Двойственное пространство - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:11:11Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.220.100.252 в 06:11, 1 сентября 2022

2022-09-01T06:11:49Z

178.62.214.197: Жолус

2016-12-12T22:50:23Z

Жолус

178.62.214.197: Жолус

2016-12-12T22:04:04Z

Жолус

Krasnotsvetov: /* Прикладной смысл двойственного пространства */

2016-12-11T19:31:28Z

‎Прикладной смысл двойственного пространства

Krasnotsvetov: /* Введение */

2016-12-11T19:23:44Z

‎Введение

188.162.65.11: Жолус

2016-12-11T13:58:45Z

Жолус

188.162.65.11: Новая страница: «test»

2016-12-11T12:08:12Z

Новая страница: «test»

Новая страница

test

← Предыдущая		Версия 16:11, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	== Введение ==		== Введение ==
	Введем понятия двойственного, к пространству <tex>\mathbb{R}^2</tex>, пространства. Для того чтобы избежать рассмотрения отдельных случаев, работаем в однородных координатах.		Введем понятия двойственного, к пространству <tex>\mathbb{R}^2</tex>, пространства. Для того чтобы избежать рассмотрения отдельных случаев, работаем в однородных координатах.

← Предыдущая		Версия 06:11, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	== Введение ==		== Введение ==
	Введем понятия двойственного, к пространству <tex>\mathbb{R}^2</tex>, пространства. Для того чтобы избежать рассмотрения отдельных случаев, работаем в однородных координатах.		Введем понятия двойственного, к пространству <tex>\mathbb{R}^2</tex>, пространства. Для того чтобы избежать рассмотрения отдельных случаев, работаем в однородных координатах.

@@ Строка 18: / Строка 18: @@
 {{Теорема|statement=
-пусть <tex>l</tex> - прямая, а <tex>p</tex> - точка, тогда:
+Пусть <tex>l</tex> - прямая, а <tex>p</tex> - точка, тогда:
 # <tex>p \in l \Leftrightarrow l^\star \in p^\star</tex>
 # <tex>p</tex> лежит над <tex>l</tex>, тогда и только тогда когда <tex>l^\star</tex> лежит над <tex>p^\star</tex>
@@ Строка 31: / Строка 31: @@
 }}
 {{Утверждение|statement=
-отрезок <tex>pq</tex> переходит вот в такое множество: <tex>P = \left\{t^\star = (x, y): \left<p^\star, t^\star \right> \geqslant 0 \wedge \left<q^\star, t^\star \right> \geqslant 0 \wedge \left<l^\star, t^\star \right> \geqslant 0 \vee
+Отрезок <tex>pq</tex> переходит в такое множество: <tex>P = \left\{t^\star = (x, y): \text{rot}(l^\star, p_1^\star, t^\star) > 0,  \text{rot}(l^\star, q_1^\star, t^\star) < 0 \right\}</tex>,
-\left<p^\star, t^\star \right> \leqslant 0 \wedge \left<q^\star, t^\star \right> \leqslant 0 \wedge \left<l^\star, t^\star \right> \leqslant 0\right\}</tex>,
+где <tex>l</tex> - прямая на которой лежат <tex>p</tex> и <tex>q</tex>, а <tex>p_1^\star \in p^\star, q_1^\star \in q^\star, \text{rot}(l^\star, p_1^\star, q_1^\star) > 0</tex> - .
 |proof=
-Поставим точку <tex>r</tex> в точку <tex>p</tex> и будем непрерывно перемещать ее к <tex>q</tex>. Посмотрим, что происходит с <tex>r^\star</tex>
+Условие <tex>\text{rot}(l, p_1, q_1) > 0</tex> означает, что прямая <tex>q_1</tex> лежит выше точки пересечения <tex>p_1</tex> и <tex>l</tex>. Зафиксируем <tex>p_1</tex> и <tex>q_1</tex>. Рассмотрим прямую <tex>t</tex>, пересекающую <tex>pq</tex>. Так как <tex>t</tex> лежит выше точки пересечения <tex>p_1</tex> и <tex>l</tex>, то
+<tex>\text{rot}(l, p_1, t) > 0</tex>, Так как <tex>t</tex> лежит ниже точки пересечения <tex>q_1</tex> и <tex>l</tex>, то <tex>\text{rot}(l, q_1, t) < 0</tex>.
 }}

