Динамика по поддеревьям - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:10:58Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.220.100.252 в 06:05, 1 сентября 2022

2022-09-01T06:05:40Z

91.90.34.197: /* Задача о сумме длин всех путей в дереве */

2022-02-27T09:35:30Z

‎Задача о сумме длин всех путей в дереве

Kirkon: /* Задача о сумме длин всех путей в дереве */

2021-07-13T14:56:52Z

‎Задача о сумме длин всех путей в дереве

94.25.171.213: /* Псевдокод */

2021-03-31T10:44:25Z

‎Псевдокод

Infovarius в 12:25, 14 ноября 2018

2018-11-14T12:25:33Z

Sketcher: /* Псевдокод */

2017-01-07T14:19:19Z

‎Псевдокод

Sketcher: /* Псевдокод */

2017-01-07T14:13:02Z

‎Псевдокод

Shersh: /* Псевдокод */

2017-01-07T13:17:21Z

‎Псевдокод

Shersh: /* Задача о паросочетании максимального веса в дереве */

2017-01-07T13:16:50Z

‎Задача о паросочетании максимального веса в дереве

← Предыдущая		Версия 16:10, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	Главной особенностью [[динамическое программирование\|динамического программирования]] по [[Дерево, эквивалентные определения \| поддеревьям]] является необходимость учитывать ответы в поддеревьях, так как они могут влиять на ответы в других поддеревьях.		Главной особенностью [[динамическое программирование\|динамического программирования]] по [[Дерево, эквивалентные определения \| поддеревьям]] является необходимость учитывать ответы в поддеревьях, так как они могут влиять на ответы в других поддеревьях.
	Рассмотрим для лучшего понимания динамики по поддеревьям задачу о максимальном взвешенном паросочетании в дереве.		Рассмотрим для лучшего понимания динамики по поддеревьям задачу о максимальном взвешенном паросочетании в дереве.

← Предыдущая		Версия 06:05, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	Главной особенностью [[динамическое программирование\|динамического программирования]] по [[Дерево, эквивалентные определения \| поддеревьям]] является необходимость учитывать ответы в поддеревьях, так как они могут влиять на ответы в других поддеревьях.		Главной особенностью [[динамическое программирование\|динамического программирования]] по [[Дерево, эквивалентные определения \| поддеревьям]] является необходимость учитывать ответы в поддеревьях, так как они могут влиять на ответы в других поддеревьях.
	Рассмотрим для лучшего понимания динамики по поддеревьям задачу о максимальном взвешенном паросочетании в дереве.		Рассмотрим для лучшего понимания динамики по поддеревьям задачу о максимальном взвешенном паросочетании в дереве.

