Список заданий по ДМ 2к 2021 осень - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:32:21Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.100.85.24 в 04:29, 1 сентября 2022

2022-09-01T04:29:06Z

77.234.215.133 в 15:57, 9 декабря 2021

2021-12-09T15:57:37Z

10.128.19.4 в 09:16, 9 декабря 2021

2021-12-09T09:16:18Z

217.66.158.14: setmunis -> setminus

2021-12-03T09:32:52Z

setmunis -> setminus

91.211.251.87 в 12:17, 2 декабря 2021

2021-12-02T12:17:49Z

91.151.203.199 в 12:53, 25 ноября 2021

2021-11-25T12:53:04Z

91.151.203.199 в 15:25, 19 ноября 2021

2021-11-19T15:25:27Z

10.128.19.4 в 14:18, 17 ноября 2021

2021-11-17T14:18:21Z

77.234.215.133 в 15:53, 11 ноября 2021

2021-11-11T15:53:15Z

← Предыдущая		Версия 16:32, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	# Во всех задачах этой серии графы неориентированные, ребро соединяет две различные вершины, между парой вершин есть не более одного ребра. Какое максимальное число ребер может быть в графе с $n$ вершинами?		# Во всех задачах этой серии графы неориентированные, ребро соединяет две различные вершины, между парой вершин есть не более одного ребра. Какое максимальное число ребер может быть в графе с $n$ вершинами?
	# Какое максимальное число ребер может быть в графе с $n$ вершинами и двумя компонентами связности?		# Какое максимальное число ребер может быть в графе с $n$ вершинами и двумя компонентами связности?

← Предыдущая		Версия 04:29, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	# Во всех задачах этой серии графы неориентированные, ребро соединяет две различные вершины, между парой вершин есть не более одного ребра. Какое максимальное число ребер может быть в графе с $n$ вершинами?		# Во всех задачах этой серии графы неориентированные, ребро соединяет две различные вершины, между парой вершин есть не более одного ребра. Какое максимальное число ребер может быть в графе с $n$ вершинами?
	# Какое максимальное число ребер может быть в графе с $n$ вершинами и двумя компонентами связности?		# Какое максимальное число ребер может быть в графе с $n$ вершинами и двумя компонентами связности?

← Предыдущая		Версия 15:57, 9 декабря 2021
Строка 207:		Строка 207:
	# Дайте альтернативное определение параллельных элементов на языке баз.		# Дайте альтернативное определение параллельных элементов на языке баз.
	# Докажите, что отношение "быть параллельными" является транзитивным.		# Докажите, что отношение "быть параллельными" является транзитивным.
		+	# (для 34-35) Как устроено замыкание в графовом матроиде?
		+	# (для 34-35) Как устроено замыкание в матричном матроиде?
		+	# Докажите, что если $A$ независимо, то для любого $p \in A$ выполнено $p \not\in \langle A \setminus p\rangle$.
		+	# Докажите, что если $A \subset B$, то $\langle A \rangle \subset \langle B \rangle$.
		+	# Докажите, что $\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle$
		+	# Докажите, что если $q \not\in \langle A \rangle$, $q \in \langle A \cup p\rangle$, то $p \in \langle A \cup q \rangle$
		+	# Двойственный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M^$ следующую конструкцию: $M^ = \langle X, \{A \,\|\, \exists B $ - база $M, A \cap B = \varnothing\}\rangle$. Докажите, что $M^*$ является матроидом.
		+	# Циклы двойственного матроида называются коциклами. Докажите, что любая база пересекается с любым коциклом.
		+	# Докажите, что двойственный к матричному матроид изоморфен матричному для некоторой матрицы. Как устроена его матрица?
		+	# В этой и следующих задача граф для графового матроида может содержать кратные ребра. Докажите, что двойственный к графовому матроиду колеса $C_4 + K_1$ изоморфен графовому для некоторого графа
		+	# Докажите, что двойственный к графовому матроиду графа $K_{2, 3}$ изоморфен графовому для некоторого графа
		+	# Докажите, что двойственный матроид к графовому на $K_5$ не изоморфен графовому ни для какого графа.
		+	# Докажите, что двойственный матроид к графовому на $K_{3,3}$ не изоморфен графовому ни для какого графа.
		+	# Когда двойственный к графовому матроид изоморфен графовому для некоторого графа?
		+	# Рассмотрим носитель некоторого матроида, упорядочим произвольным образом его элементы: $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$. Пусть $Y = \left\{x_k \,\|\, rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}, x_k\}) > rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}\})\right\}$. Докажите, что $Y$ независимо.
		+	# Сверхсильная теорема о базах. Докажите, что для любых двух различных баз $A$ и $B$ и элемента $x \in A \setminus B$ найдётся $y \in B \setminus A$, так что $A \setminus x \cup y$ и $B \setminus y \cup x$ обе являются базами.
		+	# Доказать, что $M^{**}=M$
		+	# Один студент считает, что xor двух циклов обязательно содержит цикл. Доказать или опровергнуть.

