Простые числа - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:17:04Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.86.148.90 в 05:42, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:42:39Z

85.132.3.114: Удалил ссылку на "лучший фанфик"

2021-05-13T01:42:10Z

Удалил ссылку на "лучший фанфик"

213.87.242.44: /* Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел */

2021-03-10T14:53:40Z

‎Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел

213.87.242.44: /* Свойства простых чисел */

2021-03-10T14:53:19Z

‎Свойства простых чисел

Senya: /* Теорема о расходимости ряда \sum_{}^{}\frac{1}{p} */

2018-06-02T07:05:32Z

‎Теорема о расходимости ряда \sum_{}^{}\frac{1}{p}

Senya в 13:16, 17 мая 2018

2018-05-17T13:16:53Z

Senya в 13:16, 17 мая 2018

2018-05-17T13:16:21Z

Senya: /* Теорема о расходимости ряда \sum_{}^{}\frac{1}{p} */

2018-05-17T13:14:38Z

‎Теорема о расходимости ряда \sum_{}^{}\frac{1}{p}

Senya: /* Теорема о расходимости ряда \sum_{}^{}\frac{1}{p} */

2018-05-17T13:14:03Z

‎Теорема о расходимости ряда \sum_{}^{}\frac{1}{p}

← Предыдущая		Версия 16:17, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=

← Предыдущая		Версия 05:42, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=

@@ Строка 30: / Строка 30: @@
 Рассмотрим множество <tex>M</tex>, состоящее из натуральных, отличных от <tex>1</tex>, делителей числа <tex>n</tex>. Множество <tex>M</tex> не пустое, так как <tex>n \in M</tex>. Значит, в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число <tex>q>1</tex>.
-Пусть <tex>q</tex> неЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. (Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то существует такое натуральное число <tex>k</tex>, что <tex>n = k \times q</tex>. Так как <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>, то существует такое натуральное число <tex>f</tex>, что <tex>q = f \times a</tex>. Следовательно, существуют такие натуральные числа <tex>f</tex>, <tex>k</tex>, что <tex>q = k \times f \times a</tex>, т.е. <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>.) Значит, <tex>q</tex> не наименьшее числоЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит, <tex>q</tex> — простое число.
+Пусть <tex>q</tex> не простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. (Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то существует такое натуральное число <tex>k</tex>, что <tex>n = k \times q</tex>. Так как <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>, то существует такое натуральное число <tex>f</tex>, что <tex>q = f \times a</tex>. Следовательно, существуют такие натуральные числа <tex>f</tex>, <tex>k</tex>, что <tex>q = k \times f \times a</tex>, т.е. <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>.) Значит, <tex>q</tex> не наименьшее в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит, <tex>q</tex> — простое число.
 }}
@@ Строка 59: / Строка 59: @@
 Простых чисел бесконечно много.
 |proof=
-Представим, что количество простых чисел конечно ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.
+Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.
 }}

@@ Строка 59: / Строка 59: @@
 Простых чисел бесконечно много.
 |proof=
-Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.
+Представим, что количество простых чисел конечно ЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.
 }}

@@ Строка 30: / Строка 30: @@
 Рассмотрим множество <tex>M</tex>, состоящее из натуральных, отличных от <tex>1</tex>, делителей числа <tex>n</tex>. Множество <tex>M</tex> не пустое, так как <tex>n \in M</tex>. Значит, в множестве <tex>M</tex> существует наименьшее число <tex>q>1</tex>.
-Пусть <tex>q</tex> не простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. (Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то существует такое натуральное число <tex>k</tex>, что <tex>n = k \times q</tex>. Так как <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>, то существует такое натуральное число <tex>f</tex>, что <tex>q = f \times a</tex>. Следовательно, существуют такие натуральные числа <tex>f</tex>, <tex>k</tex>, что <tex>q = k \times f \times a</tex>, т.е. <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>.) Значит, <tex>q</tex> не наименьшее число в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит, <tex>q</tex> — простое число.
+Пусть <tex>q</tex> неЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 простое, тогда существует <tex>a</tex> такое, что <tex>1<a<q</tex> и <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>. (Так как <tex>n</tex> делится на <tex>q</tex>, то существует такое натуральное число <tex>k</tex>, что <tex>n = k \times q</tex>. Так как <tex>q</tex> делится на <tex>a</tex>, то существует такое натуральное число <tex>f</tex>, что <tex>q = f \times a</tex>. Следовательно, существуют такие натуральные числа <tex>f</tex>, <tex>k</tex>, что <tex>q = k \times f \times a</tex>, т.е. <tex> n</tex> делится на <tex>a</tex>.) Значит, <tex>q</tex> не наименьшее числоЛУЧШИЙ ФАНФИК ВСЕХ ВРЕМЕН И НАРОДОВ ПО ССЫЛКЕ (НЕ ВРУ, ЧЕСТНО) https://ficbook.net/readfic/9834408 в множестве <tex>M</tex>. Получили противоречие. Значит, <tex>q</tex> — простое число.
 }}

@@ Строка 84: / Строка 84: @@
 Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем:
 <tex> \ln(1+x) \leqslant  x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \cdots)} \leqslant  \sum_{}^{} {( \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.
-Финально: <tex> \sum_{}^{} \dfrac{1}{p} \ge \sum_{}^{} {[\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots) - \dfrac{c}{p^2}]} </tex> — расходится.
+Финально: <tex> \sum_{}^{} \dfrac{1}{p} \geqslant  \sum_{}^{} {[\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots) - \dfrac{c}{p^2}]} </tex> — расходится.
 }}

@@ Строка 97: / Строка 97: @@
 * И. М. Виноградов. "Основы теории чисел" {{---}} c. 18 - 20.
-[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]
+[[Категория: Теория чисел]]
 [[Категория: Классы чисел]]

@@ Строка 71: / Строка 71: @@
 <tex>\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n} = \prod_{p} {(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.
 }}
-Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \le k}^{}{(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \le k} \dfrac{1}{n}</tex>.
+Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \leqslant  k}^{}{(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \leqslant  k} \dfrac{1}{n}</tex>.
 Теперь, пользуясь выражением <tex> \ln(1+x) \approx x + o(x) </tex> и логарифмируя, выводим:
-<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \le \dfrac{c}{p^2} </tex> — расходится.
+<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)} \leqslant  \dfrac{c}{p^2} </tex> — расходится.
 ==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}^{}\frac{1}{p}</tex>==
@@ Строка 83: / Строка 83: @@
 |proof=
 Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем:
-<tex> \ln(1+x) \le x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \cdots)} \le \sum_{}^{} {( \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.
+<tex> \ln(1+x) \leqslant  x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \cdots)} \leqslant  \sum_{}^{} {( \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.
 Финально: <tex> \sum_{}^{} \dfrac{1}{p} \ge \sum_{}^{} {[\ln(1 + \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^2} + \cdots) - \dfrac{c}{p^2}]} </tex> — расходится.
 }}

@@ Строка 80: / Строка 80: @@
 |id=th3
 |statement=
-Ряд <tex>\sum_{}^{}\frac{1}{p}</tex>, где <tex>p</tex> — простое, расходится.
+Ряд <tex>\sum_{}^{}\dfrac{1}{p}</tex>, где <tex>p</tex> — простое, расходится.
 |proof=
 Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем: