Натуральные числа - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:17:03Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.86.148.90 в 05:38, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:38:13Z

46.151.151.94: удалены ссылки на фикбук

2021-03-13T08:25:21Z

удалены ссылки на фикбук

213.87.242.44: /* Сложение */

2021-03-10T14:54:34Z

‎Сложение

213.87.242.44: /* Определение натуральных чисел */

2021-03-10T14:54:12Z

‎Определение натуральных чисел

Senya: /* Сложение */

2018-06-03T09:28:23Z

‎Сложение

Senya: /* Вычитание */

2018-06-03T09:26:31Z

‎Вычитание

Senya: /* Вычитание */

2018-06-03T09:25:55Z

‎Вычитание

Senya: /* Вычитание */

2018-06-03T09:25:10Z

‎Вычитание

Senya: /* Вычитание */

2018-06-03T09:24:00Z

‎Вычитание

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==Определение натуральных чисел==
@@ Строка 85: / Строка 64: @@
 Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <tex>C,\A,\B\</tex> порождённых биекциями, с помощью скобок: <tex>[C], [A], [B].</tex> Тогда арифметическая операция '''умножение''' определяется следующим образом:
 <tex>[C] = [A] \cdot [B] = [A \times B];\</tex>
-где: <tex>A \times B={(a,\ b)  \mid  a \in A,\ b \in B}\</tex> прямое произведение множеств — множество <tex>C,</tex> элементами которого являются упорядоченные пары <tex>(a,\ b)</tex> для всевозможных  <tex>a \in A,\ b \in B</tex>. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.
+где: <tex>A \times B={(a,\ b)  \mid  a \in A,\ b \in B}\</tex> прямое произведение множеств — множество <tex>C,</tex> элементами которого являются упорядоченные пары <tex>(a,\ b)</tex> для всевозможных  <tex>a \in A,\ b \in B</tex>. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.
 ===Вычитание===

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==Определение натуральных чисел==
@@ Строка 64: / Строка 85: @@
 Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <tex>C,\A,\B\</tex> порождённых биекциями, с помощью скобок: <tex>[C], [A], [B].</tex> Тогда арифметическая операция '''умножение''' определяется следующим образом:
 <tex>[C] = [A] \cdot [B] = [A \times B];\</tex>
-где: <tex>A \times B={(a,\ b)  \mid  a \in A,\ b \in B}\</tex> прямое произведение множеств — множество <tex>C,</tex> элементами которого являются упорядоченные пары <tex>(a,\ b)</tex> для всевозможных  <tex>a \in A,\ b \in B</tex>. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.
+где: <tex>A \times B={(a,\ b)  \mid  a \in A,\ b \in B}\</tex> прямое произведение множеств — множество <tex>C,</tex> элементами которого являются упорядоченные пары <tex>(a,\ b)</tex> для всевозможных  <tex>a \in A,\ b \in B</tex>. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.
 ===Вычитание===

@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.
-Множество всех натуральных чисел ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408принято обозначать знаком <tex>\mathbb{N}</tex>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
+Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком <tex>\mathbb{N}</tex>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
 ===Формальное определение===
@@ Строка 27: / Строка 27: @@
 # '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
 :: если <tex>P(1)</tex> и <tex>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</tex>, то <tex>\forall n\;P(n)</tex>
-:: ('''Если''' некотороеЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 высказывание <tex>P</tex> верно для <tex>n=1</tex> (''база индукции'') и для любого <tex>n</tex> при допущении, что верно <tex>P(n)</tex>, верно и <tex>P(n+1)</tex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <tex>P(n)</tex> верно для любых натуральных <tex>n</tex>).
+:: ('''Если''' некоторое высказывание <tex>P</tex> верно для <tex>n=1</tex> (''база индукции'') и для любого <tex>n</tex> при допущении, что верно <tex>P(n)</tex>, верно и <tex>P(n+1)</tex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <tex>P(n)</tex> верно для любых натуральных <tex>n</tex>).
 }}
 ===Теоретико-множественное определение===
-Согласно теории ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.
+Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.
 Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:
@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 * <tex>3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}</tex>
-Классы эквивалентностиЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, \dots.</tex>
+Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, \dots.</tex>
 Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».
@@ Строка 53: / Строка 53: @@
 Есть два способа определения суммы двух натуральных чисел <tex>a\ и\ b</tex>. Если натуральные числа определяют через мощность множества с конечным числом элементов (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:
-Пусть <tex>N(S)\ —  </tex> мощностьЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 множества <tex>S</tex>. Возьмём два не пересекающихся множества <tex>A\</tex> и <tex>B,\</tex> причём <tex>N(A) = a</tex> и <tex>N(B) = b</tex>.
+Пусть <tex>N(S)\ —  </tex> мощность множества <tex>S</tex>. Возьмём два не пересекающихся множества <tex>A\</tex> и <tex>B,\</tex> причём <tex>N(A) = a</tex> и <tex>N(B) = b</tex>.
 Тогда <tex>a + b</tex> можно определить как: <tex>N ( A ∪ B )</tex>.
-Здесь, <tex>A ∪ B\  —  </tex> это объединение множеств <tex>A\ и B\</tex>. В альтернативной версии этого определения множества <tex>A\ и\ B</tex> перекрываются и тогдаЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.
+Здесь, <tex>A ∪ B\  —  </tex> это объединение множеств <tex>A\ и B\</tex>. В альтернативной версии этого определения множества <tex>A\ и\ B</tex> перекрываются и тогда в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.
 Другое известное определение рекурсивно:
-Пусть <tex>n+\ —  </tex> следующеЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408е за <tex>n</tex> натуральное число, например <tex>0+ = 1, 1+ = 2.</tex> Пусть <tex>a + 0 = a</tex>. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: <tex>a + (b+) = (a + b)+</tex>. Отсюда <tex>1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2</tex>.
+Пусть <tex>n+\ —  </tex> следующее за <tex>n</tex> натуральное число, например <tex>0+ = 1, 1+ = 2.</tex> Пусть <tex>a + 0 = a</tex>. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: <tex>a + (b+) = (a + b)+</tex>. Отсюда <tex>1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2</tex>.
 ===Умножение===

