Задача о вписанной окружности - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:05:35Z

rollbackEdits.php mass rollback

141.98.9.47 в 06:31, 1 сентября 2022

2022-09-01T06:31:35Z

IvanKozhevnikov: Новая страница: «== Формулировка == Пусть треугольник задан двумя векторам \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AC}
2012-02-05T17:09:50Z

Новая страница: «== Формулировка == Пусть треугольник задан двумя векторам <tex>\overrightarrow{AB}</tex> и <tex>\overrightarrow{AC}</t...»

Новая страница
== Формулировка ==
Пусть треугольник задан двумя векторам <tex>\overrightarrow{AB}</tex> и <tex>\overrightarrow{AC}</tex>. Необходимо найти центр и радиус вписанной окружности
== Решение ==
[[Файл:Безымянный.GIF|200px|right|]]
Сначала найдем радиус окружности. Площадь треугольника <tex>ABC</tex> мы можем найти из векторного произведения векторов <tex>\overrightarrow{AB}</tex> и <tex>\overrightarrow{AC}</tex>. С другой стороны, <tex>S_{ABC} = S_{AOB} + S_{AOC} + S_{BOC}</tex>. А площадь маленьких треугольников равна половине произведения радиуса окружности на основание. Например, <tex>S_{AOC} = \frac{1}{2} * R * AC</tex>. Отсюда получаем выражение, из которого можно найти радиус окружности. <tex>R = \frac{|[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}]|}{AB + BC + AC}</tex>

Теперь будем искать центр окружности. Как известно, центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Вектор, коллиниарный вектору <tex>\overrightarrow{AO}</tex>, можно найти следующим образом <tex>\overrightarrow{l} = \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC}</tex>. Обозначим вектор <tex>\overrightarrow{l_1} = \frac{\overrightarrow{l}}{|\overrightarrow{l}|} </tex>. Теперь необходимо найти длину вектора <tex>\overrightarrow{AO}</tex>. <tex> AO = \frac{OH}{sin\frac{\alpha}{2}}</tex>, где <tex>\alpha = \angle{BAC}</tex>. По формуле понижения степени <tex> sin^{2}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - cos\alpha}{2}</tex>. Найти <tex>cos\alpha</tex> можно из скалярного произведения. <tex>cos\alpha = \frac{(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}</tex>. Заметим, что <tex>OH = R</tex>, и можем выразить длину <tex>AO = \frac{|[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}]|}{AB + BC + AC}\frac{\sqrt{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}| - (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})}</tex>. Задача почти решена, осталось только отметить, что <tex>AB = |\overrightarrow{AB}|, AC = |\overrightarrow{AC}|, BC = |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|</tex>, а радиус-вектор точки центра окружности совпадает с радиус-вектором <tex>\overrightarrow{AO} </tex>, a <tex>\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{l_1} * AO </tex>

← Предыдущая		Версия 16:05, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	== Формулировка ==		== Формулировка ==
	Пусть треугольник задан двумя векторам <tex>\overrightarrow{AB}</tex> и <tex>\overrightarrow{AC}</tex>. Необходимо найти центр и радиус вписанной окружности		Пусть треугольник задан двумя векторам <tex>\overrightarrow{AB}</tex> и <tex>\overrightarrow{AC}</tex>. Необходимо найти центр и радиус вписанной окружности

← Предыдущая		Версия 06:31, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	== Формулировка ==		== Формулировка ==
	Пусть треугольник задан двумя векторам <tex>\overrightarrow{AB}</tex> и <tex>\overrightarrow{AC}</tex>. Необходимо найти центр и радиус вписанной окружности		Пусть треугольник задан двумя векторам <tex>\overrightarrow{AB}</tex> и <tex>\overrightarrow{AC}</tex>. Необходимо найти центр и радиус вписанной окружности