@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 <b>Двойственным пространством</b> называется пространство линейных функционалов на линейном пространстве <tex>\mathbb{R}^2</tex>.
 }}
-Любой линейный функционал <tex>f</tex> можно представить как <tex>f((x, y)) = ax - b + cy</tex>. Это значит, каждому такому функционалу будет соответствовать точка в двойственном пространстве с однородными координатами <tex>(-a, b, c)</tex>. Таким образом, мы можем определить <i>дуальное преобразование</i> (<tex>p \mapsto p^\star</tex>)
+Любой линейный функционал <tex>f</tex> можно представить как <tex>f((x, y)) := ax + b = cy</tex>. Это значит, каждому такому функционалу будет соответствовать точка в двойственном пространстве с однородными координатами <tex>(a, -b, c)</tex>. Таким образом, мы можем определить <i>дуальное преобразование</i> (<tex>p \mapsto p^\star</tex>)
 для прямой, как точку в двойственном пространстве.
 {{Утверждение|statement=
-Дуальное преобразование от точки <tex>p = (p_x, p_y)</tex> в исходном пространстве дает прямую <tex>p^\star := (y = p_x x - p_y)</tex> в двойственном.
+Дуальное преобразование от точки <tex>p = (p_x, p_y, p_z)</tex> в исходном пространстве дает прямую <tex>p^\star := (p_z y = p_x x - p_y)</tex> в двойственном.
 |proof=
-Расмотрим все прямые <tex>l</tex>, такие что <tex>p \in l</tex>. Более формально, пусть <tex>L = \{l : l = (-a, b, c), \: cp_y = ap_x - b\}</tex>.
+Расмотрим все прямые <tex>l</tex>, такие что <tex>p \in l</tex>. Более формально, пусть <tex>L = \{l : l = (a, b, c), \: cp_y = ap_x - b p_z\}</tex>.
-Для каждой можно выразить <tex>b</tex>: <tex>b = ap_x - cp_y</tex>, сделаем замену <tex>\left[a := x, b := y\right]</tex> и получим, что все точки <tex>l^\star</tex>
+Для каждой можно выразить <tex>b</tex>: <tex>b p_z = ap_x - cp_y</tex>, сделаем замену <tex>\left[a := x, b := y\right]</tex> и получим, что все точки <tex>l^\star</tex>
 из <tex>L</tex> удовлетворяют уравнению прямой.
 }}
@@ Строка 22: / Строка 22: @@
 # <tex>p</tex> лежит над <tex>l</tex>, тогда и только тогда когда <tex>l^\star</tex> лежит над <tex>p^\star</tex>
 |proof=
-TODO
+. Пусть <tex>p \in l</tex>. Возьмем две точки <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex> такие, что <tex>p_1, p_2 \in l</tex>. Тогда
 }}
 {{Утверждение|statement=
@@ Строка 29: / Строка 35: @@
 где <tex>l</tex> - прямая на которой лежат <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.
 |proof=
-TODO
+Поставим точку <tex>r</tex> в точку <tex>p</tex> и будем непрерывно перемещать ее к <tex>q</tex>. Посмотрим, что происходит с <tex>r^\star</tex>
 }}
 == Прикладной смысл двойственного пространства ==
 Двойственной пространство позволяет нам посмотреть на некоторые задачи с другой точки зрения. Ниже приведен список задач:
 # [[Пересечение_полуплоскостей,_связь_с_выпуклыми_оболочками|Построение пересечения полуплоскостей с помощью построения выпуклой оболочки в двойственном пространстве]]
 # Set of points to Arrangements of Lines // TODO

