Несобственные интегралы - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:21:05Z

rollbackEdits.php mass rollback

194.26.192.187 в 05:19, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:19:18Z

Dmitriy D. в 12:57, 23 июня 2012

2012-06-23T12:57:25Z

192.168.0.2: /* Метод исследования */

2011-01-21T07:08:50Z

‎Метод исследования

Sementry: пофиксил некоторые опечатки

2011-01-20T19:13:45Z

пофиксил некоторые опечатки

Komarov: добавлена категория

2010-12-13T19:54:27Z

добавлена категория

Komarov: Добавлена статья. вроде всё не так плохо, как обычно

2010-12-13T19:52:57Z

Добавлена статья. вроде всё не так плохо, как обычно

Komarov: Новая страница: «{{В разработке}}»

2010-12-13T18:44:47Z

Новая страница: «{{В разработке}}»

Новая страница

← Предыдущая		Версия 16:21, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	{{В разработке}}		{{В разработке}}
	[[Категория:Математический анализ 1 курс]]		[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

← Предыдущая		Версия 05:19, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	{{В разработке}}		{{В разработке}}
	[[Категория:Математический анализ 1 курс]]		[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

@@ Строка 133: / Строка 133: @@
 {{Утверждение
 |statement=
 Интеграл Дирихле сходится лишь условно.

@@ Строка 112: / Строка 112: @@
 Применим формулу интегрирования по частям:
-<tex>\int\limits_A^B f(x)dG(x) = f(B)G(B) - f(A)G(B) - \int\limits_A^B f'(x)G(x)dx</tex>
+<tex>\int\limits_A^B f(x)dG(x) = f(B)G(B) - f(A)G(A) - \int\limits_A^B f'(x)G(x)dx</tex>
-Пусть <tex>f' \leq 0 \Rightarrow f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0</tex>
+Пусть <tex>f</tex> убывает и стремится к нулю.
-Пусть <tex>\left|\int\limits_a^A G(x)dx \right| \leq M</tex>
+Пусть <tex>\forall A : \left|\int\limits_a^A g(x)dx \right| \leq M</tex>
-Получаем <tex>\left|\int\limits_A^B\right| \leq</tex>
+Получаем <tex>\left|\int\limits_A^B fg\right|\leq</tex>
 <tex>|f(B)| \left|\int\limits_a^B g\right| + |f(A)| \left|\int\limits_a^A g\right| + M \int\limits_A^B f'(x) dx</tex>

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 [[Категория:Математический анализ 1 курс]]
-Несобственный интеграл {{---}} в некотором смысле обобщение интеграла <tex>\int\limits_a^b</tex> на случай <tex>a = +\infty</tex>.
+Несобственный интеграл {{---}} в некотором смысле обобщение интеграла <tex>\int\limits_a^b</tex> на случай <tex>b = +\infty</tex>.
 == Некоторые определения ==
@@ Строка 121: / Строка 121: @@
 <tex>|f(B)| \left|\int\limits_a^B g\right| + |f(A)| \left|\int\limits_a^A g\right| + M \int\limits_A^B f'(x) dx</tex>
-Но <tex>|f(B)|, |f(A)| \to 0</tex>, <tex>\left|\int\limits_a^Bg\right|, \left|\int\limits_a^Ag\right| \leq M</tex> и <tex>\int\limits_A^B f'(x) dx = f(B) - f(A)</tex>(по формуле Ньютона-Лейбница). Тогда получаем, что, так как правая часть стремится к нулю, <tex>\left|\int\limits_A^Bfg\right| \to 0</tex>, интеграл, по принципу Коши, сходится.
+Но при <tex> A, B \rightarrow \infty </tex> <tex>|f(B)|, |f(A)| \to 0</tex>, <tex>\left|\int\limits_a^Bg\right|, \left|\int\limits_a^Ag\right| \leq M</tex> и <tex>\int\limits_A^B f'(x) dx = f(B) - f(A)</tex>(по формуле Ньютона-Лейбница). Тогда получаем, что, так как правая часть стремится к нулю, <tex>\left|\int\limits_A^Bfg\right| \to 0</tex>, интеграл, по принципу Коши, сходится.
 {{Утверждение
@@ Строка 136: / Строка 136: @@
 Интеграл Дирихле сходится лишь условно.
 |proof=
-Доказательства утверждения нужно доказать, что <tex>\int\limits_a^{+\infty} \left|\frac{\sin x}{x}\right| dx</tex> {{---}} расходится.
+Для доказательства утверждения нужно доказать, что <tex>\int\limits_a^{+\infty} \left|\frac{\sin x}{x}\right| dx</tex> {{---}} расходится.
 Очевидно, достаточно доказать это для <tex>a = 1</tex>.

