Классы чисел - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:03:33Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.243.218.46 в 06:36, 1 сентября 2022

2022-09-01T06:36:36Z

Senya: /* Теоретико-множественное определение */

2018-06-03T00:12:08Z

‎Теоретико-множественное определение

Senya: /* Теоретико-множественное определение */

2018-06-03T00:11:39Z

‎Теоретико-множественное определение

Senya: /* Определение целых чисел */

2018-06-03T00:10:10Z

‎Определение целых чисел

Senya: /* Определение вещественных чисел */

2018-06-03T00:08:33Z

‎Определение вещественных чисел

Senya: /* Определение натуральных чисел */

2018-06-03T00:05:57Z

‎Определение натуральных чисел

Senya: /* Определение натуральных чисел */

2018-06-03T00:05:16Z

‎Определение натуральных чисел

Senya: /* Определение натуральных чисел */

2018-06-03T00:03:55Z

‎Определение натуральных чисел

Senya в 06:57, 2 июня 2018

2018-06-02T06:57:19Z

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==Определение натуральных чисел==
 ''Oсновная статья:'' [[Натуральные числа | Натуральные числа]]
@@ Строка 26: / Строка 5: @@
 {{Определение
 |definition=
-'''Натура́льные чи́сла''' (англ. ''natural numbers'', естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
+'''Натура́льные чи́сла''' (англ. ''natural numbers'', естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
 }}
-Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
+Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
-* '''перечислении (нумеровании) предметов''' (''первый'', ''второй'', ''третий''…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
+* '''перечислении (нумеровании) предметов''' (''первый'', ''второй'', ''третий''…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
 * '''обозначении количества предметов''' (''нет предметов'', ''один предмет'', ''два предмета''…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.
@@ Строка 46: / Строка 25: @@
 # <tex>\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)</tex> (<tex>1</tex> не следует ни за каким натуральным числом);
 # Если <tex>S(b)=a</tex> и <tex>S(c)=a</tex>, тогда <tex>b=c</tex> (если натуральное число <tex>a</tex> непосредственно следует как за числом <tex>b</tex>, так и за числом <tex>c</tex>, то <tex>b=c</tex>);
-# '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
+# '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
 :: если <tex>P(1)</tex> и <tex>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</tex>, то <tex>\forall n\;P(n)</tex>
 :: ('''Если''' некоторое высказывание <tex>P</tex> верно для <tex>n=1</tex> (''база индукции'') и для любого <tex>n</tex> при допущении, что верно <tex>P(n)</tex>, верно и <tex>P(n+1)</tex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <tex>P(n)</tex> верно для любых натуральных <tex>n</tex>).
@@ Строка 104: / Строка 83: @@
 }}
-С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
+С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
-Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — <big>'''''R'''''</big> (полужирное «R»), или <tex>\mathbb{R}</tex> (blackboard bold «R») от realis — действительный.
+Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — <big>'''''R'''''</big> (полужирное «R»), или <tex>\mathbb{R}</tex> (blackboard bold «R») от realis — действительный.
 ===Определение комплексных чисел===
@@ Строка 112: / Строка 91: @@
 {{Определение
 |definition=
-'''Ко́мпле́ксные чи́сла''' (англ. ''complex number'') — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается <tex>\mathbb{C}</tex>.
+'''Ко́мпле́ксные чи́сла''' (англ. ''complex number'') — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается <tex>\mathbb{C}</tex>.
-Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма <tex>x+iy</tex>, где <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — вещественные числа, <tex>i</tex> — мнимая единица (одно из решений уравнения <tex>x^2 = -1</tex>).
+Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма <tex>x+iy</tex>, где <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — вещественные числа, <tex>i</tex> — мнимая единица (одно из решений уравнения <tex>x^2 = -1</tex>).
 }}
-Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени <tex>n</tex> с комплексными коэффициентами имеет ровно <tex>n</tex> комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.
+Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени <tex>n</tex> с комплексными коэффициентами имеет ровно <tex>n</tex> комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==Определение натуральных чисел==
 ''Oсновная статья:'' [[Натуральные числа | Натуральные числа]]
@@ Строка 5: / Строка 26: @@
 {{Определение
 |definition=
-'''Натура́льные чи́сла''' (англ. ''natural numbers'', естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
+'''Натура́льные чи́сла''' (англ. ''natural numbers'', естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
 }}
-Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
+Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
-* '''перечислении (нумеровании) предметов''' (''первый'', ''второй'', ''третий''…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
+* '''перечислении (нумеровании) предметов''' (''первый'', ''второй'', ''третий''…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
 * '''обозначении количества предметов''' (''нет предметов'', ''один предмет'', ''два предмета''…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.
@@ Строка 25: / Строка 46: @@
 # <tex>\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)</tex> (<tex>1</tex> не следует ни за каким натуральным числом);
 # Если <tex>S(b)=a</tex> и <tex>S(c)=a</tex>, тогда <tex>b=c</tex> (если натуральное число <tex>a</tex> непосредственно следует как за числом <tex>b</tex>, так и за числом <tex>c</tex>, то <tex>b=c</tex>);
-# '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
+# '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
 :: если <tex>P(1)</tex> и <tex>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</tex>, то <tex>\forall n\;P(n)</tex>
 :: ('''Если''' некоторое высказывание <tex>P</tex> верно для <tex>n=1</tex> (''база индукции'') и для любого <tex>n</tex> при допущении, что верно <tex>P(n)</tex>, верно и <tex>P(n+1)</tex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <tex>P(n)</tex> верно для любых натуральных <tex>n</tex>).
@@ Строка 83: / Строка 104: @@
 }}
-С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
+С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
-Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — <big>'''''R'''''</big> (полужирное «R»), или <tex>\mathbb{R}</tex> (blackboard bold «R») от realis — действительный.
+Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — <big>'''''R'''''</big> (полужирное «R»), или <tex>\mathbb{R}</tex> (blackboard bold «R») от realis — действительный.
 ===Определение комплексных чисел===
@@ Строка 91: / Строка 112: @@
 {{Определение
 |definition=
-'''Ко́мпле́ксные чи́сла''' (англ. ''complex number'') — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается <tex>\mathbb{C}</tex>.
+'''Ко́мпле́ксные чи́сла''' (англ. ''complex number'') — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается <tex>\mathbb{C}</tex>.
-Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма <tex>x+iy</tex>, где <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — вещественные числа, <tex>i</tex> — мнимая единица (одно из решений уравнения <tex>x^2 = -1</tex>).
+Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма <tex>x+iy</tex>, где <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — вещественные числа, <tex>i</tex> — мнимая единица (одно из решений уравнения <tex>x^2 = -1</tex>).
 }}
-Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени <tex>n</tex> с комплексными коэффициентами имеет ровно <tex>n</tex> комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.
+Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени <tex>n</tex> с комплексными коэффициентами имеет ровно <tex>n</tex> комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.

