пустой граф из <tex> n^l </tex> вершин.
+. Создаём пустой граф из <tex> n^l </tex> вершин. Установим в алфавите отношение порядка и будем рассматривать его символы как цифры в <tex> n </tex>-значной системе счисления.
-. Генерируем слово длины <tex> l+1 </tex>.
+. Генерируем минимальное в лексикографическом порядке слово длины <tex> l+1 </tex>, которое ещё не было использовано (порядок может быть любым, главное перебрать все такие слова без повторений).
-. Считаем префикс <tex> pref </tex> и суффикс <tex> suff </tex> длины <tex> l </tex> для текущего. Причём установим в алфавите отношение порядка и будем рассматривать его символы как цифры в <tex> n </tex>-значной системе счисления.
+. Считаем префикс <tex> pref </tex> и суффикс <tex> suff </tex> длины <tex> l </tex> для текущего.
-. Проводим ребро <tex> (pref, suff) </tex> в графе. Переходим к пункту <tex> 2 </tex> (например, будем перебирать в порядке лексикографического возрастания), пока не будут перебраны все слова длины <tex> l+1 </tex>.
+. Проводим ребро <tex> (pref, suff) </tex> в графе. Переходим к пункту <tex> 2 </tex>, пока не будут перебраны все слова длины <tex> l+1 </tex>.
 '''Корректность''': перебраны все слова длины <tex> l+1 </tex>, следовательно, были рассмотрены все возможные пары вершин, между которыми проведено ребро.
-'''Время работы''': <tex> O(n^{l+1} \cdot substring) = O(|E| \cdot l) </tex>
+'''Время работы''': <tex> O(n^{l+1} \cdot substring) = O(|E| \cdot l) </tex>, где <tex> substring - </tex> время генерации слова, а так же поиска префикса и суффикса в нём.
 == Применение графов де Брюина ==

@@ Строка 78: / Строка 78: @@
 . Очевидно, что последовательность меньшей длины составить нельзя: в полученной последовательности ровно <tex> n^l </tex> подстрок длины <tex> l </tex>, и именно столько чисел можно составить из цифр от <tex> 1 </tex> до <tex> n </tex>.
-. Двум разным рёбрам <tex>(u_1, v_1), (u_2, v_2) \in E </tex> соответствует два ''различных'' слова <tex> L </tex> длины <tex> l </tex>. Иначе <tex> u_{1} = prefix(L) = u_{2} </tex> и <tex> v_{1} = suffix(L) = v_{2} </tex>. То есть это одно и то же ребро, при этом кратных рёбер в графе нет.
+. Двум разным рёбрам <tex>(u_1, v_1), (u_2, v_2) </tex> соответствует два ''различных'' слова <tex> L </tex> длины <tex> l </tex>. Иначе <tex> u_{1} = prefix(L) = u_{2} </tex> и <tex> v_{1} = suffix(L) = v_{2} </tex>. То есть это одно и то же ребро, при этом кратных рёбер в графе нет.
 . Отсюда следует, что в последовательности содержится <tex> n^l </tex> различных подстрок длины <tex> l </tex>. И короче последовательность получить нельзя. Значит, мы получили ответ за <tex> O((|E| \cdot (l-1)) + (|E| + |V|)) = O(|E| \cdot (l-1)) </tex>, то есть за время построения графа де Брюина <tex> (n, l-1) </tex>.