Мера Лебега в R^n - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:07:32Z

rollbackEdits.php mass rollback

194.88.143.66 в 06:22, 1 сентября 2022

2022-09-01T06:22:34Z

Sementry в 16:09, 24 июня 2012

2012-06-24T16:09:32Z

Rybak в 04:32, 11 января 2012

2012-01-11T04:32:51Z

Rybak в 02:20, 10 января 2012

2012-01-10T02:20:56Z

Sementry: /* Теорема о внешней мере Лебега */ баг

2012-01-09T04:49:29Z

‎Теорема о внешней мере Лебега: баг

Sementry: /* Теорема о внешней мере Лебега */ вроде бы, недочет

2012-01-09T04:39:25Z

‎Теорема о внешней мере Лебега: вроде бы, недочет

Sementry: Отмена правки 15981 участника Sementry (обсуждение) нет, не баг

2012-01-09T03:59:57Z

Отмена правки 15981 участника Sementry (обсуждение) нет, не баг

Sementry: /* Измеримые по Лебегу множества */ баг

2012-01-09T03:57:53Z

‎Измеримые по Лебегу множества: баг

Smolcoder: Добавлено объяснение измеримости, дописано определение множеств A и B.

2012-01-07T21:06:11Z

Добавлено объяснение измеримости, дописано определение множеств A и B.

← Предыдущая		Версия 16:07, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	[[Объём n-мерного прямоугольника\|<<]][[Математический_анализ_2_курс\|>> на главную]]		[[Объём n-мерного прямоугольника\|<<]][[Математический_анализ_2_курс\|>> на главную]]

← Предыдущая		Версия 06:22, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	[[Объём n-мерного прямоугольника\|<<]][[Математический_анализ_2_курс\|>> на главную]]		[[Объём n-мерного прямоугольника\|<<]][[Математический_анализ_2_курс\|>> на главную]]

← Предыдущая		Версия 16:09, 24 июня 2012
Строка 1:		Строка 1:
	[[Объём n-мерного прямоугольника\|<<]][[Математический_анализ_2_курс\|>> на главную]]		[[Объём n-мерного прямоугольника\|<<]][[Математический_анализ_2_курс\|>> на главную]]
−
−	~~{{В разработке}}~~

	Последняя теорема показывает, что <tex>v</tex> {{---}} мера на <tex>\mathcal{R}</tex>.		Последняя теорема показывает, что <tex>v</tex> {{---}} мера на <tex>\mathcal{R}</tex>.

@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 Последняя теорема показывает, что <tex>v</tex> {{---}} мера на <tex>\mathcal{R}</tex>.
-Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате <tex>v</tex> будет распространено на <tex>\sigma</tex>-алгебру множеств <tex>\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^n  </tex>.
+Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате <tex>v</tex> будет распространено на <tex>\sigma</tex>-алгебру множеств <tex>\mathcal{A} \subset 2^{\mathbb{R}^n}  </tex>.
 {{Определение

@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 Последняя теорема показывает, что <tex>v</tex> {{---}} мера на <tex>\mathcal{R}</tex>.
-Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате <tex>v</tex> будет распространено на <tex>\sigma</tex>-алгебру множеств <tex>\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^n</tex>.
+Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате <tex>v</tex> будет распространено на <tex>\sigma</tex>-алгебру множеств <tex>\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^n  </tex>.
 {{Определение
@@ Строка 38: / Строка 38: @@
 |statement=Бог есть.
 |proof=
-К сожалению, человечество может работать лишь с натуральными и рациональными числами. Сути же иррациональных чисел им не понять. Однако, множество рациональных чисел нульмерно. Но <tex>\lambda[0;1) = 1</tex>. Ввиду своей ненульмерности, иррациональные числа неподвластны человеку. Значит, <s>б</s>Бог есть.
+К сожалению, человечество может работать лишь с натуральными и рациональными числами. Сути же иррациональных чисел им не понять. Однако, множество рациональных чисел нульмерно. Но <tex>\lambda[0;1) = 1</tex>. Ввиду своей ненульмерности, иррациональные числа неподвластны человеку. Значит, Бог есть.
 }}
-Если взять произвольный параллелепипед в <tex>R^n</tex>, то, за счет непрерывности обьема, как функции точек параллелепипеда, мы можем строить и ячейку в нем, и ячейку, включающую его (причем объем ячеек отличается на <tex>\varepsilon</tex>). Значит, параллелепипед тоже измерим. Рассмотрим открытое множество в <tex>R^n</tex>. Оно - объединение открытых шаров, или множество, которое вместе с каждой точкой содержит и открытый шар с центром в этой точке.
+Если взять произвольный параллелепипед в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, то, за счет непрерывности обьема, как функции точек параллелепипеда, мы можем строить и ячейку в нем, и ячейку, включающую его (причем объем ячеек отличается на <tex>\varepsilon</tex>). Значит, параллелепипед тоже измерим. Рассмотрим открытое множество в <tex>\mathbb{R}^n</tex>. Оно - объединение открытых шаров, или множество, которое вместе с каждой точкой содержит и открытый шар с центром в этой точке.
 {{Утверждение
 |statement=
-Открытое множество в <tex> R^n </tex> измеримо по Лебегу.
+Открытое множество в <tex> \mathbb{R}^n </tex> измеримо по Лебегу.
 |proof=
 Множество точек с рациональными координатами всюду плотно. Если рассмотреть совокупность открытых шаров с центром в рациональных точках и рациональных радиусов, то множество таких шаров будет счетно. Вместо шаров можно использовать открытые параллелепипеды, которые, как известно, измеримы. Если мы возьмем любую точку, то она будет содержаться во множестве вместе с некоторым параллелепипедом. Далее, эту точку можно приблизить рациональными координатами сколь угодно точно; для каждого приближения можно построить параллеллепипед с этой точкой, содержащийся в уже построенном параллелепипеде. Значит, открытое множество можно представить, как счетное объединение открытых параллелепипедов, содержащихся в нем, поэтому, оно измеримо.