@@ Строка 48: / Строка 48: @@
 # Пути не проходящие через эту вершину. Это просто сумма суммы длин путей для всех поддеревьев детей или <tex> \sum_{x \in Ch(v)} \limits F[x]</tex>.
 # Пути оканчивающиеся в вершине <tex> v </tex>. Рассмотрим ребро, соединяющее вершину <tex> v </tex> и одного ее сына, пусть это будет вершина <tex> g </tex>. Переберем все пути, которые начинаются с этого ребра и идут вниз. Сумма длин всех таких путей будет сумма путей оканчивающихся в <tex> g + S[g] </tex>, так как суммарная длина путей оканчивающихся в вершине <tex> g </tex> уже сосчитана и каждый такой путь, которых ровно <tex> S[g] </tex> мы продлили ребром, соединяющим вершины <tex> v </tex> и <tex> g </tex>. Суммарная длина таких путей: <tex> G[v] = \sum_{x \in Ch(v)} \limits {\Bigl(G[x] + S[x]\Bigl)}</tex>.
-# Пути проходящие через вершину <tex> v </tex>. Рассмотрим двух сыновей этой вершины: <tex> x </tex> и <tex> y </tex>. Нам надо подсчитать все пути, которые поднимаются из поддерева <tex> x </tex> в <tex> v </tex> и затем опускаются в поддерево <tex> y </tex> и наоборот. То есть по каждому пути, оканчивающимся в вершине <tex> x </tex> мы пройдем столько раз сколько элементов в поддереве <tex> y </tex>, следовательно суммарная длина таких путей будет <tex> G[x]S[y] </tex>. Аналогично, если будем подниматься из поддерева <tex> y </tex>. Также надо учитывать сколько раз мы проходим по ребрам, соединяющим вершины <tex> x </tex> <tex> v </tex> и <tex> y </tex> <tex> x </tex>. Итого для двух вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex>: <tex> G[x]S[y] + G[y]S[x] + 2S[x]S[y]  </tex>, следовательно ( <tex> x,y \in Ch(v)</tex>) <tex> H[v] = \sum_{x,y\ x \ne y} \limits{\Bigl(G[x]S[y] + G[y]S[x] + 2S[x]S[y]\Bigl)} </tex>. Но такой подсчет испортит асимптотику до <tex> O(n^2) </tex>. Заметим, что <tex> \sum_{x,y} \limits {\Bigl(G[x]S[y]\Bigl)} = \sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} </tex>. Но еще надо учесть, что <tex> x \ne y </tex>, следовательно <tex> \sum_{x,y\ x \ne y} \limits{\Bigl(G[x]S[y]\Bigl)} = \sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(G[x]S[x]\Bigl)} </tex>. Аналогично для <tex> S[x]S[y] </tex>. Итак: <tex> H[v] = 2\biggl(\sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(G[x]S[x]\Bigl)} \biggl) + 2\biggl(\sum_{x} \limits {S[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(S[x]S[x]\Bigl)} \biggl) </tex>.
+# Пути проходящие через вершину <tex> v </tex>. Рассмотрим двух сыновей этой вершины: <tex> x </tex> и <tex> y </tex>. Нам надо подсчитать все пути, которые поднимаются из поддерева <tex> x </tex> в <tex> v </tex> и затем опускаются в поддерево <tex> y </tex> и наоборот. То есть по каждому пути, оканчивающимся в вершине <tex> x </tex> мы пройдем столько раз сколько элементов в поддереве <tex> y </tex>, следовательно суммарная длина таких путей будет <tex> G[x]S[y] </tex>. Аналогично, если будем подниматься из поддерева <tex> y </tex>. Также надо учитывать сколько раз мы проходим по ребрам, соединяющим вершины <tex> x </tex> <tex> v </tex> и <tex> y </tex> <tex> x </tex>. Итого для двух вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex>: <tex> G[x]S[y] + G[y]S[x] + 2S[x]S[y]  </tex>, следовательно ( <tex> x,y \in Ch(v)</tex>) <tex> H[v] = \sum_{x,y\ x \ne y} \limits{\Bigl(G[x]S[y] + G[y]S[x] + 2S[x]S[y]\Bigl)} </tex>. Но такой подсчет испортит асимптотику до <tex> O(n^2) </tex>. Заметим, что <tex> \sum_{x,y} \limits {\Bigl(G[x]S[y]\Bigl)} = \sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} </tex>. Но еще надо учесть, что <tex> x \ne y </tex>, следовательно <tex> \sum_{x,y\ x \ne y} \limits{\Bigl(G[x]S[y]\Bigl)} = \sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(G[x]S[x]\Bigl)} </tex>. Аналогично для <tex> S[x]S[y] </tex>. Итак: <tex> H[v] = \biggl(\sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(G[x]S[x]\Bigl)} \biggl) + \biggl(\sum_{x} \limits {S[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(S[x]S[x]\Bigl)} \biggl) </tex>.
 Ответ задачи: <tex> F[v] = \sum_{x \in Ch(v)} \limits F[x] + G[v] + H[v] </tex>. Асимптотика каждого слагаемого равна <tex>O \left ( \sum_{x=1}^n \limits \left | Ch(x) \right | \right )=O \left ( n \right )</tex>, где <tex> n </tex> — число вершин в дереве, следовательно и время работы самого алгоритма <tex> O \left (n \right ) </tex>.

