Определение интеграла Лебега - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:19:08Z

rollbackEdits.php mass rollback

171.25.193.80 в 05:29, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:29:00Z

Sementry в 16:14, 24 июня 2012

2012-06-24T16:14:01Z

Sementry: /* Сравнение с интегралом Римана */ опечатка

2012-01-09T22:30:11Z

‎Сравнение с интегралом Римана: опечатка

192.168.0.2 в 19:34, 9 января 2012

2012-01-09T19:34:29Z

Dgerasimov в 19:03, 9 января 2012

2012-01-09T19:03:29Z

192.168.0.2 в 18:46, 8 января 2012

2012-01-08T18:46:45Z

Dgerasimov в 17:16, 8 января 2012

2012-01-08T17:16:24Z

Sementry: убрал недочеты

2012-01-07T21:40:03Z

убрал недочеты

Внесённые изменения

Dgerasimov в 20:33, 1 января 2012

2012-01-01T20:33:29Z

← Предыдущая		Версия 16:19, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	[[Математический_анализ_2_курс\|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега\|>>]]		[[Математический_анализ_2_курс\|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега\|>>]]

← Предыдущая		Версия 05:29, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	[[Математический_анализ_2_курс\|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега\|>>]]		[[Математический_анализ_2_курс\|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега\|>>]]

← Предыдущая		Версия 16:14, 24 июня 2012
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{{В разработке}}~~
−
	[[Математический_анализ_2_курс\|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега\|>>]]		[[Математический_анализ_2_курс\|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега\|>>]]

@@ Строка 101: / Строка 101: @@
 С другой стороны, <tex>f(x) = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}, f \notin \mathcal{R}(0; 1)</tex>
-С другой стороны, она кусочно-постоянная на оси. <tex>\mathbb{Q}</tex>{{---}} измеримое по Лебегу, ибо счётно. Значит, <tex>f</tex>{{---}} измеримо на всей оси, а значит, и на <tex>[0; 1]</tex>. Тогда по доказанному выше(намного выше <tex>\smile</tex>) теореме, она интегрируема по Лебегу на <tex>[0; 1]</tex>. Однако, по Риману она не интегрируема. Выходит, на вещественной оси интеграл Лебега {{---}} распространение интеграла Римана.
+С другой стороны, она кусочно-постоянная на оси. <tex>\mathbb{Q}</tex>{{---}} измеримое по Лебегу, ибо счётно. Значит, <tex>f</tex>{{---}} измеримо на всей оси, а значит, и на <tex>[0; 1]</tex>. Тогда по доказанной выше(намного выше <tex>\smile</tex>) теореме, она интегрируема по Лебегу на <tex>[0; 1]</tex>. Однако, по Риману она не интегрируема. Выходит, на вещественной оси интеграл Лебега {{---}} распространение интеграла Римана.
 [[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|>>]]
 [[Категория:Математический анализ 2 курс]]

@@ Строка 50: / Строка 50: @@
 <tex>y_k = -M + \frac{2M}nk</tex>, <tex>k = 0..n</tex>
-<tex>e_k = E(y_k \leq f(x) \leq y_{k+1})</tex>. В силу измеримости <tex>f</tex>, эти множества измеримы.
+<tex>e_k = E(y_k \leq f(x) < y_{k+1})</tex>. В силу измеримости <tex>f</tex>, эти множества измеримы.
 <tex>-M \leq f(x)\leq M</tex>,

@@ Строка 33: / Строка 33: @@
 . <tex>\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
 |proof=
-Доказательство свойств сумм Лебега-Дарбу аналогично доказательству свойств Дарбу из первого семестра курса матанализа.
+Доказательство свойств сумм Лебега-Дарбу аналогично доказательству свойств Дарбу из первого семестра курса матанализа. [[Критерий существования определённого интеграла#Суммы Дарбу]]
 {{TODO|t=Наверно, надо добавить их сюда.}}
 }}

@@ Строка 53: / Строка 53: @@
 <tex>-M \leq f(x)\leq M</tex>,
-<tex>E = \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} E_k</tex> — дизъюнктны.
+<tex>E = \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} e_k</tex> — дизъюнктны.
 Итак, мы получили разбиение <tex>E</tex>. Теперь убедимся, что пределы сумм Лебега-Дарбу на нем совпадают:
@@ Строка 88: / Строка 88: @@
 Имея теперь разбиение отрезка точками, создадим на его базе разбиение отрезка на попарно дизъюнктные множества:
-<tex>\{[x_0; x_1), [x_1; x_2), \ldots, [x_n-1; x_n), \{x_n\}\}</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a;b]</tex> на попарно дизъюнктные измеримые по Лебегу множества.
+<tex>\{[x_0; x_1), [x_1; x_2), \ldots, [x_{n-1}; x_n), \{x_n\}\}</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a;b]</tex> на попарно дизъюнктные измеримые по Лебегу множества.
 Значит, так как <tex>\inf\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x) \leq \inf\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x)</tex>, <tex>\sup\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x) \leq \sup\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x)</tex> и <tex>\lambda \{x_n\} = 0</tex>, приходим к неравенствам

@@ Строка 10: / Строка 10: @@
 Разобьём <tex>E</tex> на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей:
-<tex>E = \bigcup\limits_{p=1}^\infty e_p</tex> {{---}} дизъюнктные и измеримые. <tex>\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}</tex> {{---}} разбиение.
+<tex>E = \bigcup\limits_{p=1}^n e_p</tex> {{---}} дизъюнктные и измеримые. <tex>\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}</tex> {{---}} разбиение.
 {{Утверждение

@@ Строка 46: / Строка 46: @@
 <tex>y_k = -M + \frac{2M}nk</tex>, <tex>k = 0..n</tex>
-<tex>e_k = E(y_k \leq f(x) \leq y_{k+1})</tex>. В силу измеримости <tex>f</tex> {{---}} это измеримое множество, так как, <tex>-M \leq f(x)\leq M</tex>, <tex>E = \bigcap\limits_{k=0}^{n-1} E_k</tex>, все дизъюнктны.
+<tex>e_k = E(y_k \leq f(x) \leq y_{k+1})</tex>. В силу измеримости <tex>f</tex> {{---}} это измеримое множество, так как, <tex>-M \leq f(x)\leq M</tex>, <tex>E = \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} E_k</tex>, все дизъюнктны.
 Итак, мы получили разбиение <tex>E</tex>
@@ Строка 52: / Строка 52: @@
 <tex>m_k = \inf\limits_{x\in e_k}f(x) > y_k</tex>, <tex>M_k = \sup\limits_{x \in e_k}f(x) \leq y_{k+1}</tex>
-<tex>\mu e_k \geq 0</tex>. <tex>\sum\limits_{k=0}^{n-1}y_k \mu e_k \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq overline{s}(\tau) \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}y_{k+1}\mu e_k</tex>
+<tex>\mu e_k \geq 0</tex>. <tex>\sum\limits_{k=0}^{n-1}y_k \mu e_k \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}y_{k+1}\mu e_k</tex>
 <tex>0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}(y_{k+1} - y_k) \mu e_k = \frac{2M}n \sum\limits_{k=0}^{n-1}\mu e_k = \frac{2M}n\mu E</tex>