@@ Строка 128: / Строка 128: @@
 }}
-Если <tex> A = \bigcup\limits_m F_m </tex> (все <tex>F_m</tex> - замкнуты) замкнуто, то оно называется множеством типа <tex> F_{\sigma} </tex>.
+Если <tex> A = \bigcup\limits_m F_m </tex> (все <tex>F_m</tex> - замкнуты), то оно называется множеством типа <tex> F_{\sigma} </tex>.
-Если <tex> B = \bigcap\limits_m G_m </tex> (все <tex>G_m</tex> - открыты) открыто, то оно называется множеством типа <tex> G_{\Delta} </tex>.
+Если <tex> B = \bigcap\limits_m G_m </tex> (все <tex>G_m</tex> - открыты), то оно называется множеством типа <tex> G_{\Delta} </tex>.
 Такие множества также являются измеримыми по Лебегу, как счетное объединение (пересечение) измеримых множеств (ранее показывалось, что открытые и замкнутые множества измеримы).

@@ Строка 109: / Строка 109: @@
 Возьмем в качестве требуемого множества <tex>G</tex> объединение всех <tex>G_p</tex>: <tex>G = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} G_p</tex> открыто и содержит <tex>E</tex>.
-<tex>G \setminus E = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p))</tex>
+<tex>G \setminus E \subset \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p))</tex>.
-Тогда, по полуаддитивности внешней меры, <tex>\lambda (G \setminus E) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^p} = \varepsilon</tex>
+Тогда, по свойству меры, <tex>\lambda (G \setminus E) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^p} = \varepsilon</tex>.
 Второй пункт доказывается переходом к дополнениям:

@@ Строка 47: / Строка 47: @@
 Открытое множество в <tex> R^n </tex> измеримо по Лебегу.
 |proof=
-Множество точек с рациональными координатами всюду плотно. Если рассмотреть совокупность открытых шаров с центром в рациональных точках и рациональных радиусов, то множество таких шаров будет счетно. Вместо шаров можно использовать открытые параллелепипеды, которые, как известно, измеримы. Если мы возьмем любую точку, то она будет содержаться во множестве вместе с некоторым параллелеипипедом. Далее, эту точку можно приблизить рациональными координатами сколь угодно точно; для каждого приближения можно построить параллеллепипед с этой точкой, содержащийся в уже построенном параллелепипеде. Значит, открытое множество можно представить, как счетное объединение открытых параллелепипедов, содержащихся в нем, поэтому, оно измеримо.
+Множество точек с рациональными координатами всюду плотно. Если рассмотреть совокупность открытых шаров с центром в рациональных точках и рациональных радиусов, то множество таких шаров будет счетно. Вместо шаров можно использовать открытые параллелепипеды, которые, как известно, измеримы. Если мы возьмем любую точку c рациональными координатами, то она будет содержаться во множестве вместе с некоторым параллелеипипедом. Далее, эту точку можно приблизить рациональными координатами сколь угодно точно; для каждого приближения можно построить параллеллепипед с этой точкой, содержащийся в уже построенном параллелепипеде. Значит, открытое множество можно представить, как счетное объединение открытых параллелепипедов, содержащихся в нем, поэтому, оно измеримо.
 }}