Парадоксы теории вероятностей - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:15:20Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.220.102.8 в 05:53, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:53:41Z

185.218.109.28: /* исправление неточности */

2021-02-16T13:50:44Z

‎исправление неточности

Mervap в 22:59, 5 марта 2018

2018-03-05T22:59:12Z

Mervap в 20:58, 4 марта 2018

2018-03-04T20:58:29Z

Mervap: Fix ticket

2018-03-04T20:57:43Z

Fix ticket

Внесённые изменения

Андрей в 09:45, 15 января 2015

2015-01-15T09:45:24Z

188.227.78.59 в 09:30, 15 января 2015

2015-01-15T09:30:48Z

188.227.78.59 в 09:21, 15 января 2015

2015-01-15T09:21:28Z

Андрей в 21:33, 14 января 2015

2015-01-14T21:33:03Z

Внесённые изменения

← Предыдущая		Версия 16:15, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	В теории вероятностей существует несколько задач, решение которых, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Такие задачи называют парадоксами.		В теории вероятностей существует несколько задач, решение которых, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Такие задачи называют парадоксами.

← Предыдущая		Версия 05:53, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	В теории вероятностей существует несколько задач, решение которых, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Такие задачи называют парадоксами.		В теории вероятностей существует несколько задач, решение которых, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Такие задачи называют парадоксами.

@@ Строка 82: / Строка 82: @@
 Таким образом, мы видим, что при любом первоначальном выборе, вероятность выиграть, если не менять решения {{---}} <tex>\dfrac{1}{3}  </tex>, а если поменять {{---}} <tex>\dfrac{2}{3}  </tex>, что противоречит интуитивному пониманию данного вопроса.
-Другими словами, если игрок не меняет решения, то он проиграет в том и только в том случае, если первоначально выбрал дверь за которой автомобиль, а вероятность выбрать автомобиль первоначально составляет <tex>\dfrac{1}{3}  </tex>.
+Другими словами, если игрок меняет решение, то он проиграет в том и только в том случае, если первоначально выбрал дверь за которой автомобиль, а вероятность выбрать автомобиль первоначально составляет <tex>\dfrac{1}{3}  </tex>.
 == Санкт-Петербургский парадокс (St. Petersburg paradox) ==

