Список заданий по ДМ 2021 осень - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:06:19Z

rollbackEdits.php mass rollback

141.98.9.47 в 06:26, 1 сентября 2022

2022-09-01T06:26:06Z

77.234.215.133 в 16:23, 9 декабря 2021

2021-12-09T16:23:10Z

10.128.19.4 в 13:27, 2 декабря 2021

2021-12-02T13:27:35Z

10.128.19.4 в 14:38, 1 декабря 2021

2021-12-01T14:38:07Z

77.234.215.133 в 15:44, 25 ноября 2021

2021-11-25T15:44:14Z

10.128.19.4 в 14:17, 24 ноября 2021

2021-11-24T14:17:30Z

91.151.203.199 в 15:25, 19 ноября 2021

2021-11-19T15:25:02Z

77.234.215.133 в 15:29, 11 ноября 2021

2021-11-11T15:29:27Z

188.170.87.206 в 15:06, 10 ноября 2021

2021-11-10T15:06:52Z

← Предыдущая		Версия 16:06, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	# Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения		# Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения
	# Постройте пример рефлексивного, антисимметричного, но не транзитивного отношения		# Постройте пример рефлексивного, антисимметричного, но не транзитивного отношения

← Предыдущая		Версия 06:26, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	# Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения		# Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения
	# Постройте пример рефлексивного, антисимметричного, но не транзитивного отношения		# Постройте пример рефлексивного, антисимметричного, но не транзитивного отношения

← Предыдущая		Версия 16:23, 9 декабря 2021
Строка 200:		Строка 200:
	# Сопряжением перестановки $\alpha$ относительно перестановки $\tau$ называется перестановка $\tau^{-1}\alpha\tau$. Две перестановки $\alpha$ и $\beta$ называются сопряженными, если существует такая перестановка $\tau$, что $\beta = \tau^{-1}\alpha\tau$. Докажите, что сопряжение является отношением эквивалентности.		# Сопряжением перестановки $\alpha$ относительно перестановки $\tau$ называется перестановка $\tau^{-1}\alpha\tau$. Две перестановки $\alpha$ и $\beta$ называются сопряженными, если существует такая перестановка $\tau$, что $\beta = \tau^{-1}\alpha\tau$. Докажите, что сопряжение является отношением эквивалентности.
	# Докажите, что две перестановки являются сопряженными тогда и только тогда, когда их циклические классы совпадают.		# Докажите, что две перестановки являются сопряженными тогда и только тогда, когда их циклические классы совпадают.
		+	# В вершинах правильного $n$-угольника записаны числа от $1$ до $n$. Рассмотрим две операции: поворот на угол $2\pi i/n$ и отражение относительно прямой, проходящей через центр многоугольника, после которого вершины оказываются в тех же точках. Докажите, что композиция отражения и поворота является отражением.
		+	# В вершинах правильного $n$-угольника записаны числа от $1$ до $n$. Рассмотрим две операции: поворот на угол $2\pi i/n$ и отражение относительно прямой, проходящей через центр многоугольника, после которого вершины оказываются в тех же точках. Докажите, что композиция двух отражений является поворотом.
		+	# В вершинах правильного $n$-угольника записаны числа от $1$ до $n$. Рассмотрим две операции: поворот на угол $2\pi i/n$ и отражение относительно прямой, проходящей через центр многоугольника, после которого вершины оказываются в тех же точках. Зафиксируем конкретную прямую, относительно которой можно делать отражение. Докажите, что композиция любой последовательности отражений и поворотов является либо поворотом, либо композицией поворота и отражения относительно зафиксированной прямой.
		+	# Выведите формулу для числа ожерелий из $n$ бусинок $k$ цветов с точностью до циклического сдвига и отражения.
		+	# Выведите формулу для числа ожерелий из $n$ бусинок 2 цветов с точностью до циклического сдвига, в которых ровно две белые бусины.
		+	# Выведите формулу для числа ожерелий из $n$ бусинок 2 цветов с точностью до циклического сдвига, в которых ровно $k$ белых бусин.
		+	# Пусть $p$ простое. Найдите число ожерелий из $p^2$ бусинок 2 цветов с точностью до циклического сдвига.
		+	# Пусть $p$ и $q$ простые. Найдите число ожерелий из $pq$ бусинок 2 цветов с точностью до циклического сдвига.
		+	# Найдите число таких различных булевых функций от 2 переменных, что ни одна из них не может быть получена ни из какой другой навешиванием отрицаний над некоторыми переменными
		+	# Найдите число таких различных булевых функций от $n$ переменных, что ни одна из них не может быть получена ни из какой другой навешиванием отрицаний над некоторыми переменными
		+	# Выведите формулу для числа раскрасок $n$ шаров в $k$ цветов, порядок не важен.
		+	# Выведите формулу для числа раскрасок прямоугольника $n \times m$ в $k$ цветов с точностью до отражения относительно горизонтальной и вертикальной оси.
		+	# Выведите формулу для числа раскрасок граней тетраэдра в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
		+	# Выведите формулу для числа раскрасок ребер тетраэдра в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
		+	# Выведите формулу для числа раскрасок граней куба в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
		+	# Выведите формулу для числа раскрасок ребер куба в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
		+	# Выведите формулу для числа раскрасок граней октаэдра в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
		+	# Почему мы не сделали задачу про вершины тетраэдра, вершины куба, вершины и ребра октаэдра? Неужели оставили на контрольную?

