Интеграл Фейера - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:33:37Z

rollbackEdits.php mass rollback

88.208.225.209 в 04:18, 1 сентября 2022

2022-09-01T04:18:42Z

Sementry в 20:55, 25 июня 2012

2012-06-25T20:55:45Z

Sementry в 20:33, 25 июня 2012

2012-06-25T20:33:28Z

Komarov в 14:09, 24 июня 2012

2012-06-24T14:09:35Z

Komarov: так проще, понятней и правильно

2012-06-24T13:58:58Z

так проще, понятней и правильно

Komarov в 13:40, 24 июня 2012

2012-06-24T13:40:29Z

Sementry в 15:21, 23 июня 2012

2012-06-23T15:21:44Z

Sementry в 15:06, 23 июня 2012

2012-06-23T15:06:28Z

Sementry в 15:04, 23 июня 2012

2012-06-23T15:04:49Z

← Предыдущая		Версия 16:33, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	[[Интеграл Дирихле\|<<]][[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах\|>>]]		[[Интеграл Дирихле\|<<]][[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах\|>>]]

← Предыдущая		Версия 04:18, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	[[Интеграл Дирихле\|<<]][[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах\|>>]]		[[Интеграл Дирихле\|<<]][[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах\|>>]]

@@ Строка 42: / Строка 42: @@
 Оценка сверху: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt = \ln t \bigg|_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \sim \ln n </tex>.
-Оценка снизу: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \ge \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\sin^2 (2n+ 1)t}{t} dt = \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{t} - \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt \sim \ln n </tex>. (<tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt \underset{u = (2n + 1)t}{=} \int\limits_{\pi}^{\frac{(2n + 1)\pi}{2}} \frac {\cos 2u}{u} du \xrightarrow[n \to \infty]{} const </tex> как интеграл по типу Дирихле. Не путать с интегралом Дирихле из прошлого параграфа. Смотри раздел [[Несобственные_интегралы#Dirichlet|несобственные интегралы из первого семестра]].
+Оценка снизу: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \ge \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\sin^2 (2n+ 1)t}{t} dt = \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{t} - \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt</tex>.
 Отсюда получаем требуемое.

@@ Строка 42: / Строка 42: @@
 Оценка сверху: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt = \ln t \bigg|_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \sim \ln n </tex>.
-Оценка снизу: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \ge \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\sin^2 (2n+ 1)t}{t} dt = \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{t} - \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt \sim \ln n </tex>. (<tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt \underset{u = (2n + 1)t}{=} \int\limits_{\pi}^{\frac{(2n + 1)\pi}{2}} \frac {\cos 2u}{u} du \xrightarrow[n \to \infty]{} const </tex> как интеграл по типу Дирихле. Не путать с интегралом Дирихле из прошлого параграфа. Смотри раздел [[Несобственные_интегралы#Dirichlet|несобственные интегралы из первого семестра]]. )
+Оценка снизу: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \ge \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\sin^2 (2n+ 1)t}{t} dt = \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{t} - \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt \sim \ln n </tex>. (<tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt \underset{u = (2n + 1)t}{=} \int\limits_{\pi}^{\frac{(2n + 1)\pi}{2}} \frac {\cos 2u}{u} du \xrightarrow[n \to \infty]{} const </tex> как интеграл по типу Дирихле. Не путать с интегралом Дирихле из прошлого параграфа. Смотри раздел [[Несобственные_интегралы#Dirichlet|несобственные интегралы из первого семестра]].
 Отсюда получаем требуемое.
@@ Строка 49: / Строка 49: @@
 Именно с этим фактом связана трудность исследования рядов Фурье в индивидуальной точке, в отличии от сумм Фейера, где ядро положительно и условия сходимости выписываются проще.
-Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = \lim\limits_{n \to \infty}S_n</tex>, где <tex>S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k</tex>. Для расходящихся рядов можно применять обобщенные методы суммирования, главное, чтобы выполнялись [[Суммирование_расходящихся_рядов#правила суммирования|свойства перманентности и эффективности]]. К примеру, если <tex>\sigma_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{\infty}S_k \to S</tex>, то <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = S</tex> по методу средних арифметических.
+Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = \lim\limits_{n \to \infty}S_n</tex>, где <tex>S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k</tex>. Для расходящихся рядов можно применять обобщенные методы суммирования, главное, чтобы выполнялись [[Суммирование_расходящихся_рядов#правила суммирования|свойства перманентности и эффективности]]. К примеру, если <tex>\sigma_n=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_k \to S</tex>, то <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = S</tex> по методу средних арифметических.
 В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: <tex>\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})=\lim\limits_{n \to \infty}S_n(f,x)=\lim\limits_{n \to \infty}\sigma_n(f,x)</tex>(с.а.). В этом и состоит смысл введения сумм Фейера.

← Предыдущая		Версия 14:09, 24 июня 2012
Строка 1:		Строка 1:
	[[Интеграл Дирихле\|<<]][[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах\|>>]]		[[Интеграл Дирихле\|<<]][[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах\|>>]]
−
−	~~{{В разработке}}~~

	{{Определение		{{Определение

@@ Строка 40: / Строка 40: @@
 Разобьем интеграл на две части, <tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} </tex>:
-<tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le  \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {(2n + 1) |\sin t|}{t} dt \le \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {(2n+1) t}{t} dt \le \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} (2n+1) dt</tex> <tex> \le const </tex>.
+<tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {(2n+1) t}{t} dt \le \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} (2n+1) dt</tex> <tex> \le const </tex>.
 Оценка сверху: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt = \ln t \bigg|_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \sim \ln n </tex>.

@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 }}
-Пользуясь определением, запишем <tex>\sigma_n(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt</tex>, что принято называть '''интегралом Фейера'''. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по <tex>Q</tex> ядро Фейера: <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1</tex>, то есть ядро Фейера нормированно <tex>1</tex>. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу <tex>\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)-f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для исследования сходимости сумм Фейера в индивидуальной точке <tex>x</tex>. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.
+Пользуясь определением, запишем <tex>\sigma_n(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt</tex>, что принято называть '''интегралом Фейера'''. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по <tex>Q</tex> ядро Фейера: <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1</tex>, то есть ядро Фейера нормированно <tex>1</tex>. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу <tex>\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для исследования сходимости сумм Фейера в индивидуальной точке <tex>x</tex>. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.
 {{Утверждение

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-[[Определение ряда Фурье|<<]][[Теорема Фейера|>>]]
+[[Интеграл Дирихле|<<]][[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|>>]]
 {{В разработке}}
@@ Строка 54: / Строка 54: @@
 В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: <tex>\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})=\lim\limits_{n \to \infty}S_n(f,x)=\lim\limits_{n \to \infty}\sigma_n(f,x)</tex>(с.а.). В этом и состоит смысл введения сумм Фейера.
-[[Определение ряда Фурье|<<]][[Теорема Фейера|>>]]
+[[Интеграл Дирихле|<<]][[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|>>]]
 [[Категория:Математический анализ 2 курс]]