Поиск k-ой порядковой статистики - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:43:37Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.220.100.241 в 03:19, 1 сентября 2022

2022-09-01T03:19:41Z

46.138.105.17: /* Описание алгоритма */

2020-01-24T06:03:07Z

‎Описание алгоритма

95.55.138.25: запятые

2019-10-14T19:38:14Z

запятые

95.55.170.68: /* Код алгоритма */

2019-03-10T22:01:29Z

‎Код алгоритма

NikitaMarkovnikov в 19:48, 12 мая 2014

2014-05-12T19:48:34Z

Shersh в 20:24, 1 мая 2014

2014-05-01T20:24:22Z

192.168.0.2: исправления

2011-05-17T17:47:49Z

исправления

192.168.0.2: /* Анализ времени работы */

2011-05-17T13:40:00Z

‎Анализ времени работы

192.168.0.2: /* Код алгоритма */

2011-05-14T17:48:21Z

‎Код алгоритма

← Предыдущая		Версия 16:43, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=

← Предыдущая		Версия 03:19, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=

@@ Строка 10: / Строка 10: @@
 * '''k = m'''. Порядковая статистика найдена.
-* '''k < m'''. Рекурсивно ищем <tex>k</tex>-ую статистику в первой половине массива.
+* '''k < m'''. Рекурсивно ищем <tex>k</tex>-ую статистику в первой части массива.
-* '''k > m'''. Рекурсивно ищем <tex>(k - m - 1)</tex>-ую статистику во второй половине массива.
+* '''k > m'''. Рекурсивно ищем <tex>(k - m - 1)</tex>-ую статистику во второй части массива.
 === Код алгоритма ===

@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 === Код алгоритма ===
-Ниже представлен код представленного алгоритма. При реализации, однако, вместо рекурсивных вызовов изменяются границы поиска статистики во внешнем цикле. В коде считаем, что процедура '''partition''' принимает массив и границы отрезка, который будет рассечён (причём правая граница отрезка не включается) и возвращает индекс опорного элемента. Также, считается, что массив индексируется с нуля.
+Ниже представлен код представленного алгоритма. При реализации, однако, вместо рекурсивных вызовов изменяются границы поиска статистики во внешнем цикле. В коде считаем, что процедура '''partition''' принимает массив и границы отрезка, который будет рассечён (причём правая граница отрезка не включается), и возвращает индекс опорного элемента. Также считается, что массив индексируется с нуля.
   '''int''' findOrderStatistic('''int[]''' array, '''int''' k) {

@@ Строка 29: / Строка 29: @@
+      }
       '''else''' {
         left = mid + 1;
+      }

@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 === Код алгоритма ===
-Ниже представлен код представленного алгоритма. При реализации, однако, вместо рекурсивных вызовов изменяются границы поиска статистики во внешнем цикле. В коде счититаем, что процедура '''partition''' принимает массив и границы отрезка, который будет рассечён (причём правая граница отрезка не включается) и возвращает индекс опорного элемента. Также, считается, что массив индексируется с нуля.
+Ниже представлен код представленного алгоритма. При реализации, однако, вместо рекурсивных вызовов изменяются границы поиска статистики во внешнем цикле. В коде считаем, что процедура '''partition''' принимает массив и границы отрезка, который будет рассечён (причём правая граница отрезка не включается) и возвращает индекс опорного элемента. Также, считается, что массив индексируется с нуля.
   '''int''' findOrderStatistic('''int[]''' array, '''int''' k) {
@@ Строка 37: / Строка 37: @@
 === Анализ времени работы ===
-Аналогично QuickSort, может возникнуть такой же худщий случай (процедура '''partition''' возвращает каждый раз левую или правую границу рассматриваемой части), при котором время работы составит <tex>\Omega(n^2)</tex>. Однако, если считать, что '''partition''' возвращает все элементы рассматриваемого отрезка с равной вероятностью, то можно оценить матожидание времени работы как <tex>O(n)</tex>.
+Аналогично QuickSort, может возникнуть такой же худший случай (процедура '''partition''' возвращает каждый раз левую или правую границу рассматриваемой части), при котором время работы составит <tex>\Omega(n^2)</tex>. Однако, если считать, что '''partition''' возвращает все элементы рассматриваемого отрезка с равной вероятностью, то можно оценить матожидание времени работы как <tex>O(n)</tex>.
 Будем оценивать количество сравнений. При поиске статистики в массиве размера <tex>n</tex> функция '''partition''' (точнее, одна из распространённых вариаций) совершает не более <tex>n - 1</tex> сравнений. Далее, в зависимости от <tex>k</tex> выбирается левая или правая половины (или вообще алгоритм завершает работу). Оценку проводим сверху, то есть, будем считать, что каждый раз выбирается большая половина.

