Задача о рюкзаке - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:19:15Z

rollbackEdits.php mass rollback

171.25.193.80 в 05:33, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:33:49Z

Requiem: /* Метод динамического программирования */

2020-12-15T13:37:18Z

‎Метод динамического программирования

Linn: /* Варианты решения */

2020-07-26T14:04:45Z

‎Варианты решения

91.193.176.153: /* Метод динамического программирования */

2019-12-08T19:00:22Z

‎Метод динамического программирования

88.204.224.70: /* Неограниченный рюкзак */

2019-02-27T04:54:41Z

‎Неограниченный рюкзак

93.175.2.96: /* Метод динамического программирования */

2019-01-21T20:58:44Z

‎Метод динамического программирования

128.73.221.75: /* Непрерывный рюкзак */

2018-12-29T16:14:29Z

‎Непрерывный рюкзак

93.175.2.28: /* Метод динамического программирования */

2018-06-22T11:11:46Z

‎Метод динамического программирования

Енгулатов в 09:27, 5 июня 2017

2017-06-05T09:27:04Z

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Задача
 |definition =
-'''Задача о рюкзаке '''(''англ. Knapsack problem'') — дано <tex>N</tex> предметов, <tex>n_i</tex> предмет имеет массу <tex> w_i > 0</tex> и стоимость <tex> p_i > 0</tex>. Необходимо выбрать из этих предметов такой набор, чтобы суммарная масса не превосходила заданной величины <tex>W</tex> (вместимость рюкзака), а суммарная стоимость была максимальна.
+'''Задача о рюкзаке '''(''англ. Knapsack problem'') — дано <tex>N</tex> предметов, <tex>n_i</tex> предмет имеет массу <tex> w_i > 0</tex> и стоимость <tex> p_i > 0</tex>. Необходимо выбрать из этих предметов такой набор, чтобы суммарная масса не превосходила заданной величины <tex>W</tex> (вместимость рюкзака), а суммарная стоимость была максимальна.
 }}
 == Формулировка задачи ==
-Дано <tex>N</tex> предметов, <tex>W</tex> — вместимость рюкзака, <tex>w=\{w_{1},w_{2},\dots,w_{N}\}</tex> — соответствующий ему набор положительных целых весов, <tex>p=\{p_{1},p_{2},\dots,p_{N}\}</tex> — соответствующий ему набор положительных целых стоимостей. Нужно найти набор бинарных величин <tex>B=\{b_{1},b_{2},\dots,b_{N}\}</tex>, где <tex>b_{i} = 1 </tex>, если предмет <tex>n_i</tex> включен в набор, <tex> b_{i} = 0 </tex>, если предмет <tex>n_i</tex> не включен, и такой что:
+Дано <tex>N</tex> предметов, <tex>W</tex> — вместимость рюкзака, <tex>w=\{w_{1},w_{2},\dots,w_{N}\}</tex> — соответствующий ему набор положительных целых весов, <tex>p=\{p_{1},p_{2},\dots,p_{N}\}</tex> — соответствующий ему набор положительных целых стоимостей. Нужно найти набор бинарных величин <tex>B=\{b_{1},b_{2},\dots,b_{N}\}</tex>, где <tex>b_{i} = 1 </tex>, если предмет <tex>n_i</tex> включен в набор, <tex> b_{i} = 0 </tex>, если предмет <tex>n_i</tex> не включен, и такой что:
 #<tex>b_{1} w_{1}+ \dots + b_{N} w_{N} \leqslant W</tex>
@@ Строка 44: / Строка 23: @@
 == Метод динамического программирования ==
-Пусть <tex>A(k, s)</tex> есть максимальная стоимость предметов, которые можно уложить в рюкзак вместимости <tex>s</tex>, если можно использовать только первые <tex>k</tex> предметов, то есть <tex>\{n_1,n_2,\dots,n_k\}</tex>, назовем этот набор допустимых предметов для <tex>A(k,s)</tex>.
+Пусть <tex>A(k, s)</tex> есть максимальная стоимость предметов, которые можно уложить в рюкзак вместимости <tex>s</tex>, если можно использовать только первые <tex>k</tex> предметов, то есть <tex>\{n_1,n_2,\dots,n_k\}</tex>, назовем этот набор допустимых предметов для <tex>A(k,s)</tex>.
 <tex>A(k, 0) = 0</tex>