@@ Строка 43: / Строка 43: @@
 |definition = Найти сумму длин всех путей в дереве.
 }}
-Решим эту задачу за <tex> O(n) </tex>. Пусть задано подвешенное дерево. Рассмотрим количество путей для вершины <tex> v </tex>. Во-первых, это пути не проходящие через эту вершину, то есть все пути между её сыновьями. Во-вторых, пути, которые оканчиваются вершиной <tex> v </tex>. И в третьих, это пути проходящие через вершину <tex> v </tex>, они начинаются из поддерева одного из сыновей этой вершины и заканчиваются в другом поддереве одного из сыновей вершины <tex> v </tex>.
+Решим эту задачу за <tex> O(n) </tex>. Пусть задано подвешенное дерево. Рассмотрим пути проходящие в поддереве вершины <tex> v </tex>. Во-первых, это пути, не проходящие через эту вершину, то есть все пути в поддеревьях её сыновей. Во-вторых, пути, которые оканчиваются вершиной <tex> v </tex>. И в-третьих, это пути, проходящие через вершину <tex> v </tex>, они начинаются из поддерева одного из сыновей этой вершины и заканчиваются в другом поддереве одного из сыновей вершины <tex> v </tex>.
-Теперь подсчитаем пути для каждого варианта. Обозначим <tex> S[v]\ - </tex> размер поддерева <tex> v </tex>, <tex> F[v]\ - </tex> сумма длин всех путей вершины <tex> v </tex>, <tex> G[v]\ - </tex> количество путей оканчивающихся вершиной <tex> v </tex>, <tex> H[v]\ - </tex> количество путей проходящих через вершину <tex> v </tex>. Если вершина <tex> u </tex> лист, то <tex> S[u] </tex> = 1, а <tex> G[u] </tex> = 0.
+Теперь подсчитаем пути для каждого варианта. Обозначим <tex> S[v]\ - </tex> размер поддерева <tex> v </tex>, <tex> F[v]\ - </tex> сумма длин всех путей в поддереве вершины <tex> v </tex>, <tex> G[v]\ - </tex> сумма длин всех путей начинающихся в поддереве вершины v и оканчивающихся вершиной <tex> v </tex>, <tex> H[v]\ - </tex> сумма длин всех путей проходящих через вершину <tex> v </tex>. Если вершина <tex> u </tex> лист, то <tex> S[u] </tex> = 1, а <tex> G[u] </tex> = <tex> H[u] </tex> = 0.
-# Пути не проходящие через эту вершину. Это просто сумма суммы длин для всех поддеревьев детей или <tex> \sum_{x \in Ch(v)} \limits F[x]</tex>.
+# Пути не проходящие через эту вершину. Это просто сумма суммы длин путей для всех поддеревьев детей или <tex> \sum_{x \in Ch(v)} \limits F[x]</tex>.
-# Пути оканчивающиеся в вершине <tex> v </tex>. Рассмотрим ребро, соединяющее вершину <tex> v </tex> и одного ее сына, пусть это будет вершина <tex> g </tex>. Переберем все пути, которые начинаются с этого ребра и идут вниз. Это будет сумма путей оканчивающихся в <tex> g + S[g] </tex>, так как суммарная длина поддерева <tex> g </tex> уже сосчитана и каждый такой путь мы продлили ребром, соединяющим вершины <tex> v </tex> и <tex> g </tex>. Всего таких путей: <tex> G[v] = \sum_{x \in Ch(v)} \limits {\Bigl(G[x] + S[x]\Bigl)}</tex>.
+# Пути оканчивающиеся в вершине <tex> v </tex>. Рассмотрим ребро, соединяющее вершину <tex> v </tex> и одного ее сына, пусть это будет вершина <tex> g </tex>. Переберем все пути, которые начинаются с этого ребра и идут вниз. Сумма длин всех таких путей будет сумма путей оканчивающихся в <tex> g + S[g] </tex>, так как суммарная длина путей оканчивающихся в вершине <tex> g </tex> уже сосчитана и каждый такой путь, которых ровно <tex> S[g] </tex> мы продлили ребром, соединяющим вершины <tex> v </tex> и <tex> g </tex>. Суммарная длина таких путей: <tex> G[v] = \sum_{x \in Ch(v)} \limits {\Bigl(G[x] + S[x]\Bigl)}</tex>.