@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 * <tex>3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}</tex>
-Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, \cdots.</tex>
+Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, \dots.</tex>
 Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 * <tex>3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}</tex>
-Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают 0, 1, 2, ….
+Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, \cdots.</tex>
 Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

@@ Строка 57: / Строка 57: @@
 Множество '''целых чисел''' (англ. ''integers'') <tex>\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\,</tex>  определяется как замыкание множества натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> относительно арифметических операций сложения <tex>(+)</tex> и вычитания <tex>(-)</tex>.
 }}
-Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел <tex>(1, 2, 3)</tex>, чисел вида '''-n''' (<tex>n\in\mathbb{N}</tex>) и числа нуль.
+Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел <tex>(1, 2, 3)</tex>, чисел вида '''-n''' (<tex>n\in\mathbb{N}</tex>) и числа ноль.
 Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==Определение натуральных чисел==
-{{основная статья|Натуральные числа}}
+''основная статья:'' [Натуральные числа]
 ===Неформальное определение===

← Предыдущая		Версия 00:03, 3 июня 2018
Строка 1:		Строка 1:
	==Определение натуральных чисел==		==Определение натуральных чисел==
		+	{{основная статья\|Натуральные числа}}
	===Неформальное определение===		===Неформальное определение===

@@ Строка 94: / Строка 94: @@
 Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени <tex>n</tex> с комплексными коэффициентами имеет ровно <tex>n</tex> комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.
 == См. также ==
@@ Строка 164: / Строка 107: @@
 [[Категория: Теория чисел]]