Основная теорема арифметики - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:28:18Z

rollbackEdits.php mass rollback

80.82.78.13 в 04:39, 1 сентября 2022

2022-09-01T04:39:17Z

176.97.38.70 в 07:36, 18 апреля 2021

2021-04-18T07:36:09Z

213.87.242.44: /* Лемма Евклида */

2021-03-10T14:52:46Z

‎Лемма Евклида

109.187.242.40: иначе происходит эксплуатация ещё не доказанной теореммы в предложении 4 абзаца про существование

2019-11-19T18:04:52Z

иначе происходит эксплуатация ещё не доказанной теореммы в предложении 4 абзаца про существование

Senya: /* Основная теорема арифметики */

2018-06-02T07:28:22Z

‎Основная теорема арифметики

Senya: /* Основная теорема арифметики */

2018-06-02T07:27:07Z

‎Основная теорема арифметики

Senya в 07:38, 12 мая 2018

2018-05-12T07:38:09Z

Senya: /* Собственно теорема */

2018-05-10T22:40:46Z

‎Собственно теорема

Mamoshkin.Arseny: /* Собственно теорема */

2011-05-28T17:50:54Z

‎Собственно теорема

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==Лемма Евклида==
@@ Строка 27: / Строка 6: @@
 Если простое число <tex>p</tex> делит без остатка произведение двух целых чисел <tex>x\cdot y</tex>, то <tex>p</tex> делит <tex>x</tex> или <tex>y</tex>.
 |proof=
-Пусть <tex>x\cdot y</tex> делится на <tex>p</tex>, но <tex>x</tex> не делится на <tex>p</tex>. Тогда <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что
+Пусть <tex>x\cdot y</tex> делится на <tex>p</tex>, но <tex>x</tex> не делится на <tex>p</tex>. Тогда <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что
 : <tex>x\cdot u+p\cdot v=1</tex> ([[Наибольший общий делитель|соотношение Безу]]).
 Умножая обе части на <tex>y</tex>, получаем
@@ Строка 39: / Строка 18: @@
 |id=th666
 |statement=
-Каждое натуральное число <tex>n>1</tex> представляется в виде <tex>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</tex>, где <tex>p_1,\dots,p_k</tex> — [[простые числа]], причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
+Каждое натуральное число <tex>n>1</tex> представляется в виде <tex>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</tex>, где <tex>p_1,\dots,p_k</tex> — [[простые числа]], причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
 |proof=
-'''Существование'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, меньшего <tex>n</tex>. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <tex>n</tex> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел (уже доказано ранее), значит, <tex>n</tex> тоже является произведением простых чисел. Противоречие.
+'''Существование'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, меньшего <tex>n</tex>. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <tex>n</tex> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел (уже доказано ранее), значит, <tex>n</tex> тоже является произведением простых чисел. Противоречие.
-'''Единственность'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <tex>p</tex> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <tex>p</tex> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <tex>p</tex> и получить два разных разложения числа <tex>\dfrac{n}{p}</tex>, что невозможно. А если <tex>p</tex> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <tex>p</tex>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
+'''Единственность'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <tex>p</tex> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <tex>p</tex> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <tex>p</tex> и получить два разных разложения числа <tex>\dfrac{n}{p}</tex>, что невозможно. А если <tex>p</tex> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <tex>p</tex>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
 }}
 [[Категория: Классы чисел]]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==Лемма Евклида==
@@ Строка 6: / Строка 27: @@
 Если простое число <tex>p</tex> делит без остатка произведение двух целых чисел <tex>x\cdot y</tex>, то <tex>p</tex> делит <tex>x</tex> или <tex>y</tex>.
 |proof=
-Пусть <tex>x\cdot y</tex> делится на <tex>p</tex>, но <tex>x</tex> не делится на <tex>p</tex>. Тогда <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что
+Пусть <tex>x\cdot y</tex> делится на <tex>p</tex>, но <tex>x</tex> не делится на <tex>p</tex>. Тогда <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что
 : <tex>x\cdot u+p\cdot v=1</tex> ([[Наибольший общий делитель|соотношение Безу]]).
 Умножая обе части на <tex>y</tex>, получаем
@@ Строка 18: / Строка 39: @@
 |id=th666
 |statement=
-Каждое натуральное число <tex>n>1</tex> представляется в виде <tex>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</tex>, где <tex>p_1,\dots,p_k</tex> — [[простые числа]], причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
+Каждое натуральное число <tex>n>1</tex> представляется в виде <tex>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</tex>, где <tex>p_1,\dots,p_k</tex> — [[простые числа]], причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
 |proof=
-'''Существование'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, меньшего <tex>n</tex>. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <tex>n</tex> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел (уже доказано ранее), значит, <tex>n</tex> тоже является произведением простых чисел. Противоречие.
+'''Существование'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, меньшего <tex>n</tex>. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <tex>n</tex> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел (уже доказано ранее), значит, <tex>n</tex> тоже является произведением простых чисел. Противоречие.
-'''Единственность'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <tex>p</tex> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <tex>p</tex> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <tex>p</tex> и получить два разных разложения числа <tex>\dfrac{n}{p}</tex>, что невозможно. А если <tex>p</tex> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <tex>p</tex>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
+'''Единственность'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <tex>p</tex> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <tex>p</tex> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <tex>p</tex> и получить два разных разложения числа <tex>\dfrac{n}{p}</tex>, что невозможно. А если <tex>p</tex> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <tex>p</tex>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
 }}
 [[Категория: Классы чисел]]