@@ Строка 191: / Строка 191: @@
 # Постройте матроид с 4 элементами и 5 базами. Укажите множество циклов этого матроида.
 # Постройте матроид с 5 элементами и 12 базами.
-# Матроид с выброшенным элементом. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M\setminus x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются независимые множества исходного матроида, которые не содержали $x$. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M\setminus x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \not\in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$ получившаяся конструкция $M\setminus x$ является матроидом.
+# Матроид с выброшенным элементом. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M\setminus x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются независимые множества исходного матроида, которые не содержали $x$. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M\setminus x = \langle X \setminus x, \{A | A \in I, x \notin A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$ получившаяся конструкция $M\setminus x$ является матроидом.
 # Матроид, стянутый по элементу. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M/x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются независимые множества исходного матроида, которые ранее содержали $x$, после удаления из них этого элемента. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M/x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$, таких что $\{x\}\in I$ получившаяся конструкция $M/x$ является матроидом.
 # Докажите, что если $x \ne y$, то $M\setminus x/y=M/y\setminus x$

@@ Строка 191: / Строка 191: @@
 # Постройте матроид с 4 элементами и 5 базами. Укажите множество циклов этого матроида.
 # Постройте матроид с 5 элементами и 12 базами.
-# Матроид с выброшенным элементом. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M\setminus x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются независимые множества исходного матроида, которые не содержали $x$. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M\setminus x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \not\in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$ получившаяся конструкция $M\setmunis x$ является матроидом.
+# Матроид с выброшенным элементом. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M\setminus x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются независимые множества исходного матроида, которые не содержали $x$. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M\setminus x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \not\in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$ получившаяся конструкция $M\setminus x$ является матроидом.
 # Матроид, стянутый по элементу. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M/x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются независимые множества исходного матроида, которые ранее содержали $x$, после удаления из них этого элемента. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M/x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$, таких что $\{x\}\in I$ получившаяся конструкция $M/x$ является матроидом.
 # Докажите, что если $x \ne y$, то $M\setminus x/y=M/y\setminus x$

