Действие группы на множестве - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:38:55Z

rollbackEdits.php mass rollback

217.79.179.7 в 03:36, 1 сентября 2022

2022-09-01T03:36:17Z

128.72.162.112: /* Свойства */

2012-03-02T07:19:35Z

‎Свойства

RomanSatyukov в 14:53, 6 июля 2010

2010-07-06T14:53:08Z

RomanSatyukov в 14:30, 6 июля 2010

2010-07-06T14:30:05Z

192.168.0.2 в 16:33, 4 июля 2010

2010-07-04T16:33:18Z

192.168.0.2 в 16:32, 4 июля 2010

2010-07-04T16:32:11Z

192.168.0.2 в 15:50, 4 июля 2010

2010-07-04T15:50:52Z

192.168.0.2 в 15:49, 4 июля 2010

2010-07-04T15:49:15Z

192.168.0.2 в 13:17, 4 июля 2010

2010-07-04T13:17:16Z

← Предыдущая		Версия 16:38, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	Пусть имеется множество <tex>X</tex>.		Пусть имеется множество <tex>X</tex>.
	{{Определение		{{Определение

← Предыдущая		Версия 03:36, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	Пусть имеется множество <tex>X</tex>.		Пусть имеется множество <tex>X</tex>.
	{{Определение		{{Определение

@@ Строка 42: / Строка 42: @@
 <tex> Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y) </tex>
 |proof=
-<tex>Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow</tex> <math>\exist</math> <tex>  g_1, g_2 \in G  : g_1 x = g_2 y \Rightarrow x = g_1 ^ {-1} g_2 y \Rightarrow x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y) </tex>. <br>
+<tex>Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow</tex> <tex>\exists</tex> <tex>  g_1, g_2 \in G  : g_1 x = g_2 y \Rightarrow x = g_1 ^ {-1} g_2 y \Rightarrow x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y) </tex>. <br>
 Аналогично доказываем, что <tex>Orb(y) \subseteq Orb(x)</tex>, откуда следует, что <tex>Orb(x) = Orb(y)</tex>

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 Пусть имеется множество <tex>X</tex>.
 {{Определение
@@ Строка 21: / Строка 17: @@
 '''Орбита''' <tex>Orb(x)</tex> элемента <tex>x \in X</tex> {{---}} это множество <tex>\{gx \mid g \in G\}</tex>.
 }}
 {{Определение
 |definition=

@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 {{Определение
 |definition=
-<tex>G</tex> действует на <tex>X</tex>, если
+[[Группа]] <tex>G</tex> '''действует''' на <tex>X</tex>, если любых <tex>g \in G</tex> и <tex>x \in X</tex> определено '''действие элемента <tex>g</tex> на элемент <tex>x</tex>''' (обозначаемое <tex>gx</tex>), обладающее следующими свойствами:
-# <tex> \forall g \in G , x \in X \quad gx \in X </tex>
+# <tex>gx \in X</tex>,
-# <tex> \forall g_1, g_2 \in G , x \in X \quad (g_1 g_2)x = g_1(g_2 x) </tex>
+# Для любых <tex>g_1, g_2 \in G, x \in X</tex> выполнено <tex>(g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)</tex>,
-# <tex> \forall x \in X \quad ex = x </tex>
+# Для любого <tex>x \in X</tex> выполнено <tex>e x = x</tex>.
 }}
 {{Определение
 |definition=
-'''Орбита''' <tex>Orb(x)=\{gx \mid g \in G\}</tex>
+'''Орбита''' <tex>Orb(x)</tex> элемента <tex>x \in X</tex> {{---}} это множество <tex>\{gx \mid g \in G\}</tex>.
 }}
 {{Определение
 |definition=
-'''Стабилизатор''' <tex>St(x)=\{g \in G \mid gx = x\}</tex>
+'''Стабилизатор''' <tex>St(x)</tex> элемента <tex>x \in X</tex> {{---}} это множество <tex>\{g \in G \mid gx = x\}</tex>.
 }}
 {{Определение
 |definition=
-'''Фиксатор''' <tex>Fix(g)=\{x \in X \mid gx = x\}</tex>
+'''Фиксатор''' <tex>Fix(g)</tex> элемента <tex>g \in G</tex> {{---}} это множество <tex>\{x \in X \mid gx = x\}</tex>.
 }}
 {{Утверждение
 |id=th1
 |statement=
-Стабилизатор замкнут относительно операции в группе (умножения)
+Стабилизатор любого элемента <tex>x \in X</tex> является [[подгруппа|подгруппой]] <tex>G</tex>.
 |proof=
-<tex> \forall g_1, g_2 \in G g_1, g_2 \in St(x) \Rightarrow g_1 x = x \And g_2 x = x \Rightarrow (g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = g_1 x=x </tex>
+Пусть <tex>g_1, g_2 \in St(x)</tex>. Тогда <tex>g_1 x = x</tex> и <tex>g_2 x = x</tex>. Поэтому, <tex>(g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = g_1 x = x</tex>. Следовательно, <tex>g_1 g_2 \in St(x)</tex>.
 }}
@@ Строка 46: / Строка 53: @@
 Видно, что бинарное отношение <tex>x \mathcal R y \Leftrightarrow Orb(x) = Orb(y)</tex> является отношением эквивалентности на <tex>X</tex> и разбивает его на независимые классы эквивалентности − орбиты. Можно поставить задачу о нахождении количества орбит, которая решается с помощью [[Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий|леммы Бернсайда]].
 [[Категория: Теория групп]]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Требует доработки
-|item1=Необходимо добавить примеры.
+|item1=(исправлено)Необходимо добавить примеры.
 }}