-# Пути проходящие через вершину <tex> v </tex>. Рассмотрим двух сыновей этой вершины: <tex> x </tex> и <tex> y </tex>. Нам надо подсчитать все пути, которые поднимаются из поддерева <tex> x </tex> в <tex> v </tex> и затем опускаются в поддерево <tex> y </tex> и наоборот. То есть по каждому пути, оканчивающимся в вершине <tex> x </tex> мы пройдем столько раз сколько элементов в поддереве <tex> y </tex>, следовательно таких путей будет <tex> G[x]S[y] </tex>. Аналогично, если будем подниматься из поддерева <tex> y </tex>. Также надо учитывать сколько раз мы проходим по ребрам, соединяющим вершины <tex> x </tex> <tex> v </tex> и <tex> y </tex> <tex> x </tex>. Итого для двух вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex>: <tex> G[x]S[y] + G[y]S[x] + 2S[x]S[y]  </tex>, следовательно ( <tex> x,y \in Ch(v)</tex>) <tex> H[v] = \sum_{x,y\ x \ne y} \limits{\Bigl(G[x]S[y] + G[y]S[x] + 2S[x]S[y]\Bigl)} </tex>. Но такой подсчет испортит асимптотику до <tex> O(n^2) </tex>. Заметим, что <tex> \sum_{x,y} \limits {\Bigl(G[x]S[y]\Bigl)} = \sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} </tex>. Но еще надо учесть, что <tex> x \ne y </tex>, следовательно <tex> \sum_{x,y\ x \ne y} \limits{\Bigl(G[x]S[y]\Bigl)} = \sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(G[x]S[x]\Bigl)} </tex>. Аналогично для <tex> S[x]S[y] </tex>. Итак: <tex> H[v] = 2\biggl(\sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(G[x]S[x]\Bigl)} \biggl) + 2\biggl(\sum_{x} \limits {S[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(S[x]S[x]\Bigl)} \biggl) </tex>.
+# Пути проходящие через вершину <tex> v </tex>. Рассмотрим двух сыновей этой вершины: <tex> x </tex> и <tex> y </tex>. Нам надо подсчитать все пути, которые поднимаются из поддерева <tex> x </tex> в <tex> v </tex> и затем опускаются в поддерево <tex> y </tex> и наоборот. То есть по каждому пути, оканчивающимся в вершине <tex> x </tex> мы пройдем столько раз сколько элементов в поддереве <tex> y </tex>, следовательно суммарная длина таких путей будет <tex> G[x]S[y] </tex>. Аналогично, если будем подниматься из поддерева <tex> y </tex>. Также надо учитывать сколько раз мы проходим по ребрам, соединяющим вершины <tex> x </tex> <tex> v </tex> и <tex> y </tex> <tex> x </tex>. Итого для двух вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex>: <tex> G[x]S[y] + G[y]S[x] + 2S[x]S[y]  </tex>, следовательно ( <tex> x,y \in Ch(v)</tex>) <tex> H[v] = \sum_{x,y\ x \ne y} \limits{\Bigl(G[x]S[y] + G[y]S[x] + 2S[x]S[y]\Bigl)} </tex>. Но такой подсчет испортит асимптотику до <tex> O(n^2) </tex>. Заметим, что <tex> \sum_{x,y} \limits {\Bigl(G[x]S[y]\Bigl)} = \sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} </tex>. Но еще надо учесть, что <tex> x \ne y </tex>, следовательно <tex> \sum_{x,y\ x \ne y} \limits{\Bigl(G[x]S[y]\Bigl)} = \sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(G[x]S[x]\Bigl)} </tex>. Аналогично для <tex> S[x]S[y] </tex>. Итак: <tex> H[v] = 2\biggl(\sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(G[x]S[x]\Bigl)} \biggl) + 2\biggl(\sum_{x} \limits {S[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(S[x]S[x]\Bigl)} \biggl) </tex>.
 Ответ задачи: <tex> F[v] = \sum_{x \in Ch(v)} \limits F[x] + G[v] + H[v] </tex>. Асимптотика каждого слагаемого равна <tex>O \left ( \sum_{x=1}^n \limits \left | Ch(x) \right | \right )=O \left ( n \right )</tex>, где <tex> n </tex> — число вершин в дереве, следовательно и время работы самого алгоритма <tex> O \left (n \right ) </tex>.

