Неравенство Бернштейна - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:03:44Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.243.218.46 в 06:37, 1 сентября 2022

2022-09-01T06:37:12Z

Niko в 15:46, 26 июня 2012

2012-06-26T15:46:14Z

Dgerasimov в 13:03, 26 июня 2012

2012-06-26T13:03:46Z

Dmitriy D. в 00:50, 26 июня 2012

2012-06-26T00:50:00Z

Smolcoder в 18:29, 25 июня 2012

2012-06-25T18:29:00Z

Sementry в 15:10, 24 июня 2012

2012-06-24T15:10:32Z

217.66.152.12 в 03:11, 23 июня 2012

2012-06-23T03:11:20Z

217.66.152.12: взята блокировка на статью :)

2012-06-23T02:14:25Z

взята блокировка на статью :)

Новая страница

← Предыдущая		Версия 16:03, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	[[Явление Гиббса\|<<]][[Об обратных теоремах теории приближения функций\|>>]]		[[Явление Гиббса\|<<]][[Об обратных теоремах теории приближения функций\|>>]]

← Предыдущая		Версия 06:37, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	[[Явление Гиббса\|<<]][[Об обратных теоремах теории приближения функций\|>>]]		[[Явление Гиббса\|<<]][[Об обратных теоремах теории приближения функций\|>>]]

@@ Строка 49: / Строка 49: @@
 <tex>\|f\|_\infty = \max\limits_{x\in\mathbb{R}} |f(x)|</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|f(t + x)\|_\infty = \|f(t)\|_\infty</tex>, <tex>\|f\|_\infty</tex> не зависит от <tex> x </tex>.
-<tex>|\sin nt| < 1</tex>, <tex>\|T'_n\| \le 2n \|T_n\| \cdot \int\limits_Q\Phi_n(t)t = 2n\|T_n\|</tex>
+<tex>|\sin nt| < 1</tex>, <tex>\|T'_n\| \le 2n \|T_n\| \cdot \int\limits_Q\Phi_n(t)dt = 2n\|T_n\|</tex>
 Ослабленное неравенство Бернштейна установлено.

@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 {{В разработке}}
-<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>
+<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^n (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>
 {{Теорема

@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 Основываемся на том, что тригонометрический полином {{---}} ряд Фурье самого себя. Запишем его через интеграл Дирихле.
-<tex>T_n(x) = \int\limits_Q T_n(t)D_n(x-t) dt = \int\limits_Q T_n(t)D_n(t-x)</tex>
+<tex>T_n(x) = \int\limits_Q T_n(t)D_n(x-t) dt = \int\limits_Q T_n(t)D_n(t-x)dt</tex>
 Дифференцируем по <tex>x</tex>. Интеграл дифференцировать можно, так как промежуточный интеграл конечен, а под интегралом {{---}} тригонометрический полином.
@@ Строка 39: / Строка 39: @@
 Итого: <tex>\Phi_n(t) = \frac1{2\pi} + \frac1\pi \sum\limits_{j=1}^n\left(1-\frac{j}{n+1}\right)\cos jt</tex>
-<tex>G(t) = \frac{1}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{n-1} k \sin (2n -k)</tex> Это тот полином, который можно подставить в интеграл.
+<tex>G(t) = \frac{1}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{n-1} k \sin (2n -k)t</tex> Это тот полином, который можно подставить в интеграл.
-<tex>T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t)(-\frac1\pi)\left( \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin(2n-k)t \right) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi(n\sin nt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k(\sin kt+\sin(2n-k)t)) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi \left(n\sin t + 2\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin nt + \cos (n-k)t\right) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(k+t)\frac{2n}\pi\sin nt \left(\frac12 + \frac1n\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\cos(n-k)t\right) dt</tex> <tex>=-\int\limits_Q T_n(x+t)\frac{2n}\pi \sin nt \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^{n-1} \frac{n-j}n \cos jt\right) dt</tex>
+<tex>T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t)(-\frac1\pi)\left( \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin(2n-k)t \right) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi(n\sin nt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k(\sin kt+\sin(2n-k)t)) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi \left(n\sin nt + 2\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin nt \cdot \cos (n-k)t\right) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(k+t)\frac{2n}\pi\sin nt \left(\frac12 + \frac1n\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\cos(n-k)t\right) dt</tex> <tex>=-\int\limits_Q T_n(x+t)\frac{2n}\pi \sin nt \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^{n-1} \frac{n-j}n \cos jt\right) dt</tex>
 Итого: <tex>T'_n(x) = -2n\int\limits_QT_n(x+t)\sin nt \Phi_{n-1}(t)dt</tex>