@@ Строка 9: / Строка 9: @@
 Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги.
 После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают
-следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму <tex>X</tex>. Если <tex>X = 1</tex>, то менять точно выгодно. Если <tex>X</tex> другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <tex> 2X </tex> или <tex> \dfrac{X}{2}</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex dpi="80"> \dfrac{(2X + \dfrac{X}{2})}{2} = \dfrac{5}{4} X </tex>. То есть больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?
+следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму <tex>X</tex>. Если <tex>X = 1</tex>, то менять точно выгодно. Если <tex>X</tex> другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <tex> 2 \cdot X </tex> или <tex> \dfrac{X}{2}</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex dpi="80"> \dfrac{(2 \cdot  X + \dfrac{X}{2})}{2} = \dfrac{5}{4} \cdot  X </tex>. То есть больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?
-В данном рассуждении ошибка кроется в предположении о том, что в другом конверте может ''равновероятно'' находится <tex> 2X </tex> или <tex> \dfrac{X}{2}</tex>. В действительности этого не может быть.
+В данном рассуждении ошибка кроется в предположении о том, что в другом конверте может ''равновероятно'' находится <tex> 2 \cdot  X </tex> или <tex> \dfrac{X}{2}</tex>. В действительности этого не может быть.
 Предположим от противного, что существует вероятностное распределение <tex>p(x)</tex>, определенное на степенях двойки так, что <tex>p(2^{x_1})</tex> {{---}} вероятность того, что в конвертах будут записаны <tex>2^{x_1}</tex> и <tex>2^{x_1 + 1}</tex>, причем значения этой функции на соседних степенях равны.
-Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях, т.е. <tex>p(x)</tex> постоянна. Но <tex> \sum_{i=1}^\infty p(2^i) = 1</tex> (т.к это вероятностное распределение) {{---}} противоречие.
+Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях, то есть <tex>p(x)</tex> постоянна. Но <tex> \sum\limits_{i=1}^\infty p(2^i) = 1</tex> (так как это вероятностное распределение) {{---}} противоречие.
 Также есть формулировка парадокса, обходящая данное доказательство.
@@ Строка 24: / Строка 24: @@
 * вероятность выпадения <tex>1</tex> и <tex>2</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q)</tex>
-* вероятность выпадения <tex>2</tex> и <tex>4</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q)q</tex>
+* вероятность выпадения <tex>2</tex> и <tex>4</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q) \cdot  q</tex>
-* вероятность выпадения <tex>4</tex> и <tex>8</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q)q^2</tex>
+* вероятность выпадения <tex>4</tex> и <tex>8</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q) \cdot  q^2</tex>
-* вероятность выпадения <tex>2^i</tex> и <tex>2^{i+1}</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q)q^i</tex>
+* вероятность выпадения <tex>2^i</tex> и <tex>2^{i+1}</tex> в конвертах {{---}} <tex>(1-q) \cdot  q^i</tex>
 * и так далее.
@@ Строка 36: / Строка 36: @@
 Итак, пусть нам дали конверт с суммой <tex>2^i</tex>. тогда вероятность того, что в другом конверте <tex>2^{i-1}</tex> {{---}} <tex> \dfrac{1}{1+q} </tex>, а того, что в другом конверте <tex>2^{i+1}</tex> {{---}} <tex>\dfrac{q}{1+q} </tex>
-Тогда "в среднем" при обмене мы будем получать <tex>\left ( 2^{i-1} \cdot \dfrac{1}{1+q} + 2^{i+1} \cdot \dfrac{q}{1+q} \right ) = 2^i \cdot \left ( \dfrac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) </tex>.
+Тогда "в среднем" при обмене мы будем получать <tex>\left ( 2^{i-1} \cdot \dfrac{1}{1+q} + 2^{i+1} \cdot \dfrac{q}{1+q} \right ) = 2^i \cdot \left ( \dfrac{1 + 4 \cdot q}{2 + 2 \cdot q} \right ) </tex>.
 При <tex>q > \dfrac{1}{2}</tex> последняя скобка больше единицы. Таким образом "в среднем" мы получим больше, чем <tex>2^i</tex>. Такое же рассуждение справедливо для обоих игроков. В чем же тут ошибка рассуждения?
@@ Строка 43: / Строка 43: @@
 Рассчитаем математическое ожидание выигрыша, если мы не будем менять конверты.
-<tex>E = \dfrac{1 - q}{2} \cdot 1 + \sum_{i=1}^{\infty} \left ( 2^i \cdot \dfrac{(1 - q)q^{i-1} + (1-q)q^i }{2} \right ) = \dfrac{(1 - q)}{2} + (1 - q^2) \sum_{i=0}^{\infty} \left ( 2q \right )^i</tex>, а так как <tex>q > \dfrac{1}{2}</tex>, то под знаком суммирования стоит возрастающая геометрическая прогрессия, тогда <tex>E = \infty</tex>.
