Обсуждение участника:AKhimulya - История изменений

188.227.78.144 в 22:30, 24 ноября 2014

2014-11-24T22:30:18Z

AKhimulya: хроматический многочлен цикла

2014-11-24T20:51:45Z

хроматический многочлен цикла

188.227.78.144: больше англоязычных терминов

2014-11-24T18:59:32Z

больше англоязычных терминов

AKhimulya: добавлены хроматические многочлены цикла и колеса

2014-11-22T05:49:01Z

добавлены хроматические многочлены цикла и колеса

AKhimulya: поправлено форматирование и добавлен интервики

2014-11-22T01:11:02Z

поправлено форматирование и добавлен интервики

AKhimulya: добавлены тире, убраны запятые после многоточий, корректное оформление источников информации

2014-11-22T00:38:36Z

добавлены тире, убраны запятые после многоточий, корректное оформление источников информации

AKhimulya: стягивание ребра вынесено перед теоремой о хроматическом многочлене дереве

2014-11-22T00:30:21Z

стягивание ребра вынесено перед теоремой о хроматическом многочлене дереве

AKhimulya: выделено примечание при нуль-графе

2014-11-22T00:21:35Z

выделено примечание при нуль-графе

AKhimulya: "пустой граф" переименован

2014-11-22T00:20:33Z

"пустой граф" переименован

AKhimulya: англоязычный термин

2014-11-22T00:14:19Z

англоязычный термин

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Определение
-|definition=Пусть дан фиксированный граф <tex>G</tex> и фиксированное число красок <tex>x</tex>. Количество способов правильной <tex>x</tex> — [[Раскраска графа|раскраски графа]] <tex>G</tex> называется '''хроматическим многочленом''' ('''chromatic polynomial'''). Обозначение: <tex>P(G,x)</tex>.
+|definition=Пусть дан фиксированный граф <tex>G</tex> и фиксированное число красок <tex>x</tex>. Количество способов правильной <tex>x</tex> — [[Раскраска графа|раскраски графа]] <tex>G</tex> называется '''хроматическим многочленом''' (англ. ''chromatic polynomial''). Обозначение: <tex>P(G,x)</tex>.
 }}
 == Рекуррентные формулы для хроматических многочленов ==
 {{Определение
-|definition='''Стягивание ребра''' (edge contraction) — замена концов ребра одной вершиной, соседями новой вершины становятся соседи этих концов. Будем обозначать за <tex>G/uv</tex> граф, полученный из графа <tex>G</tex> стягиванием ребра <tex>uv</tex>.}}
+|definition='''Стягивание ребра''' (англ. ''edge contraction'') — замена концов ребра одной вершиной, соседями новой вершины становятся соседи этих концов. Будем обозначать за <tex>G/uv</tex> граф, полученный из графа <tex>G</tex> стягиванием ребра <tex>uv</tex>.}}
 {{Теорема
 |statement=
@@ Строка 31: / Строка 31: @@
 === Хроматический многочлен нуль-графа ===
 {{Определение
-|definition='''Нуль-граф''' (пустой граф, вполне несвязный граф, null graph, empty graph, edgeless graph) — регулярный граф степени 0, т.е. граф без рёбер.}}
+|definition='''Нуль-граф''' (пустой граф, вполне несвязный граф; англ. ''null graph'', ''empty graph'', ''edgeless graph'') — регулярный граф степени <tex>0</tex>, т.е. граф без рёбер.}}
 <tex>P(O_{n},x)=x^{n}</tex>, так как каждую из <tex>n</tex> вершин нулевого графа <tex>O_{n}</tex> можно независимо окрасить в любой из <tex>x</tex> цветов.<br>
 '''Примечание:''' Нулевой граф <tex>O_{n}</tex> также можно обозначать <tex>\overline{K_{n}}</tex> (дополнительный граф для полного графа <tex>K_{n}</tex>).
 === Хроматический многочлен простой цепи ===