@@ Строка 34: / Строка 34: @@
      '''for''' (i : Ch[x])
          dfs(i, a, b, c, w, Ch)
-         a[x] = max(a[x], b[i] + w[x][i] - с[i])  <font color = darkgreen>// по формуле выше, но без b[x] (прибавим его один раз в конце) </font color = darkgreen>
+         a[x] = max(a[x], b[i] + w[x][i] - с[i]) <font color = darkgreen>// по формуле выше, но без b[x] (прибавим его один раз в конце) </font color = darkgreen>
          b[x] += с[i]
-     a[x] += b[x]                                 <font color = darkgreen>// так как в a[x] пока что хранится только на сколько мы можем увеличить ответ если будем использовать вершину x</font color = darkgreen>
+     a[x] += b[x]                                <font color = darkgreen>// так как в a[x] пока что хранится только на сколько мы можем увеличить ответ если будем использовать вершину x</font color = darkgreen>
      c[x] = max(a[x], b[x])

@@ Строка 70: / Строка 70: @@
 [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 [[Категория: Динамическое программирование]]
-[[Категория: Другие задачи]]
+[[Категория: Другие задачи динамического программирования]]

@@ Строка 31: / Строка 31: @@
 === Псевдокод ===
   <font color = darkgreen>// в основной процедуре вызываем dfs от корня(root), после этого ответ будет хранится в c[root] </font color = darkgreen>
-  '''function''' dfs(x: '''int''', a: '''int[]''', b: '''int[]''', c: '''int[]''', w: '''int[][], Ch: '''int[]'''):
+  '''function''' dfs(x: '''int''', a: '''int[]''', b: '''int[]''', c: '''int[]''', w: '''int[][]''', Ch: '''int[]'''):
      '''for''' (i : Ch[x])
          dfs(i, a, b, c, w, Ch)

@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 == Задача о паросочетании максимального веса в дереве ==
-Пусть задано взвешенное дерево, с весами, обозначенными как <tex>w_{i,j}</tex>, где <tex>i</tex> и <tex>j</tex> — вершины дерева, соединённые ребром.
 {{Задача
-|definition = Cоставить такое [[Теорема_о_максимальном_паросочетании_и_дополняющих_цепях | паросочетание]], чтобы суммарный вес всех рёбер, входящих в него, был максимальным.
+|definition = Пусть задано взвешенное дерево, с весами, обозначенными как <tex>w_{i,j}</tex>, где <tex>i</tex> и <tex>j</tex> — вершины дерева, соединённые ребром.. Необходимо составить такое [[Теорема_о_максимальном_паросочетании_и_дополняющих_цепях | паросочетание]], чтобы суммарный вес всех рёбер, входящих в него, был максимальным.
 }}
 Для решения данной задачи существует несколько алгоритмов. Например, [[алгоритм_Куна_для_поиска_максимального_паросочетания | алгоритм Куна]], который имеет верхнюю оценку порядка <tex>O \left ( n^3 \right )</tex>. Но так как нам дано дерево, то можно использовать динамическое программирование, время работы алгоритма с которым улучшается до <tex>O \left ( n \right )</tex>.