← Предыдущая		Версия 20:24, 1 мая 2014
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{{В разработке}}~~
−
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=

@@ Строка 9: / Строка 9: @@
 === Описание алгоритма ===
-Будем использовать процедуру рассечения массива элементов из алгоритма сортировки QuickSort. Пусть нам надо найти <tex>k</tex>-ую порядковую статистику, а после рассечения опорный элемент встал на позицию <tex>m</tex>. Возможно три случая:
+Будем использовать процедуру рассечения массива элементов из алгоритма сортировки [[Быстрая сортировка|QuickSort]]. Пусть нам надо найти <tex>k</tex>-ую порядковую статистику, а после рассечения опорный элемент встал на позицию <tex>m</tex>. Возможно три случая:
 * '''k = m'''. Порядковая статистика найдена.
@@ Строка 60: / Строка 60: @@
 Для довершения доказательства необходима проверка базы индукции, но она тривиальна: для выборки порядковой статистики из одного элемента сравнений не требуется: <tex>T(1) = 0 < 4</tex>. Итого, мы доказали, что <tex>T(n) \le 4n</tex>, следовательно, <tex>T(n) = O(n)</tex>

← Предыдущая		Версия 13:40, 17 мая 2011
Строка 40:		Строка 40:

	Аналогично QuickSort, может возникнуть такой же худщий случай (процедура '''partition''' возвращает каждый раз левую или правую границу рассматриваемой части), при котором время работы составит <tex>\Omega(n^2)</tex>. Однако, если считать, что '''partition''' возвращает все элементы рассматриваемого отрезка с равной вероятностью, то можно оценить матожидание времени работы как <tex>O(n)</tex>.		Аналогично QuickSort, может возникнуть такой же худщий случай (процедура '''partition''' возвращает каждый раз левую или правую границу рассматриваемой части), при котором время работы составит <tex>\Omega(n^2)</tex>. Однако, если считать, что '''partition''' возвращает все элементы рассматриваемого отрезка с равной вероятностью, то можно оценить матожидание времени работы как <tex>O(n)</tex>.
		+
		+	Будем оценивать количество сравнений. При поиске статистики в массиве размера <tex>n</tex> функция '''partition''' (точнее, одна из распространённых вариаций) совершает не более <tex>n - 1</tex> сравнений. Далее, в зависимости от <tex>k</tex> выбирается левая или правая половины (или вообще алгоритм завершает работу). Оценку проводим сверху, то есть, будем считать, что каждый раз выбирается большая половина.
		+
		+	:<tex>T(n) \le \frac 1n \sum\limits_{k = 1}^n \left ( T \left ( \max \left \{k - 1; n - k \right \} \right ) + n - 1 \right ) =</tex>
		+	:<tex>= n - 1 + \frac 1n \sum\limits_{k = 1}^n T(\max \{k - 1; n - k\}) = n - 1 + \frac 2n \sum\limits_{k = \lfloor n/2 \rfloor}^{n - 1} T(k)</tex>
		+
		+	Предположим, что <tex>T(k) \le ck</tex> для некоторой константы <tex>c</tex> и всех <tex>k < n</tex> (будем доказывать оценку по индукции). Тогда верно неравенство:
		+
		+	:<tex>T(n) = n - 1 + \frac 2n \sum\limits_{k = \lfloor n/2 \rfloor}^{n - 1} ck</tex>
		+
		+	Преобразуем сумму из правой части равенства по формуле суммы арифметической прогрессии и оценим преобразованное выражение:
		+
		+	:<tex>\sum\limits_{k = \lfloor n/2 \rfloor}^{n - 1} ck = \frac 12 \left (\left \lceil \frac n2 \right \rceil - 1 \right) \left( c \left \lfloor \frac n2 \right \rfloor + c(n - 1) \right ) \le \frac c2 \left (\frac{n + 1}2 - 1\right) \frac{3n - 2}2 = c \frac{n - 1}4 \frac{3n - 2}2</tex>
		+
		+	Воспользуемся полученной оценкой для оценки исходного выражения. Также, предположим, что <tex>c \ge 4</tex>:
		+
		+	:<tex>T(n) \le n - 1 + \frac{2c}n \frac{n - 1}4 \frac{3n - 2}2 = n - 1 + c\frac{n - 1}{2n} \frac{3n - 2}2 \le \frac c4 (n - 1) + \frac c4\left (\frac{n - 1}n (3n - 2)\right) \le</tex>
		+	:<tex>\le \frac c4 (n - 1 + 3n - 2) = \frac c4 (4n - 3) \le cn</tex>
		+
		+	Для довершения доказательства необходима проверка базы индукции, но она тривиальна: для выборки порядковой статистики из одного элемента сравнений не требуется: <tex>T(1) = 0 < 4</tex>. Итого, мы доказали, что <tex>T(n) \le 4n</tex>, следовательно, <tex>T(n) = O(n)</tex>

@@ Строка 19: / Строка 19: @@
 Ниже представлен код представленного алгоритма. При реализации, однако, вместо рекурсивных вызовов изменяются границы поиска статистики во внешнем цикле. В коде счититаем, что процедура '''partition''' принимает массив и границы отрезка, который будет рассечён (причём правая граница отрезка не включается) и возвращает индекс опорного элемента. Также, считается, что массив индексируется с нуля.
-  int findOrderStatistic(int[] array, int k) {
+  '''int''' findOrderStatistic('''int[]''' array, '''int''' k) {
-    int left = 0, right = array.length;
+    '''int''' left = 0, right = array.length;
-    while (true) {
+    '''while''' ('''true''') {
-      int mid = partition(array, left, right);
+      '''int''' mid = partition(array, left, right);
-      if (mid == k) {
+      '''if''' (mid == k) {
-        return array[mid];
+        '''return''' array[mid];
+      }
-      else if (k < mid) {
+      '''else if''' (k < mid) {
         right = mid;
+      }
-      else {
+      '''else''' {
         k -= mid + 1;
         left = mid + 1;