← Предыдущая		Версия 19:31, 11 декабря 2016
Строка 32:		Строка 32:
	}}		}}
	== Прикладной смысл двойственного пространства ==		== Прикладной смысл двойственного пространства ==
		+	Двойственной пространство позволяет нам посмотреть на некоторые задачи с другой точки зрения. Ниже приведен список задач:
		+	# [[Пересечение_полуплоскостей,_связь_с_выпуклыми_оболочками\|Построение пересечения полуплоскостей с помощью построения выпуклой оболочки в двойственном пространстве]]
		+	# Set of points to Arrangements of Lines // TODO

← Предыдущая		Версия 19:23, 11 декабря 2016
Строка 31:		Строка 31:
	TODO		TODO
	}}		}}
		+	== Прикладной смысл двойственного пространства ==

← Предыдущая		Версия 13:58, 11 декабря 2016
Строка 1:		Строка 1:
−	~~test~~	+	== Введение ==
		+	Введем понятия двойственного, к пространству <tex>\mathbb{R}^2</tex>, пространства. Для того чтобы избежать рассмотрения отдельных случаев, работаем в однородных координатах.
		+	Пока в конспекте есть недочеты.
		+	=== Определение ===
		+	{{Определение\|definition=
		+	<b>Двойственным пространством</b> называется пространство линейных функционалов на линейном пространстве <tex>\mathbb{R}^2</tex>.
		+	}}
		+	Любой линейный функционал <tex>f</tex> можно представить как <tex>f((x, y)) = ax - b + cy</tex>. Это значит, каждому такому функционалу будет соответствовать точка в двойственном пространстве с однородными координатами <tex>(-a, b, c)</tex>. Таким образом, мы можем определить <i>дуальное преобразование</i> (<tex>p \mapsto p^\star</tex>)
		+	для прямой, как точку в двойственном пространстве.
		+
		+	{{Утверждение\|statement=
		+	Дуальное преобразование от точки <tex>p = (p_x, p_y)</tex> в исходном пространстве дает прямую <tex>p^\star := (y = p_x x - p_y)</tex> в двойственном.
		+	\|proof=
		+	Расмотрим все прямые <tex>l</tex>, такие что <tex>p \in l</tex>. Более формально, пусть <tex>L = \{l : l = (-a, b, c), \: cp_y = ap_x - b\}</tex>.
		+	Для каждой можно выразить <tex>b</tex>: <tex>b = ap_x - cp_y</tex>, сделаем замену <tex>\left[a := x, b := y\right]</tex> и получим, что все точки <tex>l^\star</tex>
		+	из <tex>L</tex> удовлетворяют уравнению прямой.
		+	}}
		+
		+	{{Теорема\|statement=
		+	пусть <tex>l</tex> - прямая, а <tex>p</tex> - точка, тогда:
		+	# <tex>p \in l \Leftrightarrow l^\star \in p^\star</tex>
		+	# <tex>p</tex> лежит над <tex>l</tex>, тогда и только тогда когда <tex>l^\star</tex> лежит над <tex>p^\star</tex>
		+	\|proof=
		+	TODO
		+	}}
		+	{{Утверждение\|statement=
		+	отрезок <tex>pq</tex> переходит вот в такое множество: <tex>P = \left\{t^\star = (x, y): \left<p^\star, t^\star \right> \geqslant 0 \wedge \left<q^\star, t^\star \right> \geqslant 0 \wedge \left<l^\star, t^\star \right> \geqslant 0 \vee
		+	\left<p^\star, t^\star \right> \leqslant 0 \wedge \left<q^\star, t^\star \right> \leqslant 0 \wedge \left<l^\star, t^\star \right> \leqslant 0\right\}</tex>,
		+	где <tex>l</tex> - прямая на которой лежат <tex>p</tex> и <tex>q</tex>.
		+	\|proof=
		+	TODO
		+	}}