← Предыдущая		Версия 19:52, 13 декабря 2010
Строка 1:		Строка 1:
	{{В разработке}}		{{В разработке}}
		+
		+
		+	Несобственный интеграл {{---}} в некотором смысле обобщение интеграла <tex>\int\limits_a^b</tex> на случай <tex>a = +\infty</tex>.
		+
		+	== Некоторые определения ==
		+
		+	{{Определение
		+	\|definition=
		+	Пусть <tex>a</tex> {{---}} конечно, <tex>b = +\infty</tex>, <tex>\forall A \geq a: \ f \in \mathcal{R}(a, A)</tex>.
		+
		+	Тогда определим <tex>\int\limits_a^{+\infty} f(x) dx = \lim\limits_{A \to +\infty} \int\limits_a^A f(x)dx</tex>
		+	}}
		+
		+	{{Определение
		+	\|definition=
		+	Если предел конечен, то такой интеграл называют сходящимся.
		+	}}
		+
		+	Аналогично определяется <tex>\int\limits_{-\infty}^b</tex>.
		+
		+	{{Определение
		+	\|definition=
		+	<tex>\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim\limits_{a \to +\infty} \int\limits_{-a}^0 + \int\limits_0^a</tex>.
		+	При этом, <tex>\int\limits_{-a}^0</tex> и <tex>\int\limits_0^a</tex> должны сходиться.
		+	}}
		+
		+
		+	== Критерий Коши существования несобственного интеграла ==
		+
		+	Пусть <tex>F(A) = \int\limits_a^A f(x) dx</tex>. Применяя критерий Коши существования предела функции, приходим к критерию Коши сходимости несобственного интеграла:
		+
		+	<tex>\int\limits_a^{+\infty}</tex> сходится <tex>\iff \lim\limits_{A, B \to +\infty} \int\limits_A^B f(x)dx = 0</tex>.
		+
		+	== Знакопостоянная функция ==
		+	Рассмотрим важный частным случай {{---}} подынтегральная функция неотрицательна.
		+
		+	Специфика этого случая в том, что все такие интегрируемые функции разбиваются на два класса: сходящиеся(<tex>\lim\limits_{A \to +\infty} \int\limits_a^A < +\infty</tex>) и расходящиеся(<tex>\lim\limits_{A \to +\infty} \int\limits_a^A = +\infty</tex>).
		+
		+	При исследовании таких функции применяют принцип сравнения.
		+
		+	{{Определение
		+	\|definition=
		+	Интегралы <tex>\int\limits_0^{+\infty} f</tex> и <tex>\int\limits_0^{+\infty} g</tex> равносходятся, если выполнено одно из следующих условий:
		+	# Оба интеграла сходятся.
		+	# Оба интеграла расходятся.
		+	Также записывают <tex>\int\limits_a^{+\infty} f \sim \int\limits_a^{+\infty} g</tex>.
		+	}}
		+
		+	{{Утверждение
		+	\|statement=
		+	1. Пусть <tex>0 \leq f(x) \leq g(x)</tex>, <tex>x \geq a</tex>, <tex>g</tex> {{---}} сходящаяся. Тогда <tex>f</tex> {{---}} тоже сходящаяся.<br/>
		+	2. Пусть <tex>\frac{g(x)}{f(x)} \to q</tex>, <tex>q \ne 0</tex>, <tex>q \ne \infty</tex>. Тогда <tex>f</tex> и <tex>g</tex> равносходятся.
		+	\|proof=
		+	1. Пусть <tex>0 \leq f(x) \leq g(x)</tex>. Тогда <tex>\int\limits_a^A f \leq \int\limits_a^A g</tex>. В силу сходимости интеграла <tex>g</tex>, <tex>\int\limits_0^A g \leq M</tex>. Тогда <tex>\int\limits_a^A f \leq M</tex>. Значит, он ограничен, и интеграл сходится.
		+
		+	2. В силу наложенных на функции условий, <tex>q > 0</tex>. Возьмём <tex>\varepsilon = q/2</tex>.
		+	<tex>\exists A_0\ \forall x > A_0:\ q - \varepsilon \leq \frac{g(x)}{f(x)} \leq q + \varepsilon</tex>. Подставим <tex>\varepsilon</tex> и домножим на большее нуля <tex>f(x)</tex>.
		+
		+	<tex>\frac12qf(x) \leq g(x) \leq \frac32qf(x)</tex>.
		+
		+	Тогда, по первому пункту этого утверждения, так как неравенство двойное, требуемое доказано.
		+	}}
		+
		+
		+	Наиболее часто интеграл функции пытаются сравнивать с интегралом вида
		+	<tex>\int\limits_1^{+\infty} \frac1{x^p} dx =
		+	\left\{\begin{aligned}
		+	\ln x, & \quad p = 1\\
		+	\frac1{1-p} \frac1{x^{p - 1}}, & \quad p \ne 1\\
		+	\end{aligned}
		+	\right.
		+	</tex>
		+
		+	Он замечателен тем, что <tex>\int\limits_1^{+\infty} \frac1{x^p} dx</tex> {{---}} сходится <tex>\iff p > 1</tex>.
		+
		+	Ситуация резко усложняется, если рассматривать интегралы незнакопостоянной функции.
		+
		+	== Интеграл Дирихле ==