← Предыдущая		Версия 12:17, 2 декабря 2021
Строка 189:		Строка 189:
	# Продемонстрируйте появление свойства ""диаметр 2"" при $p=\sqrt{2 \ln n/n}$.		# Продемонстрируйте появление свойства ""диаметр 2"" при $p=\sqrt{2 \ln n/n}$.
	# Проанализируйте исчезновение изолированных вершин и появление связности на одном графике.		# Проанализируйте исчезновение изолированных вершин и появление связности на одном графике.
		+	# Постройте матроид с 4 элементами и 5 базами. Укажите множество циклов этого матроида.
		+	# Постройте матроид с 5 элементами и 12 базами.
		+	# Матроид с выброшенным элементом. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M\setminus x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются независимые множества исходного матроида, которые не содержали $x$. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M\setminus x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x \| A \in I, x \not\in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$ получившаяся конструкция $M\setmunis x$ является матроидом.
		+	# Матроид, стянутый по элементу. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M/x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются независимые множества исходного матроида, которые ранее содержали $x$, после удаления из них этого элемента. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M/x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x \| A \in I, x \in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$, таких что $\{x\}\in I$ получившаяся конструкция $M/x$ является матроидом.
		+	# Докажите, что если $x \ne y$, то $M\setminus x/y=M/y\setminus x$
		+	# Урезанный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M\|_k$ следующую констркуцию: $M\|_k = \langle X, \{A \| A \in I, \|A\| \le k \}\rangle$. Докажите, что $M\|_k$ является матроидом.
		+	# Прямая сумма матроидов. Пусть $X$ и $Y$ - непересекающиеся множества, $M_1$ - матроид с носителем $X$ и $M_2$ - матроид с носителем $Y$. Построим новый матроид, назовем носителем объединение $X \cup Y$, независимыми объявим множества, которые являются объединением независимого из $M_1$ и независимого из $M_2$. Докажите, что прямая сумма матроидов является матридом.
		+	# Представьте разноцветный матроид в виде прямой суммы универсальных матроидов.
		+	# Является ли алгоритм Прима вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
		+	# Являются ли паросочетания в полном графе семейством независимых множеств некоторого матроида?
		+	# Рассмотрим кратчайшие пути из $s$ в $t$ в неориентированном невзвешенном графе. Назовем множество ребер независимым, если оно лежит на некотором кратчайшем пути. Образует ли эта конструкция семейство независимых множеств некоторого матроида?
		+	# Будем называть предматроидом пару $\langle X, I \rangle$, для которой выполнены аксиомы нетривиальности ($\varnothing \in I$) и наследования независимости ($A \subset B$, $B \in I$, тогда $A \in I$). Пусть в предматроиде для любой весовой функции верно работает жадный алгоритм Радо-Эдмондса. Докажите, что такой предматроид является матроидом.
		+	# Пусть $M$ - предматроид. Как и в матроиде будем называть базой множества максимальное по включению подмножество из $I$. Докажите, что если для каждого множества $A$ все его базы равномощны, то $M$ - матроид.
		+	# Для каких универсальных матроидов существует изоморфный ему матричный матроид?
		+	# Проекция матроида. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид, $f : X \to Y$ - произвольная функция. Обратите внимание, что нет необходимости, чтобы $f$ была инъекцией или сюрьекцией. Построим конструкцию $f(M)$ как пару из носителя $Y$ и семейства множеств $f(I) = \{ f(A) \,\|\, A \in I\}$. Докажите, что $f(M)$ является матроидом.
		+	# Будем называть два элемента $x$ и $y$ матроида параллельными, если пара $\{x, y\}$ образует цикл. Докажите, что если $A$ независимо $x \in A$, а $x$ и $y$ параллельны, то $A\setminus x\cup y$ также независимо.
		+	# Дайте альтернативное определение параллельных элементов на языке баз.
		+	# Докажите, что отношение "быть параллельными" является транзитивным.

@@ Строка 188: / Строка 188: @@
 # Напишите генератор графов $G(n, p)$ на вашем любимом языке программирования и примените в этом и последующих заданиях. Проведите численные эксперименты с генератором для различных значений $n$ и $p$, соотнесите результаты с теорией, которую вы узнали на лекциях. В качестве ответа на задание продемонстрируйте графики зависимости вероятности от $p$, другие результаты численных экспериментов, можно также запускать программу с демонстрацией результатов запуска на проекторе. Проанализируйте появление треугольников для $p=\frac cn$ в зависимости от константы $c$.
 # Продемонстрируйте появление свойства ""диаметр 2"" при $p=\sqrt{2 \ln n/n}$.
-# Проанализируйте исчезновение изолированих вершин и появление связности на одном графике.
+# Проанализируйте исчезновение изолированных вершин и появление связности на одном графике.