@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 Если простое число <tex>p</tex> делит без остатка произведение двух целых чисел <tex>x\cdot y</tex>, то <tex>p</tex> делит <tex>x</tex> или <tex>y</tex>.
 |proof=
-Пусть <tex>x\cdot y</tex> делится на <tex>p</tex>, но <tex>x</tex> не делится на <tex>p</tex>. Тогда <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — взаимно простые, следовательно, найдутся ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408такие целые числа <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что
+Пусть <tex>x\cdot y</tex> делится на <tex>p</tex>, но <tex>x</tex> не делится на <tex>p</tex>. Тогда <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что
 : <tex>x\cdot u+p\cdot v=1</tex> ([[Наибольший общий делитель|соотношение Безу]]).
 Умножая обе части на <tex>y</tex>, получаем
 : <tex>(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.</tex>
-Оба ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408слагаемых левой части делятся на <tex>p</tex>, значит, и правая часть делится на <tex>p</tex>, ч.т.д.
+Оба слагаемых левой части делятся на <tex>p</tex>, значит, и правая часть делится на <tex>p</tex>, ч.т.д.
 }}

@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 Если простое число <tex>p</tex> делит без остатка произведение двух целых чисел <tex>x\cdot y</tex>, то <tex>p</tex> делит <tex>x</tex> или <tex>y</tex>.
 |proof=
-Пусть <tex>x\cdot y</tex> делится на <tex>p</tex>, но <tex>x</tex> не делится на <tex>p</tex>. Тогда <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что
+Пусть <tex>x\cdot y</tex> делится на <tex>p</tex>, но <tex>x</tex> не делится на <tex>p</tex>. Тогда <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — взаимно простые, следовательно, найдутся ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408такие целые числа <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что
 : <tex>x\cdot u+p\cdot v=1</tex> ([[Наибольший общий делитель|соотношение Безу]]).
 Умножая обе части на <tex>y</tex>, получаем
 : <tex>(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.</tex>
-Оба слагаемых левой части делятся на <tex>p</tex>, значит, и правая часть делится на <tex>p</tex>, ч.т.д.
+Оба ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408слагаемых левой части делятся на <tex>p</tex>, значит, и правая часть делится на <tex>p</tex>, ч.т.д.
 }}

@@ Строка 20: / Строка 20: @@
 Каждое натуральное число <tex>n>1</tex> представляется в виде <tex>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</tex>, где <tex>p_1,\dots,p_k</tex> — [[простые числа]], причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
 |proof=
-'''Существование'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <tex>n</tex> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, <tex>n</tex> тоже является произведением простых чисел. Противоречие.
+'''Существование'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, меньшего <tex>n</tex>. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <tex>n</tex> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел (уже доказано ранее), значит, <tex>n</tex> тоже является произведением простых чисел. Противоречие.
 '''Единственность'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <tex>p</tex> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <tex>p</tex> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <tex>p</tex> и получить два разных разложения числа <tex>\dfrac{n}{p}</tex>, что невозможно. А если <tex>p</tex> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <tex>p</tex>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.

@@ Строка 22: / Строка 22: @@
 '''Существование'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <tex>n</tex> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, <tex>n</tex> тоже является произведением простых чисел. Противоречие.
-'''Единственность'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <tex>p</tex> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <tex>p</tex> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <tex>p</tex> и получить два разных разложения числа <tex>n/p</tex>, что невозможно. А если <tex>p</tex> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <tex>p</tex>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
+'''Единственность'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <tex>p</tex> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <tex>p</tex> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <tex>p</tex> и получить два разных разложения числа <tex>\dfrac{n, p}</tex>, что невозможно. А если <tex>p</tex> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <tex>p</tex>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
 }}
 [[Категория: Классы чисел]]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-==Основная теорема арифметики==
+==Лемма Евклида==
 {{Лемма
@@ Строка 15: / Строка 13: @@
 }}
-===Основная теорема арифметики===
+==Основная теорема арифметики==
 {{Теорема