		+
		+	{{Определение
		+	\|definition=
		+	<tex>\int\limits_0^{+\infty} \frac{\sin x}x dx</tex> {{---}} интеграл Дирихле. Он сходится к <tex>\frac\pi2</tex>, однако, мы это пока не умеем доказывать
		+	}}
		+
		+	Заметим, что так как <tex>\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}x = 1</tex>, то в нуле никакой внезапной гадости не будет.
		+
		+	Для таких интегралов с незнакопостоянной функцией принята следующая терминология:
		+	{{Определение
		+	\|definition=
		+	Если <tex>\int\limits_a^{+\infty} \|f(x)\| dx</tex> {{---}} сходится, то говорят, что <tex>\int\limits_a^{+\infty} f</tex> абслоютно сходится.
		+	}}
		+
		+	{{Утверждение
		+	\|statement=
		+	Если интеграл абсолютно сходится, то он сходится
		+	\|proof=
		+	Ну очевидно же...
		+	}}
		+
		+	{{Определение
		+	\|definition=
		+	Если <tex>\int\limits_a^{+\infty} \|f\|</tex> расходится, но <tex>\int\limits_a^{+\infty} f</tex> сходится, то говорят, что <tex>\int\limits_a^{+\infty} f</tex> {{---}} условно-сходящийся
		+	}}
		+
		+	=== Метод исследования ===
		+	Наибольшие сложности возникают при исследовании условно-сходящихся интегралов. Как правило, данные интегралы исследуются творческим применением формулы интегрирования по частям для определённого интеграла.
		+
		+	Рассмотрим <tex>\int\limits_a^{+\infty} f(x)g(x)dx</tex>.
		+
		+	<tex>\int\limits_A^B f(x)g(x)dx = \int\limits_A^Bf(x)dG(x)</tex>
		+
		+	Применим формулу интегрирования по частям:
		+	<tex>\int\limits_A^B f(x)dG(x) = f(B)G(B) - f(A)G(B) - \int\limits_A^B f'(x)G(x)dx</tex>
		+
		+	Пусть <tex>f' \leq 0 \Rightarrow f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0</tex>
		+
		+	Пусть <tex>\left\|\int\limits_a^A G(x)dx \right\| \leq M</tex>
		+
		+	Получаем <tex>\left\|\int\limits_A^B\right\| \leq</tex>
		+	<tex>\|f(B)\| \left\|\int\limits_a^B g\right\| + \|f(A)\| \left\|\int\limits_a^A g\right\| + M \int\limits_A^B f'(x) dx</tex>
		+
		+	Но <tex>\|f(B)\|, \|f(A)\| \to 0</tex>, <tex>\left\|\int\limits_a^Bg\right\|, \left\|\int\limits_a^Ag\right\| \leq M</tex> и <tex>\int\limits_A^B f'(x) dx = f(B) - f(A)</tex>(по формуле Ньютона-Лейбница). Тогда получаем, что, так как правая часть стремится к нулю, <tex>\left\|\int\limits_A^Bfg\right\| \to 0</tex>, интеграл, по принципу Коши, сходится.
		+
		+	{{Утверждение
		+	\|statement=
		+	Интеграл Дирихле сходится
		+	\|proof=
		+	Рассмотрим интеграл Дирихле и положим <tex>f = \frac1x</tex>, <tex>g = \sin x</tex>.
		+
		+	<tex>f' = -\frac1{x^2}</tex>, <tex>\int g(x)dx = -\cos x</tex>. Все условия предыдущих выкладок выполнены, значит, интеграл Дирихле {{---}} сходящийся.
		+	}}
		+
		+	{{Утверждение
		+	\|statement=
		+	Интеграл Дирихле сходится лишь условно.
		+	\|proof=
		+	Доказательства утверждения нужно доказать, что <tex>\int\limits_a^{+\infty} \left\|\frac{\sin x}{x}\right\| dx</tex> {{---}} расходится.
		+
		+	Очевидно, достаточно доказать это для <tex>a = 1</tex>.
		+
		+	Допустим обратное. Пусть этот интеграл сходится.
		+
		+	Так как <tex>\|\sin x\| \leq 1</tex>, <tex>\sin^2 x \leq \|\sin(x)\|</tex>. По принципу сравнения, <tex>\int\limits_1^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x} dx</tex> {{---}} сходится.
		+
		+	Понизим степень <tex>\sin^2 x</tex>: <tex>\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}2</tex>
		+
		+	Тогда получаем, что <tex>\int\limits_1^A \frac{\sin^2 x}x dx =</tex> <tex>\int\limits_1^A \frac{1 - \cos 2x}{2x} dx = </tex>
		+	<tex>\int\limits_1^A \frac1{2x} dx - \int\limits_1^A\frac{\cos 2x}{2x}dx</tex>.
		+
		+	Заметим, что первое слагаемое расходится(это логарифм), а второе аналогично доказанному выше про <tex>\frac{\sin x}x</tex>, сходится.
		+
		+	Получили, что сходящийся интеграл расходится, то есть, получено противоречие. Значит, интеграл Дирихле сходится лишь условно.
		+	}}