Матрица преобразования - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:21:49Z

rollbackEdits.php mass rollback

194.26.192.187 в 05:21, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:21:39Z

Martoon: /* Композиция преобразований */

2016-02-19T14:10:29Z

‎Композиция преобразований

Martoon: /* Композиция преобразований */

2016-02-19T13:58:52Z

‎Композиция преобразований

Martoon в 13:17, 19 февраля 2016

2016-02-19T13:17:43Z

Martoon в 13:00, 19 февраля 2016

2016-02-19T13:00:33Z

Martoon в 10:17, 15 февраля 2016

2016-02-15T10:17:14Z

Martoon: /* Поворот относительно начала координат */

2016-02-14T15:28:56Z

‎Поворот относительно начала координат

Martoon: /* Базовые преобразования */

2016-02-14T15:11:32Z

‎Базовые преобразования

Martoon в 14:29, 14 февраля 2016

2016-02-14T14:29:46Z

← Предыдущая		Версия 16:21, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	Будем рассматривать двумерный случай.		Будем рассматривать двумерный случай.

← Предыдущая		Версия 05:21, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	Будем рассматривать двумерный случай.		Будем рассматривать двумерный случай.

@@ Строка 319: / Строка 319: @@
 & -1 & 1\\
 & 0 & 1
-\end{array}\right) </tex> {{---}} тоже какая-то матрица преобразования, в данном случае "осевая симметрия относительно <tex> O_x </tex>, с последующим параллельным переносом на <tex> \overrightarrow{(2, 1)} </tex>
+\end{array}\right) </tex> {{---}} тоже какая-то матрица преобразования, в данном случае "осевая симметрия относительно <tex> O_x </tex>, с последующим параллельным переносом на <tex> \overrightarrow{(2, 1)} </tex>"
 Действительно, <tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(2, 1)}}(P)) = (S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) P </tex>

← Предыдущая		Версия 13:58, 19 февраля 2016
Строка 224:		Строка 224:

	<tex> (g \circ f) x = g (f (x)) </tex>		<tex> (g \circ f) x = g (f (x)) </tex>
		+
		+
		+	Задача: к точке <tex> (3, 5) </tex> применили осевую симметрию относительно <tex> O_x </tex>, и затем применили параллельный перенос на <tex> \overrightarrow{(2, 1)} </tex>. Какие новые координаты у точки?
		+
		+	Решение: обозначим нашу точку за <tex> P </tex>, новую точку за <tex> P' </tex>
		+
		+	Посчитаем двумя способами.
		+
		+	1) <tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(3, 2)}}(P)) =
		+	\left(\begin{array}{ccc}
		+	1 & 0 & 2\\
		+	0 & 1 & 1\\
		+	0 & 0 & 1
		+	\end{array}\right) \cdot </tex>
		+	<tex> (\left(\begin{array}{ccc}
		+	1 & 0 & 0\\
		+	0 & -1 & 0\\
		+	0 & 0 & 1
		+	\end{array}\right) \cdot </tex>
		+	<tex> \left(\begin{array}{c}
		+	3\\
		+	5\\
		+	1
		+	\end{array}\right)) = </tex>
		+	<tex> \left(\begin{array}{ccc}
		+	1 & 0 & 2\\
		+	0 & 1 & 1\\
		+	0 & 0 & 1
		+	\end{array}\right) \cdot </tex>
		+	<tex> \left(\begin{array}{c}
		+	3\\
		+	-5\\
		+	1
		+	\end{array}\right) = </tex>
		+	<tex> \left(\begin{array}{c}
		+	5\\
		+	-4\\
		+	1
		+	\end{array}\right) </tex>
		+
		+
		+
		+	2) Воспользуемся ассоциативностью умножения матриц (сочетательный закон)
		+
		+	<tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(3, 2)}}(P)) =
		+	\left(\begin{array}{ccc}
		+	1 & 0 & 2\\
		+	0 & 1 & 1\\
		+	0 & 0 & 1
		+	\end{array}\right) \cdot </tex>
		+	<tex> (\left(\begin{array}{ccc}
		+	1 & 0 & 0\\
		+	0 & -1 & 0\\
		+	0 & 0 & 1
		+	\end{array}\right) \cdot </tex>
		+	<tex> \left(\begin{array}{c}
		+	3\\
		+	5\\
		+	1
		+	\end{array}\right)) = </tex>
		+	<tex> (\left(\begin{array}{ccc}
		+	1 & 0 & 2\\
		+	0 & 1 & 1\\
		+	0 & 0 & 1
		+	\end{array}\right) \cdot </tex>
		+	<tex> \left(\begin{array}{ccc}
		+	1 & 0 & 0\\
		+	0 & -1 & 0\\
		+	0 & 0 & 1
		+	\end{array}\right)) \cdot </tex>
		+	<tex> \left(\begin{array}{c}
		+	3\\
		+	5\\
		+	1
		+	\end{array}\right) = </tex>
		+	<tex> \left(\begin{array}{ccc}
		+	1 & 0 & 2\\
		+	0 & -1 & 1\\
		+	0 & 0 & 1
		+	\end{array}\right) \cdot </tex>
		+	<tex> \left(\begin{array}{c}
		+	3\\
		+	5\\
		+	1
		+	\end{array}\right) = </tex>
		+	<tex> \left(\begin{array}{c}
		+	5\\
		+	-4\\
		+	1
		+	\end{array}\right) </tex>
		+
		+	Заметим, что <tex> \left(\begin{array}{ccc}
		+	1 & 0 & 2\\
		+	0 & -1 & 1\\
		+	0 & 0 & 1
		+	\end{array}\right) </tex> {{---}} тоже какая-то матрица преобразования, в данном случае "осевая симметрия относительно <tex> O_x </tex>, с последующим параллельным переносом на <tex> \overrightarrow{(2, 1)} </tex>
		+
		+	Действительно, <tex> P' = S_{1, -1}(T_{\overrightarrow{(2, 1)}}(P)) = (S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) P </tex>
		+
		+	Тогда матрица для <tex> (S_{1, -1} \circ T_{\overrightarrow{(2, 1)}}) </tex> будет <tex> \left(\begin{array}{ccc}
		+	1 & 0 & 2\\
		+	0 & -1 & 1\\
		+	0 & 0 & 1
		+	\end{array}\right) </tex>.
		+
		+	Получается, при композиции преобразований их матрицы перемножаются.