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Задача
 |definition =
-'''Задача о рюкзаке '''(''англ. Knapsack problem'') — дано <tex>N</tex> предметов, <tex>n_i</tex> предмет имеет массу <tex> w_i > 0</tex> и стоимость <tex> p_i > 0</tex>. Необходимо выбрать из этих предметов такой набор, чтобы суммарная масса не превосходила заданной величины <tex>W</tex> (вместимость рюкзака), а суммарная стоимость была максимальна.
+'''Задача о рюкзаке '''(''англ. Knapsack problem'') — дано <tex>N</tex> предметов, <tex>n_i</tex> предмет имеет массу <tex> w_i > 0</tex> и стоимость <tex> p_i > 0</tex>. Необходимо выбрать из этих предметов такой набор, чтобы суммарная масса не превосходила заданной величины <tex>W</tex> (вместимость рюкзака), а суммарная стоимость была максимальна.
 }}
 == Формулировка задачи ==
-Дано <tex>N</tex> предметов, <tex>W</tex> — вместимость рюкзака, <tex>w=\{w_{1},w_{2},\dots,w_{N}\}</tex> — соответствующий ему набор положительных целых весов, <tex>p=\{p_{1},p_{2},\dots,p_{N}\}</tex> — соответствующий ему набор положительных целых стоимостей. Нужно найти набор бинарных величин <tex>B=\{b_{1},b_{2},\dots,b_{N}\}</tex>, где <tex>b_{i} = 1 </tex>, если предмет <tex>n_i</tex> включен в набор, <tex> b_{i} = 0 </tex>, если предмет <tex>n_i</tex> не включен, и такой что:
+Дано <tex>N</tex> предметов, <tex>W</tex> — вместимость рюкзака, <tex>w=\{w_{1},w_{2},\dots,w_{N}\}</tex> — соответствующий ему набор положительных целых весов, <tex>p=\{p_{1},p_{2},\dots,p_{N}\}</tex> — соответствующий ему набор положительных целых стоимостей. Нужно найти набор бинарных величин <tex>B=\{b_{1},b_{2},\dots,b_{N}\}</tex>, где <tex>b_{i} = 1 </tex>, если предмет <tex>n_i</tex> включен в набор, <tex> b_{i} = 0 </tex>, если предмет <tex>n_i</tex> не включен, и такой что:
 #<tex>b_{1} w_{1}+ \dots + b_{N} w_{N} \leqslant W</tex>
@@ Строка 23: / Строка 44: @@
 == Метод динамического программирования ==
-Пусть <tex>A(k, s)</tex> есть максимальная стоимость предметов, которые можно уложить в рюкзак вместимости <tex>s</tex>, если можно использовать только первые <tex>k</tex> предметов, то есть <tex>\{n_1,n_2,\dots,n_k\}</tex>, назовем этот набор допустимых предметов для <tex>A(k,s)</tex>.
+Пусть <tex>A(k, s)</tex> есть максимальная стоимость предметов, которые можно уложить в рюкзак вместимости <tex>s</tex>, если можно использовать только первые <tex>k</tex> предметов, то есть <tex>\{n_1,n_2,\dots,n_k\}</tex>, назовем этот набор допустимых предметов для <tex>A(k,s)</tex>.
 <tex>A(k, 0) = 0</tex>

@@ Строка 181: / Строка 181: @@
 Тогда меняя i от 1 до <tex>N</tex>, рассчитаем на каждом шаге <tex>d(i,c)</tex>, для <tex>c</tex> от 1 до <tex>W</tex>, по рекуррентной формуле:
-<tex>d(i,c) = \max(d(i - 1, c - lw_i) + lp_i) </tex> по всем целым <tex> l </tex> из промежутка <tex> 0 \leqslant l \leqslant min(b_i,\lfloor c/w_i \rfloor)</tex>.
+<tex>d(i,c) = \max(d(i, c), d(i - 1, c - lw_i) + lp_i) </tex> по всем целым <tex> l </tex> из промежутка <tex> 0 \leqslant l \leqslant min(b_i,\lfloor c/w_i \rfloor)</tex>.
 Если не нужно восстанавливать ответ, то можно использовать одномерный массив <tex>d(c)</tex> вместо двумерного.

@@ Строка 288: / Строка 288: @@
 Для решения пригодны любые методы применяемые для классической задачи, однако специализированые алгоритмы обычно более оптимальны по параметрам. Используются:
 * Метод динамического программирования.
-* Гибридный метод на основе динамического программирования и поиска по дереву. В худшем случае, работает за <tex> O(n) </tex>.
+* Использовать различные сложные алгоритмы <ref>http://hjemmesider.diku.dk/~pisinger/codes.html</ref><ref>Pisinger D (1999). "Linear Time Algorithms for Knapsack Problems with Bounded Weights". ''Journal of Algorithms'', Volume 33, Number 1, October 1999, pp. 1–14</ref><ref>Koiliaris, Konstantinos; Xu, Chao (2015-07-08). "A Faster Pseudopolynomial Time Algorithm for Subset Sum".</ref><ref>Bringmann K. A near-linear pseudopolynomial time algorithm for subset sum[C]//Proceedings of the Twenty-Eighth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2017: 1073-1084</ref>.
 ===Метод динамического программирования===

