Мера на полукольце множеств - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:19:02Z

rollbackEdits.php mass rollback

171.25.193.80 в 05:25, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:25:09Z

Sementry: опечатки

2012-01-08T19:42:11Z

опечатки

Rybak в 01:07, 6 января 2012

2012-01-06T01:07:47Z

Rybak в 01:06, 6 января 2012

2012-01-06T01:06:32Z

Sementry в 22:32, 5 января 2012

2012-01-05T22:32:10Z

Rybak в 22:12, 5 января 2012

2012-01-05T22:12:10Z

Rybak в 22:07, 5 января 2012

2012-01-05T22:07:22Z

Rybak в 22:01, 5 января 2012

2012-01-05T22:01:39Z

Rybak в 22:00, 5 января 2012

2012-01-05T22:00:31Z

← Предыдущая		Версия 16:19, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	[[Полукольца и алгебры\|<<]] [[Внешняя мера\|>>]]		[[Полукольца и алгебры\|<<]] [[Внешняя мера\|>>]]

← Предыдущая		Версия 05:25, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	[[Полукольца и алгебры\|<<]] [[Внешняя мера\|>>]]		[[Полукольца и алгебры\|<<]] [[Внешняя мера\|>>]]

@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 Пусть <tex> (X, \mathcal R) </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:
-# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>
+# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>.
-# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (сигма-аддитивность)
+# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (сигма-аддитивность).
 }}
@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 * <tex> X = \mathbb N, \mathcal R = 2^X, m(X) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} P_n </tex> — сходящийся положительный ряд,  <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>, для <tex> A = \{i_1, i_2, \ldots, i_n\ldots\} </tex> (множество может быть конечным) полагаем <tex> m(A) = \sum\limits_{k \in A} P_k </tex>
 * Для полукольца ячеек примером меры является <tex> m(A) = b - a </tex>, где <tex> A = [a; b) </tex> — длина ячейки. То, что длина ячейки является корректно определенной мерой — нетривиальный факт, который будет доказан нами позднее.
 Выведем два важных свойства меры на полукольце:
@@ Строка 23: / Строка 22: @@
 Пусть  <tex> m </tex> — мера на полукольце  <tex> \mathcal R </tex>, тогда:
-) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных  <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex>  \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>
+) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных  <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex>, выполняется <tex>  \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>.
-) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''сигма-полуаддитивность'')
+) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''сигма-полуаддитивность'').
-''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотоностью'' меры.
+''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотонностью'' меры.
 |proof=
@@ Строка 40: / Строка 39: @@
 )
-Можно представить <tex> A = \bigcup\limits_{n} (A \cap A_n) </tex>, каждое из пересечений принадлежит <tex> \mathcal R </tex>, поэтому <tex> A = \bigcup\limits_{p} B_p </tex> (дизъюнктны), отсюда по сигма-аддитивности меры <tex> m(A) = \sum\limits_{p} m(B_p) </tex>.
+Так как <tex> A = \bigcup\limits_{n} (A \cap A_n) </tex>, каждое из пересечений принадлежит <tex> \mathcal R </tex>, то <tex> A = \bigcup\limits_{p} B_p </tex> (дизъюнктны), отсюда по сигма-аддитивности меры <tex> m(A) = \sum\limits_{p} m(B_p) </tex>.
 Разобьем множества <tex> B_p </tex> на группы, так чтобы в группе с номером <tex> n </tex> были дизъюнктные множества, объединение которых является подмножеством <tex> A_n </tex>. Для каждой такой группы, мера объединения ограничена по пункту 1) мерой <tex> A_n </tex>, поэтому получаем <tex> m(A) \le \sum\limits_{p} m(A_p) </tex>.

@@ Строка 40: / Строка 40: @@
 )
-Можно представить <tex> A = \bigcup\limits_{n} (A \cap A_n) </tex>, каждое из пересечений принадлежит <tex> \mathcal R </tex>, поэтому <tex> A = \bigcup\limits_{p} B_p </tex> (дизъюнктны), отсюда <tex> m(A) = \sum\limits_{p} m(B_p) </tex>.
+Можно представить <tex> A = \bigcup\limits_{n} (A \cap A_n) </tex>, каждое из пересечений принадлежит <tex> \mathcal R </tex>, поэтому <tex> A = \bigcup\limits_{p} B_p </tex> (дизъюнктны), отсюда по сигма-аддитивности меры <tex> m(A) = \sum\limits_{p} m(B_p) </tex>.
 Разобьем множества <tex> B_p </tex> на группы, так чтобы в группе с номером <tex> n </tex> были дизъюнктные множества, объединение которых является подмножеством <tex> A_n </tex>. Для каждой такой группы, мера объединения ограничена по пункту 1) мерой <tex> A_n </tex>, поэтому получаем <tex> m(A) \le \sum\limits_{p} m(A_p) </tex>.

@@ Строка 40: / Строка 40: @@
 )
-Можно представить <tex> A = \bigcup\limits_{n} (A \cap A_n) </tex>, каждое из пересечений принадлежит <tex> \mathcal R </tex>, поэтому <tex> A = \bigcup\limits_{p} B_p </tex>, отсюда <tex> m(A) = \sum\limits_{p} m(B_p) </tex>.
+Можно представить <tex> A = \bigcup\limits_{n} (A \cap A_n) </tex>, каждое из пересечений принадлежит <tex> \mathcal R </tex>, поэтому <tex> A = \bigcup\limits_{p} B_p </tex> (дизъюнктны), отсюда <tex> m(A) = \sum\limits_{p} m(B_p) </tex>.
 Разобьем множества <tex> B_p </tex> на группы, так чтобы в группе с номером <tex> n </tex> были дизъюнктные множества, объединение которых является подмножеством <tex> A_n </tex>. Для каждой такой группы, мера объединения ограничена по пункту 1) мерой <tex> A_n </tex>, поэтому получаем <tex> m(A) \le \sum\limits_{p} m(A_p) </tex>.

@@ Строка 32: / Строка 32: @@
 )
-Пусть <tex> A \setminus\bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n = \bigcup\limits_{p} D_p  </tex>, тогда <tex> A = \bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n \cup \bigcup\limits_{p} D_p  </tex>.
+Пусть <tex> A \setminus\bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n = \bigcup\limits_{p} D_p </tex> (дизъюнктны), тогда <tex> A = \bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n \cup \bigcup\limits_{p} D_p  </tex>.
 По сигма-аддитивности меры, <tex> m(A) = \sum\limits_{n = 1}^{N} m(A_n) + \sum\limits_{p} m(D_p) </tex>.

@@ Строка 25: / Строка 25: @@
 ) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных  <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex>  \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>
-) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <s>дизъюнктных</s>(''см. обсуждение'') <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (сигма-полуаддитивность)
+) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <s>дизъюнктных</s>(''см. обсуждение'') <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''сигма-полуаддитивность'')
 |proof=
@@ Строка 42: / Строка 44: @@
 Разобьем множества <tex> B_p </tex> на группы, так чтобы в группе с номером <tex> n </tex> были дизъюнктные множества, объединение которых является подмножеством <tex> A_n </tex>. Для каждой такой группы, мера объединения ограничена по пункту 1) мерой <tex> A_n </tex>, поэтому получаем <tex> m(A) \le \sum\limits_{p} m(A_p) </tex>.
 }}
 [[Полукольца и алгебры|<<]] [[Внешняя мера|>>]]
 [[Категория:Математический анализ 2 курс]]