← Предыдущая		Версия 13:17, 19 февраля 2016
Строка 221:		Строка 221:
	</tex>		</tex>

−	== Композиция ==	+	= Композиция преобразований =
		+
		+	<tex> (g \circ f) x = g (f (x)) </tex>

← Предыдущая		Версия 13:00, 19 февраля 2016
Строка 220:		Строка 220:
	\end{array}\right)		\end{array}\right)
	</tex>		</tex>
		+
		+	== Композиция ==

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 Матрица преобразования - это некоторая матрица <tex> 3 \times 3 </tex>. Мы будем рассматривать матрицы вида
-<tex> F = \left(\begin{array}{ccc}
+<tex> \left(\begin{array}{ccc}
 a & b & t_x\\
 c & d & t_y\\
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 \end{array}\right) </tex>
-Посмотрим как меняются координаты при таком преобразовании.
+Допустим есть какое-то преобразование <tex> F </tex>, и <tex> F(P) = P' </tex> (к точке <tex> P </tex> применили преобразование <tex> F </tex> и получили точку <tex> P' </tex>).
 <tex> F \left(\begin{array}{c}
@@ Строка 201: / Строка 208: @@
 & 0 & 1
 \end{array}\right) </tex>, то есть центральная симметрия относительно начала координат меняет координаты точки на противоположные.
 === Тождественное преобразование ===

← Предыдущая		Версия 15:28, 14 февраля 2016
Строка 193:		Строка 193:
	</tex>		</tex>

		+
		+	'''Замечание'''
		+
		+	<tex> R^{180} = \left(\begin{array}{ccc}
		+	-1 & 0 & 0\\
		+	0 & -1 & 0\\
		+	0 & 0 & 1
		+	\end{array}\right) </tex>, то есть центральная симметрия относительно начала координат меняет координаты точки на противоположные.

	=== Тождественное преобразование ===		=== Тождественное преобразование ===

@@ Строка 93: / Строка 93: @@
 Вполне ожидаемый ответ.
 === Поворот относительно начала координат ===
@@ Строка 138: / Строка 191: @@
 \end{array}\right)
 </tex>

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
@@ Строка 4: / Строка 44: @@
 === Параллельный перенос ===
-Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow x + a ,\ y \rightarrow y + b </tex>.
+Задаёт преобразование <tex> x \rightarrow x + t_x ,\ y \rightarrow y + t_y </tex>.
-Обозначается <tex> T_{\overrightarrow v} </tex>, где <tex> \overrightarrow v = (a, b) </tex>  {{---}}  вектор параллельного переноса.
+Обозначается <tex> T_{\overrightarrow v} </tex>, где <tex> \overrightarrow v = (t_x, t_y) </tex>  {{---}}  вектор параллельного переноса.
-<tex> T_{(a, b)} = \left(\begin{array}{ccc}
+<tex> T_{(t_x, t_y)} = \left(\begin{array}{ccc}
-& 0 & a\\
+& 0 & t_x\\
-& 1 & b\\
+& 1 & t_y\\
 & 0 & 1
 \end{array}\right) </tex>