@@ Строка 56: / Строка 56: @@
 Заметим, что при построении <tex>A</tex> мы выбирали максимум из этих значений и записывали в <tex>A(i, w)</tex>. Тогда будем сравнивать <tex>A(i, w)</tex> c <tex>A(i-1, w)</tex>, если равны, тогда <tex>n_i</tex> не входит в искомый набор, иначе входит.
-Метод динамического программирование всё равно не позволяет решать задачу за полиномиальное время, потому что задача о ранце (или задача о рюкзаке) — одна из [[Класс NP|NP-полных]] задач комбинаторной оптимизации.
+Метод динамического программирование всё равно не позволяет решать задачу за полиномиальное время, потому что его сложность зависит от максимального веса. Задача о ранце (или задача о рюкзаке) — одна из [[Класс NP|NP-полных]] задач комбинаторной оптимизации.
 == Реализация ==

@@ Строка 219: / Строка 219: @@
 ===Метод динамического программирования===
-Пусть <tex>d(i,c)</tex> максимальная стоимость любого количества вещей типов от 1 до <tex>i</tex>, суммарным весом до <tex>c</tex> включительно.
+Пусть <tex>d(i,c)</tex> - максимальная стоимость любого количества вещей типов от 1 до <tex>i</tex>, суммарным весом до <tex>c</tex> включительно.
 Заполним <tex>d(0,c)</tex> нулями.

@@ Строка 244: / Строка 244: @@
 {{Задача
 |definition =
-'''Непрерывный рюкзак''' (англ. ''Continuous knapsack problem'') — вариант задачи, в котором возможно брать любою дробную часть от предмета, при этом удельная стоимость сохраняется.
+'''Непрерывный рюкзак''' (англ. ''Continuous knapsack problem'') — вариант задачи, в котором возможно брать любую дробную часть от предмета, при этом удельная стоимость сохраняется.
 }}

@@ Строка 158: / Строка 158: @@
 }}
 ===Формулировка Задачи===
@@ Строка 204: / Строка 202: @@
 '''Неограниченный рюкзак''' (англ.''Unbounded Knapsack Problem'') — обобщение ограниченного рюкзака, в котором любой предмет может быть выбран любое количество раз.
 }}
 ===Формулировка Задачи===
@@ Строка 251: / Строка 246: @@
 '''Непрерывный рюкзак''' (англ. ''Continuous knapsack problem'') — вариант задачи, в котором возможно брать любою дробную часть от предмета, при этом удельная стоимость сохраняется.
 }}
 ===Формулировка Задачи===
@@ Строка 283: / Строка 275: @@
 '''Задача о суммах подмножеств''' (англ. ''Subset sum problem, Value Independent Knapsack Problem'') — задача из семейства, в которой стоимость предмета совпадает с его весом.
 }}
 ===Формулировка Задачи===
@@ Строка 369: / Строка 358: @@
 '''Задача об упаковке''' (англ. ''Bin Packing Problem'') — имеются <tex> N </tex> рюкзаков вместимости <tex> W </tex> и столько же предметов с весами <tex>w_i</tex>. Нужно распределить все предметы, задействовав минимальное количество рюкзаков.
 }}
 ===Формулировка Задачи===
@@ Строка 392: / Строка 378: @@
 '''Мультипликативный рюкзак''' (англ. ''Multiple Knapsack Problem'') — есть <tex>N</tex> предметов и <tex>M</tex> рюкзаков (<tex>M\leqslant N</tex>). У каждого рюкзака своя вместимость <tex>W_i</tex>. Задача: выбрать <tex>M</tex> не пересекающихся множеств, назначить соответствие рюкзакам так, чтобы суммарная стоимость была максимальна, а вес предметов в каждом рюкзаке не превышал его вместимость.
 }}
 ===Формулировка Задачи===
@@ Строка 414: / Строка 397: @@
 '''Задача о назначении''' (англ. ''Generalized Assignment Problem'') — Наиболее общая задача семейства. Отличается от мультипликативного рюкзака тем, что каждый предмет имеет различные характеристики в зависимости от рюкзака, куда его помещают. Есть <tex>N</tex> предметов и <tex>M</tex> рюкзаков (<tex>M\leqslant N</tex>). У каждого рюкзака своя вместимость <tex>W_i</tex>, у <tex> j </tex> предмета <tex> p_{ij} </tex> стоимость и вес, при помещении его в <tex> i </tex> рюкзак, равны <tex> p_{ij} </tex> и <tex> w_{ij} </tex>  соответственно.
 }}
 Весьма важная задача, так как она моделирует оптимальное распределение различных задач между вычислительными блоками.
@@ Строка 425: / Строка 405: @@
 при выполнении условия совместности <tex>\sum_{j=1}^N w_{ij} x_{ij} \leqslant W_i \qquad i=1, \ldots, M</tex>.
-<tex> \sum_{i=1}^M x_{ij} \leq 1 \qquad j=1, \ldots, N</tex>.
+<tex> \sum_{i=1}^M x_{ij} \leqslant 1 \qquad j=1, \ldots, N</tex>.
 <tex> x_{ij} \in \{0,1\} \qquad i=1, \ldots, N, \quad j=1, \ldots, N</tex>.