Обсуждение:Факторизация графов - История изменений

Cczy: /* Задача о поиске произвольного f-фактора */

2019-12-29T18:24:01Z

‎Задача о поиске произвольного f-фактора

Cczy в 18:00, 29 декабря 2019

2019-12-29T18:00:55Z

Cczy в 17:53, 29 декабря 2019

2019-12-29T17:53:37Z

194.85.161.2 в 17:33, 29 декабря 2019

2019-12-29T17:33:04Z

Cczy в 15:48, 28 декабря 2019

2019-12-28T15:48:34Z

194.85.161.2: /* Задача о поиске произвольного f-фактора */

2019-12-28T15:28:18Z

‎Задача о поиске произвольного f-фактора

194.85.161.2: Новая страница: «{{Определение |definition = '''k-фактор''' — Основные определения теории графов|регулярны…»

2019-12-28T00:56:34Z

Новая страница: «{{Определение |definition = '''<tex>k</tex>-фактор''' — Основные определения теории графов|регулярны…»

Новая страница

{{Определение
|definition = '''<tex>k</tex>-фактор''' — [[Основные определения теории графов|регулярный]] остовный подграф степени <tex>k</tex>. Если граф <tex>G</tex> представляет собой сумму <tex>k</tex>-факторов, то их объединение называется <tex>k</tex>-факторизацией, а сам граф <tex>G</tex> назыается <tex>k</tex>-факторизуемым.
}}

{{Определение
|definition = Пусть задана функция <tex>f : V(G) \rightarrow \mathbb{N}</tex>, такая что <tex>\forall~v \in V(G):f(v)\leq \text{deg}(v)</tex>. Тогда остовный подграф <tex>G_f</tex> в котором степень каждой вершины <tex>v</tex> равна <tex>f(v)</tex> называется '''<tex>f</tex>-фактором'''.
}}

== Задача о поиске произвольного <tex>f</tex>-фактора ==

Пусть дан граф <tex>G</tex> и функция <tex>f : V(G) \rightarrow \mathbb{N}</tex>. Построим граф <tex>G^*</tex> следующим образом.
# Для каждого ребра <tex>(u,w)\in E(G)</tex> добавим в граф <tex>G^*</tex> две новых вершины <tex>e(u)</tex> и <tex>e(w)</tex>, соответствующие <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, и соединим их ребром. В результате каждой вершине <tex>v \in V(g)</tex> будет соответствовать множество <tex>S(v) \subset V(G_f^*)</tex> такое что <tex>|S(v)|=deg(v)</tex>.
# Для каждой вершины <tex>v\in V(G)</tex> добавим в <tex>G^*</tex> новые <tex>deg(v)-f(v)</tex> вершин, образующие множество <tex>T(v)</tex>. Каждую вершину из <tex>T(v)</tex> свяжем ребром с каждой вершиной из <tex>S(v)</tex>

@@ Строка 16: / Строка 16: @@
 Пусть дан граф <tex>G</tex> и функция <tex>f : V(G) \rightarrow \mathbb{N}</tex>. Построим граф <tex>G^*</tex> следующим образом.
-# Для каждого ребра <tex>(u,w)\in E(G)</tex> добавим в граф <tex>G^*</tex> две новых вершины <tex>e(u)</tex> и <tex>e(w)</tex>, соответствующие <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, и соединим их ребром. В результате каждой вершине <tex>v \in V(G)</tex> будет соответствовать множество <tex>S(v) \subset V(G^*)</tex> такое что <tex>|S(v)|=deg(v)</tex>; Каждому ребру <tex>(u,w) \in E(G)</tex> соответствует ребро <tex>(e(u),e(w))</tex>, причем ни для каких двух ребер из <tex>E(G)</tex> концы соответствующих им ребер в <tex>G^*</tex> не пересекаются.
+# Для каждого ребра <tex>(u,w)\in E(G)</tex> добавим в граф <tex>G^*</tex> по одной новой вершине в множества <tex>S(u)</tex> и <tex>S(w)</tex>, и соединим их ребром <tex>(e(u),e(w))</tex>. В результате каждой вершине <tex>v \in V(G)</tex> будет соответствовать множество <tex>S(v) \subset V(G^*)</tex> такое что <tex>|S(v)|=deg(v)</tex>; Каждому ребру <tex>(u,w) \in E(G)</tex> будет соответствовать ребро <tex>(e(u),e(w))</tex>, причем ни для каких двух ребер из <tex>E(G)</tex> концы соответствующих им ребер в <tex>G^*</tex> не пересекаются.
 # Для каждой вершины <tex>v\in V(G)</tex> добавим в <tex>G^*</tex> новые <tex>deg(v)-f(v)</tex> вершин, образующие множество <tex>T(v)</tex>. Каждую вершину из <tex>T(v)</tex> свяжем ребром с каждой вершиной из <tex>S(v)</tex>. В результате для каждой вершины <tex>v \in V(G)</tex> Множество <tex>S(v)\cup T(v)</tex> образует полный двудольный граф.