-Пусть <tex>T_n</tex> - простая цепь, состоящая из n вершин. Рассмотрим процесс раскраски простой цепи: первую вершину можно покрасить в один из <tex>x</tex> цветов, вторую и последующие в один из <tex>x - 1</tex> цветов (т.е. так, чтобы цвет не совпадал с предыдущей вершиной). Тогда <tex>P_{T_n}(x) = x(x - 1) ^ {n - 1}</tex>.
+Пусть <tex>T_n</tex> — простая цепь, состоящая из <tex>n</tex> вершин. Рассмотрим процесс раскраски простой цепи: первую вершину можно покрасить в один из <tex>x</tex> цветов, вторую и последующие в один из <tex>x - 1</tex> цветов (т.е. так, чтобы цвет не совпадал с предыдущей вершиной). Тогда <tex>P(T_n, x) = x(x - 1) ^ {n - 1}</tex>.
 === Хроматический многочлен цикла ===
@@ Строка 43: / Строка 43: @@
 хроматический многочлен цикла
 |statement=
-Пусть <tex>C_n</tex> — цикл длины <tex>n</tex>. Тогда хроматичсекий многочлен цикла <tex>P_{C_n}(x) = (x - 1)^n + (-1)^n(x - 1)</tex>.
+Пусть <tex>C_n</tex> — цикл длины <tex>n</tex>. Тогда хроматичсекий многочлен цикла <tex>P(C_n, x) = (x - 1)^n + (-1)^n(x - 1)</tex>.
 |proof=
-Рассмотрим случай <tex>n = 3</tex>: <tex>P_{C_3}(x) = x(x - 1)(x - 2) = (x - 1)(x^2 - x) = (x - 1)^3 + (-1)^3(x - 1)</tex>, что удовлетворяет формулировке теоремы.<br>
+Рассмотрим случай <tex>n = 3</tex>: <tex>P(C_3, x) = x(x - 1)(x - 2) = (x - 1)(x^2 - x) = (x - 1)^3 + (-1)^3(x - 1)</tex>, что удовлетворяет формулировке теоремы.<br>
-Пусть <tex>P_{С_k} = (x - 1)^k + (-1)^k(x - 1)</tex>. Рассмотрим случай <tex>n = k + 1</tex>. По теореме о [[#.D0.A0.D0.B5.D0.BA.D1.83.D1.80.D1.80.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.84.D0.BE.D1.80.D0.BC.D1.83.D0.BB.D1.8B_.D0.B4.D0.BB.D1.8F_.D1.85.D1.80.D0.BE.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D1.85_.D0.BC.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE.D1.87.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.BE.D0.B2|рекурентной формуле для хроматических многочленов]]: <tex>P_{ C_{k + 1} } = P_{ C_{k + 1} \setminus e } - P_{ C_{k + 1} / e }</tex> (где <tex>e</tex> - любое ребро <tex>C_{k + 1}</tex>).
+Пусть <tex>P(С_k, x) = (x - 1)^k + (-1)^k(x - 1)</tex>.<br>
 Заметим, что граф <tex>C_{k + 1} / e</tex> изоморфен <tex>C_k</tex>. Заметим, что граф <tex>C_{k + 1} \setminus e</tex> является [[#.D0.A5.D1.80.D0.BE.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B9_.D0.BC.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE.D1.87.D0.BB.D0.B5.D0.BD_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.BE.D0.B9_.D1.86.D0.B5.D0.BF.D0.B8|простой цепью]].
-Тогда <tex>P_{ C_{k + 1} }(x)=P_{ T_{k + 1} }(x)-P_{C_k}(x)=x(x-1)^k-(x-1)^k-(-1)^k(x-1)=</tex><tex>(x-1)^{k+1}+(-1)^{k+1}(x-1)</tex>.
+Тогда <tex>P(C_{k + 1}, x)=P(T_{k + 1}, x)-P(C_k, x)=x(x-1)^k-(x-1)^k-(-1)^k(x-1)=</tex><tex>(x-1)^{k+1}+(-1)^{k+1}(x-1)</tex>.
 }}
 === Хроматический многочлен колеса ===
@@ Строка 61: / Строка 62: @@
 Граф <tex>G</tex> с <tex>n</tex> вершинами является деревом тогда и только тогда, когда <tex>P(G,x)=x(x-1)^{n-1}</tex>.
 |proof=
 Сначала покажем, что хроматический многочлен любого дерева <tex>T</tex> с <tex>n</tex> вершинами есть <tex>x(x-1)^{n-1}</tex>.
-Доказательство индукцией по числу <tex>n</tex>. Для <tex>n=1</tex> и <tex>n=2</tex> результат очевиден. Предположим, что <tex>P(T',x)=x(x-1)^{n-2}</tex> для любого дерева <tex>T'</tex> с количеством вершин равным <tex>n-1</tex>. Пусть <tex>uv</tex> — ребро дерева <tex>T</tex>, такое что <tex>v</tex> является висячей вершиной. Хроматический многочлен дерева <tex>T</tex> без ребра <tex>uv</tex> равен <tex>P(T/uv,x)=x(x-1)^{n-2}</tex> по нашему предположению. Вершину <tex>v</tex> можно окрасить <tex>x-1</tex> способом, так как её цвет должен только лишь отличаться от цвета вершины <tex>u</tex>. Итого: <tex>P(T,x)=(x-1)P(T/uv,x)=x(x-1)^{n-1}</tex>.