← Предыдущая		Версия 15:25, 19 ноября 2021
Строка 176:		Строка 176:
	# Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ в $G(n, \frac 12)$ а.п.н. существует независимое множество размера $(2 - \varepsilon) \log_2 n$.		# Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ в $G(n, \frac 12)$ а.п.н. существует независимое множество размера $(2 - \varepsilon) \log_2 n$.
	# Найдите пороговую асимптотику, что граф $G(n, p)$ является эйлеровым или докажите, что её не существует		# Найдите пороговую асимптотику, что граф $G(n, p)$ является эйлеровым или докажите, что её не существует
		+	# Докажите, что если $k = \frac{\log n}{\log\log n}$, то $k! \le n$.
		+	# Покажите, что в первой доле случайного двудольного графа $G(n, n, 1/n)$ с вероятностью, не стремящейся к нулю, существует вершина степени $\frac{\log n}{\log \log n}$.
		+	# Зачем условие двудольности в предыдущей задаче? Покажите, что его можно убрать, в случайном графе $G(n, 1/n)$ с вероятностью, не стремящейся к нулю, существует вершина степени $\frac{\log n}{\log \log n}$.
		+	# Докажите, что $G(n, 1/n)$ а.п.н. не содержит вершины степени больше $\frac{6\log n}{\log \log n}$. Указание, используйте приближение биномиального распределения Пуассоном и факт, что $k! \ge (k/e)^k$.
		+	# Пусть $p = \frac dn$. Что можно сказать про наличие циклов в $G(n, p)$ в зависимости от $d$?
		+	# Рассмотрим случайный двудольный $G(n, n, p)$, пусть $p = \omega(\frac{\log n}{n})$. Докажите, что $G$ а.п.н. содержит полное паросочетание. Указание: используйте лемму Холла.
		+	# Рассмотрим случайный двудольный $G(n, n, p)$, пусть $p = o(\frac{\log n}{n})$. Докажите, что $G$ а.п.н. не содержит полное паросочетание. Указание: используйте лемму Холла.
		+	# Пусть $p = \frac{\ln n + c}{n}$. Какой предел вероятности, что у $G(n,p)$ ровно $k$ изолированных вершин?
		+	# Петя пытается спрятать в случайном графе клику размера $k$. Он берет граф с $n$ вершинами, $k$ из которых образуют клику, а остальных ребер нет, после чего проводит каждое из оставшихся ребер с вероятностью $1/2$. Вася хочет найти спрятанную Петей клику - выяснить, какие вершины ее образовывали. Для этого он выбирает $k$ вершин максимальной степени. Докажите, что если $k = \omega(\sqrt{n \ln n})$, то Вася а.п.н. найдет спрятанную Петей клику.
		+	# Задача о наибольшем общем подграфе. Рассмотрим два графа, выбранных из распределения $G(n, 1/2)$. Найдем их общий индуцированный подграф размера $k$: выберем в каждом графе по $k$ вершин, оставим все ребра между ними, получившиеся графы должны быть изоморфны. Докажите, что наибольший общий подграф двух графов а.п.н. имеет размер не больше $4 \log_2 n$.
		+	# Напишите генератор графов $G(n, p)$ на вашем любимом языке программирования и примените в этом и последующих заданиях. Проведите численные эксперименты с генератором для различных значений $n$ и $p$, соотнесите результаты с теорией, которую вы узнали на лекциях. В качестве ответа на задание продемонстрируйте графики зависимости вероятности от $p$, другие результаты численных экспериментов, можно также запускать программу с демонстрацией результатов запуска на проекторе. Проанализируйте появление треугольников для $p=\frac cn$ в зависимости от константы $c$.
		+	# Продемонстрируйте появление свойства ""диаметр 2"" при $p=\sqrt{2 \ln n/n}$.
		+	# Проанализируйте исчезновение изолированих вершин и появление связности на одном графике.

@@ Строка 164: / Строка 164: @@
 # Докажите, что если $p = \omega(n^{-1.5})$, то $G(n, p)$ а.п.н. содержит путь длины 2.
 # Пусть $p = o(n^{-\frac 23})$. Докажите, что а.п.н. $G(n, p)$ не содержит $K_4$.
-# Пусть $p = \o(\frac 1n)$ и $k$ -- константа. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. не содержит цикл длины $k$.
+# Пусть $p = o(\frac 1n)$ и $k$ -- константа. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. не содержит цикл длины $k$.
 # Пусть $p = \omega(\frac 1n)$ и $k$ -- константа. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. содержит цикл длины $k$.
 # Пусть $p = o(\frac 1n)$. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. не содержит циклов.

← Предыдущая		Версия 15:53, 11 ноября 2021
Строка 175:		Строка 175:
	# Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ в $G(n, \frac 12)$ матожидание количества независимых множеств размера $(2 - \varepsilon) \log_2 n$ стремится к $\infty$.		# Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ в $G(n, \frac 12)$ матожидание количества независимых множеств размера $(2 - \varepsilon) \log_2 n$ стремится к $\infty$.
	# Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ в $G(n, \frac 12)$ а.п.н. существует независимое множество размера $(2 - \varepsilon) \log_2 n$.		# Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ в $G(n, \frac 12)$ а.п.н. существует независимое множество размера $(2 - \varepsilon) \log_2 n$.
		+	# Найдите пороговую асимптотику, что граф $G(n, p)$ является эйлеровым или докажите, что её не существует