@@ Строка 12: / Строка 12: @@
 == Задача о поиске произвольного <tex>f</tex>-фактора ==
 Пусть дан граф <tex>G</tex> и функция <tex>f : V(G) \rightarrow \mathbb{N}</tex>. Построим граф <tex>G^*</tex> следующим образом.
-# Для каждого ребра <tex>(u,w)\in E(G)</tex> добавим в граф <tex>G^*</tex> две новых вершины <tex>e(u)</tex> и <tex>e(w)</tex>, соответствующие <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, и соединим их ребром. В результате каждой вершине <tex>v \in V(G)</tex> будет соответствовать множество <tex>S(v) \subset V(G_f^*)</tex> такое что <tex>|S(v)|=deg(v)</tex>; Каждому ребру <tex>(u,w) \in E(G)</tex> соответствует ребро <tex>(e(u),e(w))</tex>, причем ни для каких двух ребер из <tex>E(G)</tex> концы соответствующих им ребер в <tex>G^*</tex> не пересекаются.
+# Для каждого ребра <tex>(u,w)\in E(G)</tex> добавим в граф <tex>G^*</tex> две новых вершины <tex>e(u)</tex> и <tex>e(w)</tex>, соответствующие <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, и соединим их ребром. В результате каждой вершине <tex>v \in V(G)</tex> будет соответствовать множество <tex>S(v) \subset V(G^*)</tex> такое что <tex>|S(v)|=deg(v)</tex>; Каждому ребру <tex>(u,w) \in E(G)</tex> соответствует ребро <tex>(e(u),e(w))</tex>, причем ни для каких двух ребер из <tex>E(G)</tex> концы соответствующих им ребер в <tex>G^*</tex> не пересекаются.
 # Для каждой вершины <tex>v\in V(G)</tex> добавим в <tex>G^*</tex> новые <tex>deg(v)-f(v)</tex> вершин, образующие множество <tex>T(v)</tex>. Каждую вершину из <tex>T(v)</tex> свяжем ребром с каждой вершиной из <tex>S(v)</tex>. В результате для каждой вершины <tex>v \in V(G)</tex> Множество <tex>S(v)\cup T(v)</tex> образует полный двудольный граф.