+Доказательство индукцией по числу <tex>n</tex>. Для <tex>n=1</tex> и <tex>n=2</tex> результат очевиден. Предположим, что <tex>P(T',x)=x(x-1)^{n-2}</tex> для любого дерева <tex>T'</tex> с количеством вершин равным <tex>n-1</tex>. Пусть <tex>uv</tex> — ребро дерева <tex>T</tex>, такое что <tex>v</tex> является висячей вершиной. Хроматический многочлен дерева <tex>T</tex> без ребра <tex>uv</tex> равен <tex>P(T/uv,x)=x(x-1)^{n-2}</tex> по нашему предположению. Вершину <tex>v</tex> можно окрасить <tex>x-1</tex> способом, так как её цвет должен только лишь отличаться от цвета вершины <tex>u</tex>. Итого: <tex>P(T,x)=(x-1)P(T/uv,x)=x(x-1)^{n-1}</tex>.<br>
 Обратно, пусть <tex>G</tex> — граф, у которого <tex>P(G,x)=x(x-1)^{n-1}</tex>. Тогда верны два следующих утверждения:
 <ol>
@@ Строка 126: / Строка 129: @@
 }}
-== Литература ==
+== Источники информации ==
 * Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы: Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. - СПб.: Издательство "Лань", 2010. - 368 с.: ил. - (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 978-5-8114-1068-2
 * Харари Ф. — Теория графов: Изд. 4-е. - М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. - 296 с. ISBN 978-5-397-00622-4
 [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 [[Категория: Раскраски графов]]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Определение
 |definition=Пусть дан фиксированный граф <tex>G</tex> и фиксированное число красок <tex>x</tex>. Количество способов правильной <tex>x</tex> — [[Раскраска графа|раскраски графа]] <tex>G</tex> называется '''хроматическим многочленом''' ('''chromatic polynomial'''). Обозначение: <tex>P(G,x)</tex>.
 }}
@@ Строка 12: / Строка 34: @@
 <tex>P(O_{n},x)=x^{n}</tex>, так как каждую из <tex>n</tex> вершин нулевого графа <tex>O_{n}</tex> можно независимо окрасить в любой из <tex>x</tex> цветов.<br>
 '''Примечание:''' Нулевой граф <tex>O_{n}</tex> также можно обозначать <tex>\overline{K_{n}}</tex> (дополнительный граф для полного графа <tex>K_{n}</tex>).
 === Хроматический многочлен цикла ===
-Пусть <tex>C_n</tex> — цикл длины <tex>n</tex>. По [[#.D0.A0.D0.B5.D0.BA.D1.83.D1.80.D1.80.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.84.D0.BE.D1.80.D0.BC.D1.83.D0.BB.D1.8B_.D0.B4.D0.BB.D1.8F_.D1.85.D1.80.D0.BE.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D1.85_.D0.BC.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE.D1.87.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.BE.D0.B2|рекурентной формуле для хроматических сногочленов]] Тогда хроматичсекий многочлен цикла <tex>P_{С_n} = (x - 1)^n + (-1)^n(x - 1)</tex>
+{{Теорема
+|about=
 === Хроматический многочлен колеса ===
 {{Определение
@@ Строка 21: / Строка 55: @@
 Пусть <tex>W_n</tex> — колесо с <tex>n</tex> вершинами. Выбрав и зафиксировав один из <tex>x</tex> цветов на вершине, связнной со всеми остальными, имеем <tex> P_{C_{n - 1}}(x - 1) </tex> вариантов раскраски оставшегося графа. Тогда хроматичсекий многочлен колеса <tex>P_{W_n}(x) = x \cdot P_{C_{n - 1}}(x - 1) = x((x - 2)^{(n - 1)} - (-1)^n(x - 2))</tex>.
 === Хроматический многочлен дерева ===
 {{Теорема
 |about=
@@ Строка 38: / Строка 70: @@
 </ol>
 Из этих двух утверждений (связность и <tex>n-1</tex> ребро) следует, что граф <tex>G</tex> является деревом (см. [[Дерево, эквивалентные определения]], утверждения 1 и 3).
 }}