@@ Строка 31: / Строка 31: @@
 <tex>G(t) = \sum\limits_{k=n+1}^pc_k\cos kt + d_k\sin kt</tex>
-<tex>\int\limits_Q T_n(x+t)D'_n(t) dt</tex> [в силу ортогональности] <tex>=\int\limits_Q T_n(x+t)(D'_n(t)+G(t)) dt</tex>
+<tex>\int\limits_Q T_n(x+t)D'_n(t) dt</tex> [в силу ортогональности] <tex>=\int\limits_Q T_n(x+t)(D'_n(t)-G(t)) dt</tex>
 Вспомним об ядре Фейера
@@ Строка 39: / Строка 39: @@
 Итого: <tex>\Phi_n(t) = \frac1{2\pi} + \frac1\pi \sum\limits_{j=1}^n\left(1-\frac{j}{n+1}\right)\cos jt</tex>
-<tex>G(t) = \sum\limits_{k=1}^{n-1} k \sin (2n -k)</tex> Это тот полином, который можно подставить в интеграл.
+<tex>G(t) = \frac{1}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{n-1} k \sin (2n -k)</tex> Это тот полином, который можно подставить в интеграл.
-<tex>T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi\left( \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin(2n-k)t \right) dt</tex> <tex>= \int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi(n\sin nt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k(\sin kt+\sin(2n-k)t)) dt</tex> <tex>= \int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi \left(n\sin t + 2\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin nt + \cos (n-k)t\right) dt</tex> <tex>= \int\limits_Q T_n(k+t)\frac{2n}\pi\sin nt \left(\frac12 + \frac1n\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\cos(n-k)t\right) dt</tex> <tex>=\int\limits_Q T_n(x+t)\frac{2n}\pi \sin nt \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^{n-1} \frac{n-j}n \cos jt\right) dt</tex>
+<tex>T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t)(-\frac1\pi)\left( \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin(2n-k)t \right) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi(n\sin nt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k(\sin kt+\sin(2n-k)t)) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi \left(n\sin t + 2\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin nt + \cos (n-k)t\right) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(k+t)\frac{2n}\pi\sin nt \left(\frac12 + \frac1n\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\cos(n-k)t\right) dt</tex> <tex>=-\int\limits_Q T_n(x+t)\frac{2n}\pi \sin nt \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^{n-1} \frac{n-j}n \cos jt\right) dt</tex>
-Итого: <tex>T'_n(x) = 2n\int\limits_QT_n(x+t)\sin nt \Phi_{n-1}(t)dt</tex>
+Итого: <tex>T'_n(x) = -2n\int\limits_QT_n(x+t)\sin nt \Phi_{n-1}(t)dt</tex>
 <tex>\Phi_n</tex> {{---}} неотрицательное и нормированное.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{В разработке}}
@@ Строка 25: / Строка 27: @@
 <tex>D'_n(t) = -\frac1\pi \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt</tex>
-Воспользуемся ортогональностью тригонометрической системы. Принимая по внимание то, что под знаком интеграла полином степени не выше <tex>n</tex>
+Воспользуемся ортогональностью тригонометрической системы. Принимая по внимание то, что под знаком интеграла полином степени не выше <tex>n</tex>:
 <tex>G(t) = \sum\limits_{k=n+1}^pc_k\cos kt + d_k\sin kt</tex>
@@ Строка 45: / Строка 47: @@
 <tex>\Phi_n</tex> {{---}} неотрицательное и нормированное.
-<tex>\|f\|_\infty = \max\limits_{x\in\mathbb{R}} |f(x)|</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|f\|_\infty</tex> не зависит от {{TODO|t=????}}.
+<tex>\|f\|_\infty = \max\limits_{x\in\mathbb{R}} |f(x)|</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|f(t + x)\|_\infty = \|f(t)\|_\infty</tex>, <tex>\|f\|_\infty</tex> не зависит от <tex> x </tex>.
 <tex>|\sin nt| < 1</tex>, <tex>\|T'_n\| \le 2n \|T_n\| \cdot \int\limits_Q\Phi_n(t)t = 2n\|T_n\|</tex>
@@ Строка 51: / Строка 53: @@
 Ослабленное неравенство Бернштейна установлено.
 }}

