Метрическое пространство - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:07:08Z

rollbackEdits.php mass rollback

194.88.143.66 в 06:21, 1 сентября 2022

2022-09-01T06:21:36Z

Sementry: запоздалый багфикс

2013-02-16T19:26:06Z

запоздалый багфикс

Rybak: /* Метрика и метрическое пространство */

2011-09-25T18:03:23Z

‎Метрика и метрическое пространство

192.168.0.2: /* Предел в метрическом пространстве */

2011-01-30T17:41:06Z

‎Предел в метрическом пространстве

Dgerasimov: /* Свойства шаров */

2011-01-22T23:15:13Z

‎Свойства шаров

Rybak: /* Основное характеристическое свойство замкнутых множеств */ последнее док-во

2011-01-20T21:56:55Z

‎Основное характеристическое свойство замкнутых множеств: последнее док-во

Rybak: /* Основное характеристическое свойство замкнутых множеств */ кто это писал?! два одинаковых утверждения

2011-01-20T20:50:42Z

‎Основное характеристическое свойство замкнутых множеств: кто это писал?! два одинаковых утверждения

Rybak: аргх!

2011-01-20T20:48:30Z

аргх!

Rybak: /* Основное характеристическое свойство замкнутых множеств */ I don't like tag

2011-01-20T19:06:10Z

‎Основное характеристическое свойство замкнутых множеств: I don't like tag <br>

← Предыдущая		Версия 16:07, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	[[Категория:Математический анализ 1 курс]]		[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

← Предыдущая		Версия 06:21, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	[[Категория:Математический анализ 1 курс]]		[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

@@ Строка 52: / Строка 52: @@
 Пусть <tex> b \in V_{r_1}(a_1) \cap V_{r_2}(a_2)</tex>. Тогда <tex> \exists r > 0:\ V_r(b) \subset \ V_{r_1}(a_1) \cap V_{r_2}(a_2)</tex> <br \>
-Простыми словами: Если два открытых шара пересекаются, то существует открытый шар, лежащий в их пересечении.
+Простыми словами: Если два открытых шара пересекаются, то для любой точки из их пересечения существует открытый шар, лежащий в пересечении и содержащий эту точку.
 |proof=
 Замечание: для <tex>X = \mathbb{R}</tex> это очевидно (переcечение двух интервалов есть интервал).

@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 {{Определение
 |definition=
 Отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы

@@ Строка 123: / Строка 123: @@
 <tex> x_n \rightarrow x', x_n \rightarrow x'' </tex> в МП<tex>(X, \rho) \Rightarrow x' = x'' </tex>
 |proof=
-<tex> \rho(x', x'') \leq \rho(x', x) + \rho(x'', x) \Rightarrow \rho(x', x'') = 0  \Rightarrow x' = x'' </tex>
+<tex> \rho(x', x'') \leq \rho(x', x_n) + \rho(x'', x_n) \Rightarrow \rho(x', x'') = 0  \Rightarrow x' = x'' </tex>
 На самом деле, этот факт {{---}} свойство МП, состоящее в выполении в нем аксиомы отделимости Хаусдорфа:

@@ Строка 59: / Строка 59: @@
 Для <tex> V_{r_1} </tex>
 : <tex> \rho (b, a_1) < r_1</tex>
-: <tex> \exists r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow  \rho (y, a_1) < r_1 </tex>
+: <tex> \exists ? r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow  \rho (y, a_1) < r_1 </tex>
 : <tex> \rho (y, a_1) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_1) < r_1 \Rightarrow \rho (y, b) < r_1 - \rho(b, a_1) = d_1,\ d_1 > 0 </tex>
 Для <tex> V_{r_2} </tex>
 : <tex> \rho (b, a_2) < r_2</tex>
-: <tex> \exists r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow  \rho (y, a_2) < r_2 </tex>
+: <tex> \exists ? r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow  \rho (y, a_2) < r_2 </tex>
 : <tex> \rho (y, a_2) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_2) < r_2 \Rightarrow \rho (y, b) < r_2 - \rho(b, a_2) = d_2,\ d_2 > 0 </tex>
 <tex> r = \min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) < r \Rightarrow y</tex> войдет в оба шара

@@ Строка 156: / Строка 156: @@
 Если <tex>\forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F \Longrightarrow\ F</tex> {{---}} замкнуто.
 |proof=
-Рассмотрим <tex> x \notin F </tex>. Пусть <tex> G = \overline F </tex>. Если <tex> G </tex> {{---}} открытое, то <tex> F </tex> {{---}} замкнутое множество  (по определению).
+Пусть <tex> G = \overline F </tex>. Достаточно доказать, что <tex> G </tex> {{---}} открытое. Тогда <tex> F </tex> {{---}} [[#Замкнутые множества|по определению]] замкнутое множество.
-Тогда каждый <tex> y \notin F </tex> входит в <tex> G </tex> вместе с каким-то открытым шаром (по определению {{---}} <tex> G = \bigcup\limits_i V_i </tex> {{---}} открытое множество), причём, всегда можно выделить такой шар, что <tex> y </tex> является его центром (достаточно положить <tex> r' = r - \rho (x, y) </tex>, где <tex> x </tex> {{---}} центр шара, в который входит <tex> y </tex>, а <tex> r </tex> {{---}} его радиус). При этом, <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow \forall i: V_i \cap F = \varnothing </tex>.
+Докажем от противного.
 Предположим, что это не так, и для какого-то <tex> x \notin F </tex> не найдется такого открытого шара <tex> V(x): x \in V_r(x) , \, V_r(x) \cap F = \varnothing </tex>

@@ Строка 141: / Строка 141: @@
 В прямую сторону
 |statement=
-<tex>F</tex> {{---}} замкнуто, если оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей.<br>
+Если <tex>F</tex> {{---}} замкнуто, то оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей.<br>
-<tex>F</tex> {{---}} замкнуто <tex> \Longrightarrow \forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F </tex>.
+Если <tex>F</tex> {{---}} замкнуто <tex> \Longrightarrow \forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F </tex>.
 |proof=<br />
 : Пусть <tex> x \notin F, F = \overline G \Rightarrow x \in G = \bigcup\limits_\alpha V \Rightarrow x \in V </tex>