@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 === Хроматический многочлен цикла ===
-Пусть <tex>C_n</tex> — цикл длины <tex>n</tex>. Тогда хроматичсекий многочлен цикла <tex>P_{С_n} = (x - 1)^n + (-1)^n(x - 1)</tex>
+Пусть <tex>C_n</tex> — цикл длины <tex>n</tex>. По [[#.D0.A0.D0.B5.D0.BA.D1.83.D1.80.D1.80.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.84.D0.BE.D1.80.D0.BC.D1.83.D0.BB.D1.8B_.D0.B4.D0.BB.D1.8F_.D1.85.D1.80.D0.BE.D0.BC.D0.B0.D1.82.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D1.85_.D0.BC.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE.D1.87.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.BE.D0.B2|рекурентной формуле для хроматических сногочленов]] Тогда хроматичсекий многочлен цикла <tex>P_{С_n} = (x - 1)^n + (-1)^n(x - 1)</tex>
 === Хроматический многочлен колеса ===
@@ Строка 22: / Строка 22: @@
 === Хроматический многочлен дерева ===
 {{Определение
-|definition='''Стягивание ребра''' — замена концов ребра одной вершиной, соседями новой вершины становятся соседи этих концов. Будем обозначать за <tex>G/uv</tex> граф, полученный из графа <tex>G</tex> стягиванием ребра <tex>uv</tex>.}}
+|definition='''Стягивание ребра''' (edge contraction) — замена концов ребра одной вершиной, соседями новой вершины становятся соседи этих концов. Будем обозначать за <tex>G/uv</tex> граф, полученный из графа <tex>G</tex> стягиванием ребра <tex>uv</tex>.}}
 {{Теорема
 |about=