@@ Строка 53: / Строка 53: @@
 Есть два способа определения суммы двух натуральных чисел <tex>a\ и\ b</tex>. Если натуральные числа определяют через мощность множества с конечным числом элементов (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:
-Пусть <tex>N(S)\ —  </tex> мощность множества <tex>S</tex>. Возьмём два не пересекающихся множества <tex>A\</tex> и <tex>B,\</tex> причём <tex>N(A) = a</tex> и <tex>N(B) = b</tex>.
+Пусть <tex>N(S)\ —  </tex> мощностьЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 множества <tex>S</tex>. Возьмём два не пересекающихся множества <tex>A\</tex> и <tex>B,\</tex> причём <tex>N(A) = a</tex> и <tex>N(B) = b</tex>.
 Тогда <tex>a + b</tex> можно определить как: <tex>N ( A ∪ B )</tex>.
-Здесь, <tex>A ∪ B\  —  </tex> это объединение множеств <tex>A\ и B\</tex>. В альтернативной версии этого определения множества <tex>A\ и\ B</tex> перекрываются и тогда в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.
+Здесь, <tex>A ∪ B\  —  </tex> это объединение множеств <tex>A\ и B\</tex>. В альтернативной версии этого определения множества <tex>A\ и\ B</tex> перекрываются и тогдаЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.
 Другое известное определение рекурсивно:
-Пусть <tex>n+\ —  </tex> следующее за <tex>n</tex> натуральное число, например <tex>0+ = 1, 1+ = 2.</tex> Пусть <tex>a + 0 = a</tex>. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: <tex>a + (b+) = (a + b)+</tex>. Отсюда <tex>1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2</tex>.
+Пусть <tex>n+\ —  </tex> следующеЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408е за <tex>n</tex> натуральное число, например <tex>0+ = 1, 1+ = 2.</tex> Пусть <tex>a + 0 = a</tex>. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: <tex>a + (b+) = (a + b)+</tex>. Отсюда <tex>1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2</tex>.
 ===Умножение===

@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.
-Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком <tex>\mathbb{N}</tex>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
+Множество всех натуральных чисел ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408принято обозначать знаком <tex>\mathbb{N}</tex>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
 ===Формальное определение===
@@ Строка 27: / Строка 27: @@
 # '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
 :: если <tex>P(1)</tex> и <tex>\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))</tex>, то <tex>\forall n\;P(n)</tex>
-:: ('''Если''' некоторое высказывание <tex>P</tex> верно для <tex>n=1</tex> (''база индукции'') и для любого <tex>n</tex> при допущении, что верно <tex>P(n)</tex>, верно и <tex>P(n+1)</tex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <tex>P(n)</tex> верно для любых натуральных <tex>n</tex>).
+:: ('''Если''' некотороеЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 высказывание <tex>P</tex> верно для <tex>n=1</tex> (''база индукции'') и для любого <tex>n</tex> при допущении, что верно <tex>P(n)</tex>, верно и <tex>P(n+1)</tex> ''(индукционное предположение)'', '''то''' <tex>P(n)</tex> верно для любых натуральных <tex>n</tex>).
 }}
 ===Теоретико-множественное определение===
-Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.
+Согласно теории ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.
 Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:
@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 * <tex>3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}</tex>
-Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, \dots.</tex>
+Классы эквивалентностиЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, \dots.</tex>
 Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

@@ Строка 67: / Строка 67: @@
 ===Вычитание===
-Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <tex>C , A , B</tex> порождённых биекциями, с помощью скобок: <tex>[C],\ [A],\ [B].</tex> Тогда арифметическая операция ''вычитание'' определяется следующим образом:
+Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <tex>C , A , B</tex> порождённых биекциями, с помощью скобок: <tex>[C],\ [A],\ [B].</tex> Тогда арифметическая операция '''вычитание''' определяется следующим образом:
 <tex>[C] = [A] − [B] = [A \backslash B];\</tex>
 где <tex>A \backslash B = \{ C \in A  \mid  C \notin B  \mid  B \subset A \}  —\ </tex>разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

@@ Строка 69: / Строка 69: @@
 Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <tex>C , A , B</tex> порождённых биекциями, с помощью скобок: <tex>[ C ],\ [ A ],\ [ B ].</tex> Тогда арифметическая операция ''вычитание'' определяется следующим образом:
 <tex>[ C ] = [ A ] − [ B ] = [ A \ B ];\</tex>
-где <tex>A \ B = { C \in A  \mid  C \notin B  \mid  B \subset A }  — </tex>разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.
+где <tex>A \backslash B = { C \in A  \mid  C \notin B  \mid  B \subset A }  —\ </tex>разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.
 ==Деление чисел с остатком==