+<tex>E = \dfrac{1 - q}{2} \cdot 1 + \sum\limits_{i=1}^{\infty} \left ( 2^i \cdot \dfrac{(1 - q) \cdot q^{i-1} + (1-q) \cdot  q^i }{2} \right ) = \dfrac{1 - q}{2} + (1 - q^2)\cdot  \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left ( 2 \cdot  q \right )^i</tex>, а так как <tex>q > \dfrac{1}{2}</tex>, то под знаком суммирования стоит возрастающая геометрическая прогрессия, тогда <tex>E = \infty</tex>.
-А в равенстве <tex> \infty = \infty \cdot \left ( \dfrac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) </tex> ошибки нет.
+А в равенстве <tex> \infty = \infty \cdot \left ( \dfrac{1 + 4 \cdot  q}{2 + 2 \cdot q} \right ) </tex> ошибки нет.
 == Парадокс Монти Холла (Monty Hall problem) ==
@@ Строка 54: / Строка 54: @@
 === Решение ===
 После того, как ведущий открыл одну из дверей с козой, автомобиль может быть либо за выбранной первоначально дверью, либо за оставшейся. С житейской точки зрения, вероятность выигрыша не зависит от первоначального выбора, при любом поведении одинакова и равна <tex>0,5</tex>. Однако, такой ход рассуждений неверен.
-Предположим, что мы выбрали дверь №<tex>1</tex>.
+Предположим, что мы выбрали дверь номер <tex>1</tex>.
-Пусть событие <tex>A</tex> {{---}} автомобиль за дверью №<tex>2</tex>. <tex>B</tex> {{---}} автомобиль за дверью №<tex> 3</tex>.
+Пусть событие <tex>A</tex> {{---}} автомобиль за дверью номер <tex>2</tex>. <tex>B</tex> {{---}} автомобиль за дверью номер <tex> 3</tex>.
 <tex>P(A) =\dfrac{2}{3}  \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}; P(B) = \dfrac{2}{3}  \cdot \dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{3}</tex>, где <tex>\dfrac{1}{2}</tex> {{---}} условная вероятность нахождения автомобиля именно за данной дверью при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.
 Ведущий, открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную, сообщает тем самым игроку ровно <tex>1</tex> бит информации и меняет условные вероятности для <tex>B</tex> и <tex>C</tex> соответственно на <tex>"1"</tex> и <tex>"0"</tex>.
@@ Строка 101: / Строка 101: @@
 <tex> E_{2} = 2 \cdot \dfrac{1}{4}  = 0,5</tex>;
-...
+<tex>\ldots</tex>
 <tex> E_{n} = \dfrac{2^{n-1}}{2^n}  = 0,5</tex>;
-Согласно линейности математического ожидания, ожидание выигрыша в этом случае равно <tex>E_{1}+E_{1}+... = 0,5+0,5+0,5 = \infty </tex><br>
+Согласно линейности математического ожидания, ожидание выигрыша в этом случае равно <tex>E_{1}+E_{1}+ \ldots = 0,5+0,5+0,5 = \infty </tex><br>
 Данный парадокс до сих пор не имеет математически полного решения. Нетрудно заметить, что задача легко решается если наложить ограничения на количество игр и предельно малую вероятность, которую можно считать ненулевой.
@@ Строка 113: / Строка 113: @@
 Пусть <tex>p</tex> {{---}} предельная ненулевая вероятность. То есть, если событие имеет вероятность меньше, чем <tex>p</tex>, то оно не произойдёт никогда. Тогда «реальное» количество бросков не превышает <tex>\log_2 \dfrac{k}{p}</tex>. При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:
-<tex>1 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{4}+...+2^{n} \cdot \dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{n}{2},</tex> где <tex>n=\log_2 \dfrac{k}{p}.</tex>
+<tex>1 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{4}+ \ldots +2^{n} \cdot \dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{n}{2},</tex> где <tex>n=\log_2 \dfrac{k}{p}.</tex>
-Таким образом, средний выигрыш равен <tex>\dfrac{1}{2} \log_2 \dfrac{k}{p}.</tex>
+Таким образом, средний выигрыш равен <tex>\dfrac{1}{2} \cdot  \log_2 \dfrac{k}{p}.</tex>
 == Парадокс спящей красавицы (Sleeping Beauty problem) ==
@@ Строка 128: / Строка 128: @@
 '''Решение 2.'''
-Проведём эксперимент <tex>1000</tex> раз. Спящую красавицу будят в среднем <tex>500</tex> раз с орлом и <tex>1000</tex> раз с решкой (т.к. в случае решки спящую красавицу спрашивают <tex>2</tex> раза). Поэтому вероятность решки <tex>\dfrac{2}{3}</tex>.
+Проведём эксперимент <tex>1000</tex> раз. Спящую красавицу будят в среднем <tex>500</tex> раз с орлом и <tex>1000</tex> раз с решкой (так как в случае решки спящую красавицу спрашивают <tex>2</tex> раза). Поэтому вероятность решки <tex>\dfrac{2}{3}</tex>.
 === Решение ===
 <tex>\dfrac{1}{2}</tex> {{---}} это вероятность решки при всей известной Красавице информации. Вероятностное пространство здесь таково: первый день, орёл {{---}} <tex>\dfrac{1}{2}</tex>; первый день, решка {{---}} <tex>\dfrac{1}{4}</tex>; второй день, решка {{---}} <tex>\dfrac{1}{4}</tex>.