← Предыдущая		Версия 03:11, 23 июня 2012
Строка 1:		Строка 1:
	{{В разработке}}		{{В разработке}}
		+
		+	<tex>T_n(x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_k \cos kx + b_k \sin kx)</tex>
		+
		+	{{Теорема
		+	\|author=Бернштейн
		+	\|statement=<tex>\max\limits_{x\in\mathbb{R}} \|T'_n(x)\| \le n\cdot\max\limits_{x\in\mathbb{R}} \|T(x)\|</tex>. Константу <tex>n</tex> уменьшить нельзя
		+	\|proof=
		+	<tex>T_n = \sin nx \Rightarrow T'_n = n \cos nx</tex>. Здесь <tex>n</tex> уменьшить нельзя.
		+
		+	Так как это неравенство понадобится для так называемых обратных задач теории приближений, то мы приведём доказательство более грубого неравенства, но порядок константы будет тот же самый: вместо <tex>n</tex> будет <tex>2n</tex>. Доказательство классического неравенства более трудное. Однако, наше можно доказать, используя <tex>L_p</tex>.
		+
		+	Основываемся на том, что тригонометрический полином {{---}} ряд Фурье самого себя. Запишем его через интеграл Дирихле.
		+
		+	<tex>T_n(x) = \int\limits_Q T_n(t)D_n(x-t) dt = \int\limits_Q T_n(t)D_n(t-x)</tex>
		+
		+	Дифференцируем по <tex>x</tex>. Интеграл дифференцировать можно, так как промежуточный интеграл конечен, а под интегралом {{---}} тригонометрический полином.
		+
		+	<tex>T'_n(x) = -\int\limits_Q T_n(t)D'_n(t-x) dt = \int\limits_Q T_n(x+t)D'_n(t)dt</tex>
		+
		+	<tex>T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t) D'_n(t) dt</tex>
		+
		+	<tex>D_n(t) = \frac1\pi\left(\frac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right)</tex>
		+
		+	<tex>D'_n(t) = -\frac1\pi \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt</tex>
		+
		+	Воспользуемся ортогональностью тригонометрической системы. Принимая по внимание то, что под знаком интеграла полином степени не выше <tex>n</tex>
		+
		+	<tex>G(t) = \sum\limits_{k=n+1}^pc_k\cos kt + d_k\sin kt</tex>
		+
		+	<tex>\int\limits_Q T_n(x+t)D'_n(t) dt</tex> [в силу ортогональности] <tex>=\int\limits_Q T_n(x+t)(D'_n(t)+G(t)) dt</tex>
		+
		+	Вспомним об ядре Фейера
		+
		+	<tex>\Phi_n(t) = \frac1{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> <tex>= \frac1{\pi(n+1)}\left(\frac12 + \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^k \cos jt \right) \right)</tex> <tex>= \frac1{\pi(n+1)} \left( \frac{n+1}2 + \sum\limits_{j=1}^n \cos jt \sum\limits_{k=j}^n 1 \right) </tex> <tex>= \frac1{\pi(n+1)} \left(\frac{n+1}2 + \sum\limits_{j=1}^n (n-j+1)\cos jt\right)</tex> <tex>= \frac1{2\pi} + \frac1\pi \sum\limits_{j=1}^n \left(1 - \frac{j}{n+1}\right) \cos jt</tex>
		+
		+	Итого: <tex>\Phi_n(t) = \frac1{2\pi} + \frac1\pi \sum\limits_{j=1}^n\left(1-\frac{j}{n+1}\right)\cos jt</tex>
		+
		+	<tex>G(t) = \sum\limits_{k=1}^{n-1} k \sin (2n -k)</tex> Это тот полином, который можно подставить в интеграл.
		+
		+	<tex>T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi\left( \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin(2n-k)t \right) dt</tex> <tex>= \int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi(n\sin nt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k(\sin kt+\sin(2n-k)t)) dt</tex> <tex>= \int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi \left(n\sin t + 2\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin nt + \cos (n-k)t\right) dt</tex> <tex>= \int\limits_Q T_n(k+t)\frac{2n}\pi\sin nt \left(\frac12 + \frac1n\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\cos(n-k)t\right) dt</tex> <tex>=\int\limits_Q T_n(x+t)\frac{2n}\pi \sin nt \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^{n-1} \frac{n-j}n \cos jt\right) dt</tex>
		+
		+	Итого: <tex>T'_n(x) = 2n\int\limits_QT_n(x+t)\sin nt \Phi_{n-1}(t)dt</tex>
		+
		+	<tex>\Phi_n</tex> {{---}} неотрицательное и нормированное.
		+
		+	<tex>\\|f\\|_\infty = \max\limits_{x\in\mathbb{R}} \|f(x)\|</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\\|f\\|_\infty</tex> не зависит от {{TODO\|t=????}}.
		+
		+	<tex>\|\sin nt\| < 1</tex>, <tex>\\|T'_n\\| \le 2n \\|T_n\\| \cdot \int\limits_Q\Phi_n(t)t = 2n\\|T_n\\|</tex>
		+
		+	Ослабленное неравенство Бернштейна установлено.
		+	}}