@@ Строка 13: / Строка 13: @@
 '''Примечание:''' Нулевой граф <tex>O_{n}</tex> также можно обозначать <tex>\overline{K_{n}}</tex> (дополнительный граф для полного графа <tex>K_{n}</tex>).
 === Хроматический многочлен дерева ===
 {{Определение

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Определение
-|definition=Пусть дан фиксированный граф <tex>G</tex> и фиксированное число красок <tex>x</tex>. Количество способов правильной <tex>x</tex> — раскраски графа <tex>G</tex> называется '''хроматическим многочленом''' ('''chromatic polynomial'''). Обозначение: <tex>P(G,x)</tex>.
+|definition=Пусть дан фиксированный граф <tex>G</tex> и фиксированное число красок <tex>x</tex>. Количество способов правильной <tex>x</tex> — [[Раскраска графа|раскраски графа]] <tex>G</tex> называется '''хроматическим многочленом''' ('''chromatic polynomial'''). Обозначение: <tex>P(G,x)</tex>.
 }}
 == Примеры хроматических многочленов ==
 === Хроматический многочлен полного графа ===
-<tex>P(K_{n},x)=x(x-1)...(x-n+1)=x^{\underline{n}}</tex>, так как первую вершину полного графа <tex>K_{n}</tex> можно окрасить в любой из <tex>x</tex> цветов, вторую — в любой из оставшихся <tex>x-1</tex> цветов и т. д. Очевидно, что если <tex>x</tex> меньше <tex>n</tex>, то и многочлен равен <tex>0</tex>, так как один из его множителей <tex>0</tex>.<br />
+<tex>P(K_{n},x)=x(x-1)...(x-n+1)=x^{\underline{n}}</tex>, так как первую вершину полного графа <tex>K_{n}</tex> можно окрасить в любой из <tex>x</tex> цветов, вторую — в любой из оставшихся <tex>x-1</tex> цветов и т. д. Очевидно, что если <tex>x</tex> меньше <tex>n</tex>, то и многочлен равен <tex>0</tex>, так как один из его множителей <tex>0</tex>.
 === Хроматический многочлен нуль-графа ===
 {{Определение
 |definition='''Нуль-граф''' (пустой граф, вполне несвязный граф, null graph, empty graph, edgeless graph) — регулярный граф степени 0, т.е. граф без рёбер.}}
-<tex>P(O_{n},x)=x^{n}</tex>, так как каждую из <tex>n</tex> вершин нулевого графа <tex>O_{n}</tex> можно независимо окрасить в любой из <tex>x</tex> цветов.<br />
+<tex>P(O_{n},x)=x^{n}</tex>, так как каждую из <tex>n</tex> вершин нулевого графа <tex>O_{n}</tex> можно независимо окрасить в любой из <tex>x</tex> цветов.<br>
 '''Примечание:''' Нулевой граф <tex>O_{n}</tex> также можно обозначать <tex>\overline{K_{n}}</tex> (дополнительный граф для полного графа <tex>K_{n}</tex>).
@@ Строка 22: / Строка 22: @@
 Граф <tex>G</tex> с <tex>n</tex> вершинами является деревом тогда и только тогда, когда <tex>P(G,x)=x(x-1)^{n-1}</tex>.
 |proof=
-Сначала покажем, что хроматический многочлен любого дерева <tex>T</tex> с <tex>n</tex> вершинами есть <tex>x(x-1)^{n-1}</tex>.<br />
+Сначала покажем, что хроматический многочлен любого дерева <tex>T</tex> с <tex>n</tex> вершинами есть <tex>x(x-1)^{n-1}</tex>.
-Доказательство индукцией по числу <tex>n</tex>. Для <tex>n=1</tex> и <tex>n=2</tex> результат очевиден. Предположим, что <tex>P(T',x)=x(x-1)^{n-2}</tex> для любого дерева <tex>T'</tex> с количеством вершин равным <tex>n-1</tex>. Пусть <tex>uv</tex> — ребро дерева <tex>T</tex>, такое что <tex>v</tex> является висячей вершиной. Хроматический многочлен дерева <tex>T</tex> без ребра <tex>uv</tex> равен <tex>P(T/uv,x)=x(x-1)^{n-2}</tex> по нашему предположению. Вершину <tex>v</tex> можно окрасить <tex>x-1</tex> способом, так как её цвет должен только лишь отличаться от цвета вершины <tex>u</tex>. Итого: <tex>P(T,x)=(x-1)P(T/uv,x)=x(x-1)^{n-1}</tex>.<br /><br />
+Доказательство индукцией по числу <tex>n</tex>. Для <tex>n=1</tex> и <tex>n=2</tex> результат очевиден. Предположим, что <tex>P(T',x)=x(x-1)^{n-2}</tex> для любого дерева <tex>T'</tex> с количеством вершин равным <tex>n-1</tex>. Пусть <tex>uv</tex> — ребро дерева <tex>T</tex>, такое что <tex>v</tex> является висячей вершиной. Хроматический многочлен дерева <tex>T</tex> без ребра <tex>uv</tex> равен <tex>P(T/uv,x)=x(x-1)^{n-2}</tex> по нашему предположению. Вершину <tex>v</tex> можно окрасить <tex>x-1</tex> способом, так как её цвет должен только лишь отличаться от цвета вершины <tex>u</tex>. Итого: <tex>P(T,x)=(x-1)P(T/uv,x)=x(x-1)^{n-1}</tex>.
-Обратно, пусть <tex>G</tex> — граф, у которого <tex>P(G,x)=x(x-1)^{n-1}</tex>. Тогда верны два следующих утверждения:<br />
+Обратно, пусть <tex>G</tex> — граф, у которого <tex>P(G,x)=x(x-1)^{n-1}</tex>. Тогда верны два следующих утверждения:
-. Граф <tex>G</tex> связен, потому что если было бы две компоненты связности (или больше), то <tex>P(G,x)</tex> делился бы на <tex>x^2</tex> без остатка.<br />
+<ol>
-. В графе <tex>G</tex> количество рёбер равно <tex>n-1</tex>, так как по одной из теорем о коэффициентах хроматического многочлена ([[Хроматический многочлен#Коэффициенты хроматического многочлена|Коэффициенты хроматического многочлена]], теорема 4), количество рёбер в графе соответствует коэффициенту при <tex>x^{n-1}</tex>, взятому со знаком минус. В нашем случае, этот коэффициент удобно искать, используя бином Ньютона:<br />
+    <li>Граф <tex>G</tex> связен, потому что если было бы две компоненты связности (или больше), то <tex>P(G,x)</tex> делился бы на <tex>x^2</tex> без остатка.<br /></li>
-<tex>{P(G,x)=x(x-1)^{n-1}=x\left(x^{n-1}-{n-1 \choose 1}x^{n-2}+{n-1 \choose 2}x^{n-3}-...+(-1)^{n-1}\right)=x^{n}-(n-1)x^{n-1}+...+(-1)^{n-1}x}</tex><br />
+    <li>В графе <tex>G</tex> количество рёбер равно <tex>n-1</tex>, так как по одной из теорем о коэффициентах хроматического многочлена ([[Хроматический многочлен#Коэффициенты хроматического многочлена|Коэффициенты хроматического многочлена]], теорема 4), количество рёбер в графе соответствует коэффициенту при <tex>x^{n-1}</tex>, взятому со знаком минус. В нашем случае, этот коэффициент удобно искать, используя бином Ньютона:<br />
 Из этих двух утверждений (связность и <tex>n-1</tex> ребро) следует, что граф <tex>G</tex> является деревом (см. [[Дерево, эквивалентные определения]], утверждения 1 и 3).
 }}