@@ Строка 47: / Строка 47: @@
 Видно, что бинарное отношение <tex>x \mathcal R y \Leftrightarrow Orb(x) = Orb(y)</tex> является отношением эквивалентности на <tex>X</tex> и разбивает его на независимые классы эквивалентности − орбиты. Можно поставить задачу о нахождении количества орбит, которая решается с помощью [[Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий|леммы Бернсайда]].
+=== Примеры ===
-'''Пример 1:''' Пусть <tex>G</tex> - группа с операцией <tex>'*'</tex> и множество <tex>X = G</tex>. Зададим отображение <tex>F: G\times X\to X</tex>, такое что <tex>f(g,x) = g*x</tex>. Тогда все свойства из определения выполнятся вследствие соответствующих свойств группы. Таким образом группа <tex>G</tex> действует на <tex>X</tex>. Такое действие называется "действие левыми сдвигами".
+*  Пусть <tex>G</tex> - группа с операцией <tex>'*'</tex> и множество <tex>X = G</tex>. Зададим отображение <tex>F: G\times X\to X</tex>, такое что <tex>f(g,x) = g*x</tex>. Тогда все свойства из определения выполнятся вследствие соответствующих свойств группы. Таким образом группа <tex>G</tex> действует на <tex>X</tex>. Такое действие называется "действие левыми сдвигами".
+* Пусть <tex>G</tex> - группа с операцией <tex>'*'</tex> и множество <tex>X = G</tex>. Зададим отображение <tex>F: G\times X\to X</tex>, такое что <tex>f(g,x) = g*x*g^{-1}</tex>. Все свойства из определения выполнены, следовательно группа <tex>G</tex> действует на <tex>X</tex>. Такое действие называется "действие сопряжениями".
 [[Категория: Теория групп]]

← Предыдущая		Версия 15:49, 4 июля 2010
Строка 48:		Строка 48:


−	'''Пример:''' Пусть <tex>G</tex> - группа с операцией <tex>''</tex> и множество <tex>X = G</tex>. Зададим отображение <tex>F: G\times X\to X</tex>, такое что <tex>f(g,x) = gx</tex>. Тогда все свойства из определения выполнятся вследствие соответствующих свойств группы. Таким образом группа <tex>G</tex> действует на <tex>X</tex>.	+	'''Пример 1:''' Пусть <tex>G</tex> - группа с операцией <tex>''</tex> и множество <tex>X = G</tex>. Зададим отображение <tex>F: G\times X\to X</tex>, такое что <tex>f(g,x) = gx</tex>. Тогда все свойства из определения выполнятся вследствие соответствующих свойств группы. Таким образом группа <tex>G</tex> действует на <tex>X</tex>.
		+
		+	'''Пример 2:''' Пусть <tex>G</tex> - группа с операцией <tex>''</tex> и множество <tex>X = G</tex>. Зададим отображение <tex>F: G\times X\to X</tex>, такое что <tex>f(g,x) = gx*g^{-1}</tex>. Все свойства из определения выполнены, следовательно группа <tex>G</tex> действует на <tex>X</tex>.

	[[Категория: Теория групп]]		[[Категория: Теория групп]]