@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 |definition = Пусть задана функция <tex>f : V(G) \rightarrow \mathbb{N}</tex>, такая что <tex>\forall~v \in V(G):f(v)\leq \text{deg}(v)</tex>. Тогда остовный подграф <tex>G_f</tex> в котором степень каждой вершины <tex>v</tex> равна <tex>f(v)</tex> называется '''<tex>f</tex>-фактором'''.
 }}
 == Задача о поиске произвольного <tex>f</tex>-фактора ==
@@ Строка 23: / Строка 27: @@
 Пусть граф <tex>G</tex> имеет <tex>f</tex>-фактор <tex>G_f</tex>. Построим паросочетание <tex>M</tex> для графа <tex>G^*</tex> следующим образом:
 # Для каждого ребра <tex>(u,w)\in G_f</tex> добавим в <tex>M</tex>  соответствующее ему ребро из <tex>G^*</tex> . Теперь для каждой вершины <tex>v \in V(g)</tex> <tex>f(v)</tex> вершин из множества <tex>S(v)</tex> покрыты <tex>M</tex> .
-# Для каждой вершины <tex>v \in V(g)</tex> пусть <tex>R(v)\subset S(v)</tex> - множество вершин еще не покрытых <tex>M</tex>. <tex>R(v)\cup T(v)</tex> является полным двудольным графом, причем размер каждой из долей равен <tex>deg(v)-f(v)</tex>, следовательно этот граф имеет совершенное паросочетание <tex>M_v</tex>. Добавим каждое ребро из <tex>M_v</tex> в <tex>M</tex>.
+# Для каждой вершины <tex>v \in V(g)</tex> пусть <tex>R(v)\subset S(v)</tex> {{---}} множество вершин еще не покрытых <tex>M</tex>. <tex>R(v)\cup T(v)</tex> является полным двудольным графом, причем размер каждой из долей равен <tex>deg(v)-f(v)</tex>, следовательно этот граф имеет совершенное паросочетание <tex>M_v</tex>. Добавим каждое ребро из <tex>M_v</tex> в <tex>M</tex>.
 В результате каждая вершина в <tex>G^*</tex> покрыта <tex>M</tex>, следовательно <tex>M</tex> является совершенным паросочетанием.
@@ Строка 31: / Строка 35: @@
 }}
-Из доказательства напрямую следует, что задача о поиске произвольного <tex>f</tex>-фактора графа <tex>G</tex> сводится к поиску совершенного паросочетания в графе <tex>G^*</tex>. Т.к. <tex>G^*</tex> в общем случае не является двудольным, для решения этой задачи можно воспользваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D1%81%D0%B6%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D1%86%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2 Алгоритмом Эдмондса для поиска наибольшего паросочетания].
+Из доказательства напрямую следует, что для нахождения <tex>f</tex>-фактора графа <tex>G</tex> достаточно найти совершенное паросочетание в графе <tex>G^*</tex>. Т.к. <tex>G^*</tex> в общем случае не является двудольным, для решения этой задачи можно воспользваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D1%81%D0%B6%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D1%86%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2 Алгоритмом Эдмондса для поиска наибольшего паросочетания].

@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 {{Теорема
 |statement =
-Граф <tex>G</tex> имеет <tex>f</tex>-фактор тогда и только тогда, когда соответствующий данным графу и функции граф <tex>G^*</tex> имеет совершенное паросочетание.
+Граф <tex>G</tex> имеет <tex>f</tex>-фактор тогда и только тогда, когда соответствующий графу <tex>G</tex> и функции <tex>f</tex> граф <tex>G^*</tex> имеет совершенное паросочетание.
 |proof =
 <tex>\Rightarrow</tex>

@@ Строка 12: / Строка 12: @@
 # Для каждого ребра <tex>(u,w)\in E(G)</tex> добавим в граф <tex>G^*</tex> две новых вершины <tex>e(u)</tex> и <tex>e(w)</tex>, соответствующие <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, и соединим их ребром. В результате каждой вершине <tex>v \in V(G)</tex> будет соответствовать множество <tex>S(v) \subset V(G_f^*)</tex> такое что <tex>|S(v)|=deg(v)</tex>; Каждому ребру <tex>(u,w) \in E(G)</tex> соответствует ребро <tex>(e(u),e(w))</tex>, причем ни для каких двух ребер из <tex>E(G)</tex> концы соответствующих им ребер в <tex>G^*</tex> не пересекаются.
 # Для каждой вершины <tex>v\in V(G)</tex> добавим в <tex>G^*</tex> новые <tex>deg(v)-f(v)</tex> вершин, образующие множество <tex>T(v)</tex>. Каждую вершину из <tex>T(v)</tex> свяжем ребром с каждой вершиной из <tex>S(v)</tex>. В результате для каждой вершины <tex>v \in V(G)</tex> Множество <tex>S(v)\cup T(v)</tex> образует полный двудольный граф.
 {{Теорема