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Определение
-|definition=Пусть дан фиксированный граф <tex>G</tex> и фиксированное число красок <tex>x</tex>. Количество способов правильной <tex>x</tex>-раскраски графа <tex>G</tex> называется '''хроматическим многочленом''' ('''chromatic polynomial'''). Обозначение: <tex>P(G,x)</tex>.
+|definition=Пусть дан фиксированный граф <tex>G</tex> и фиксированное число красок <tex>x</tex>. Количество способов правильной <tex>x</tex> — раскраски графа <tex>G</tex> называется '''хроматическим многочленом''' ('''chromatic polynomial'''). Обозначение: <tex>P(G,x)</tex>.
 }}
@@ Строка 91: / Строка 91: @@
 <tex>{P(G,x)=x^{n+1}-a_{1}x^{n}+a_{2}x^{n-1}-a_{3}x^{n-2}+\ldots}</tex> ,<br/>
 <tex>{P(G_{2},x)=x^{n}-b_{1}x^{n-1}+b_{2}x^{n-2}+\ldots}</tex> ,<br/>
-где <tex>a_{1}</tex>, <tex>a_{2}</tex>, …, <tex>a_{n+1}</tex>, <tex>b_{1}</tex>, <tex>b_{2}</tex>, …, <tex>b_{n}</tex> — некоторые неотрицательные целые числа. Из этих равенств получаем:<br/>
+где <tex>a_{1}</tex>, <tex>a_{2}</tex> … <tex>a_{n+1}</tex>, <tex>b_{1}</tex>, <tex>b_{2}</tex> … <tex>b_{n}</tex> — некоторые неотрицательные целые числа. Из этих равенств получаем:<br/>
 <tex>P(G_{1},x)=x^{n+1}-(a_{1}+1)x^{n}+(a_{2}+b_{1})x^{n-1}+\ldots</tex>.
 Видно, что в этом полученном полиноме коэффициенты составляют знакопеременную последовательность.
@@ Строка 106: / Строка 106: @@
 == Литература ==
-. Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы: Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. - СПб.: Издательство "Лань", 2010. - 368 с.: ил. - (Учебники для вузов. Специальная литература). '''ISBN 978-5-8114-1068-2'''<br />
+* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы: Учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. - СПб.: Издательство "Лань", 2010. - 368 с.: ил. - (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 978-5-8114-1068-2
-. Харари Ф. - Теория графов: Изд. 4-е. - М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. - 296 с. '''ISBN 978-5-397-00622-4'''
+* Харари Ф. — Теория графов: Изд. 4-е. - М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. - 296 с. ISBN 978-5-397-00622-4
 [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 [[Категория: Раскраски графов]]