@@ Строка 137: / Строка 137: @@
 *[[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]]
 *[[Дискретная случайная величина]]
-*[[Математическое ожидание случайной величины]
+*[[Математическое ожидание случайной величины]]
 == Источники информации ==

@@ Строка 9: / Строка 9: @@
 Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги.
 После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают
-следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму <tex dpi="130">X</tex>. Если <tex dpi="130">X = 1</tex>, то менять точно выгодно. если <tex dpi="130">X</tex> другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <tex dpi="130"> 2X </tex> или <tex dpi="120"> X \over 2</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex dpi="150"> \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X </tex>, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?
+следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму <tex dpi="130">X</tex>. Если <tex dpi="130">X = 1</tex>, то менять точно выгодно. если <tex dpi="130">X</tex> другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <tex dpi="130"> 2X </tex> или <tex dpi="150"> X \over 2</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex dpi="150"> \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X </tex>, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?
 В данном рассуждении ошибка кроется в предположении о том, что в другом конверте может ''равновероятно'' находится <tex dpi="130"> 2X </tex> или <tex dpi="150"> X \over 2</tex>. В действительности этого не может быть.
@@ Строка 55: / Строка 55: @@
 После того, как ведущий открыл одну из дверей с козой, автомобиль может быть либо за выбранной первоначально дверью, либо за оставшейся. С житейской точки зрения, вероятность выигрыша не зависит от первоначального выбора, при любом поведении одинакова и равна <tex>0,5</tex>. Однако, такой ход рассуждений неверен.
 Предположим, что мы выбрали дверь №<tex>1</tex>.
-Пусть событие <tex dpi="130">A</tex> — автомобиль за дверью №<tex>2</tex>. <tex dpi="130">B</tex> — автомобиль за дверью №3.
+Пусть событие <tex dpi="130">A</tex> — автомобиль за дверью №<tex>2</tex>. <tex dpi="130">B</tex> — автомобиль за дверью №<tex>3</tex>.
 <tex dpi="150">P(A) =\frac{2}{3}  \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}; P(B) = \frac{2}{3}  \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{3}</tex>, где <tex dpi="150">\frac{1}{2}</tex> — условная вероятность нахождения автомобиля именно за данной дверью при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.
 Ведущий, открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную, сообщает тем самым игроку ровно <tex>1</tex> бит информации и меняет условные вероятности для <tex dpi="130">B</tex> и <tex dpi="130">C</tex> соответственно на <tex>"1"</tex> и <tex>"0"</tex>.
@@ Строка 111: / Строка 111: @@
 Известно, что <tex dpi="150">\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{1-(1-\frac{1}{2^{n}})^{k}} = \frac{k}{2^{n}}</tex> (теорема Бернулли).
-Пусть <tex dpi="130">p</tex> — предельная ненулевая вероятность, событие, имеющее вероятность меньше некоторого <tex>p</tex>, не произойдёт никогда. Тогда «реальное» количество бросков не превышает <tex dpi="150">\log_2 \frac{k}{p}</tex>. При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:
+Пусть <tex dpi="130">p</tex> — предельная ненулевая вероятность. То есть, если событие имеет вероятность меньше, чем <tex>p</tex>, то оно не произойдёт никогда. Тогда «реальное» количество бросков не превышает <tex dpi="150">\log_2 \frac{k}{p}</tex>. При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:
 <tex dpi="150">1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4}+...+2^{n} \cdot \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{n}{2},</tex> где <tex dpi="150">n=\log_2 \frac{k}{p}.</tex>

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 В теории вероятностей существует несколько задач, решение которых, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Такие задачи называют парадоксами.
-== Парадокс двух конвертов ==
+== Парадокс двух конвертов (Two envelopes problem)==
 ===Первая формулировка===
@@ Строка 47: / Строка 47: @@
 А в равенстве <tex dpi="150"> \infty = \infty \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) </tex> ошибки нет.
-== Парадокс Монти Холла ==
+== Парадокс Монти Холла (Monty Hall problem) ==
 === Формулировка ===
@@ Строка 84: / Строка 84: @@
 Другими словами, если игрок не меняет решения, то он проиграет в том и только в том случае, если первоначально выбрал дверь за которой автомобиль, а вероятность выбрать автомобиль первоначально составляет <tex dpi="150">\frac{1}{3}  </tex>.
-== Санкт-Петербургский парадокс ==
+== Санкт-Петербургский парадокс (St. Petersburg paradox) ==
 Иллюстрирует расхождение математического ожидания выигрыша и его житейской оценки.
@@ Строка 117: / Строка 117: @@
 Таким образом, средний выигрыш равен <tex dpi="150">\frac{1}{2} \log_2 \frac{k}{p}.</tex>
-== Парадокс спящей красавицы ==
+== Парадокс спящей красавицы (Sleeping Beauty problem) ==
 Парадокс представляет собой вероятностную задачу, которая имеет несколько различных, по-своему правильных ответов, и демонстрирует, как можно манипулировать статистикой.
 === Формулировка ===
@@ Строка 137: / Строка 137: @@
 * [http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Монти_Холла Википедия {{---}} Парадокс Монти Холла]
 * [http://ru.wikipedia.org/wiki/Санкт-Петербургский_парадокс Википедия {{---}} Санкт-Петербургский парадокс]
 * [http://sinset.com/ru/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2 Sinset.com {{---}} Парадокс двух конвертов]
 * [http://sergey-a.ru/paradox/Untitled-2.html Визуализатор парадокса Монти Холла]