← Предыдущая		Версия 13:27, 2 декабря 2021
Строка 181:		Строка 181:
	# Докажите, что число разбиений числа $n$ на нечетные слагаемые и число разбиений числа $n$ на различные слагаемые совпадает.		# Докажите, что число разбиений числа $n$ на нечетные слагаемые и число разбиений числа $n$ на различные слагаемые совпадает.
	# Для каких $n$ число разбиений $n$ на чётное число различных слагаемых и число разбиений $n$ на нечётное число различных слагаемых различно?		# Для каких $n$ число разбиений $n$ на чётное число различных слагаемых и число разбиений $n$ на нечётное число различных слагаемых различно?
		+	# Докажите формулу $t^{\overline{n}}=\sum\limits_{k=0}^n\left[n\atop k\right]t^k$, где $t^{\overline{n}} = t(t+1)\ldots(t+n-1)$ называется "$n$-й восходящей факториальной степенью $t$".
		+	# Докажите формулу $t^n=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^{n-k}\left\{n\atop k\right\}t^{\overline k}$.
		+	# Придумайте аналогичные двум предыдущим заданиям формулы для $t^{\underline{n}} = t(t-1)\ldots(t-(n-1))$ ($t^{\underline{n}}$ называется "$n$-й нисходящей факториальной степенью $t$").
		+	# Неподвижной точкой в перестановке называется элемент $a_i = i$. Беспорядком называется перестановка без неподвижных точек. Найдите число беспорядков длины $n$ с помощью формулы включений-исключений.
		+	# Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ циклами без неподвижных точек.
		+	# Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ неподвижными точками. Не пользуйтесь формулой для подсчета беспорядков, придумайте именно рекуррентную формулу.
		+	# Префиксным максимумом в перестановке называется элемент, который больше всех предыдущих. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок размера $n$ с $k$ префиксными максимумами.
		+	# Транспозицией называется перестановка, которая имеет один цикл длины $2$ и остальные элементы являются неподвижными точками. Перестановка называется чётной, если ее можно представить в виде произведения чётного числа транспозиций. Докажите, что если перестановку можно представить в виде произведения циклов длины 3, то она является чётной.
		+	# Транспозиция называется элементарной, если она переставляет местами два соседних элемента. Докажите, что перестановка является чётной тогда и только тогда, когда любое ее представление в виде произведения элементарных транспозиций содержит чётное число сомножителей.
		+	# Докажите, что перестановка является чётной тогда и только тогда, когда '''любое''' ее представление в виде произведения транспозиций содержит чётное число сомножителей.
		+	# Докажите, что число четных перестановок равно $\frac {n!}{2}$ при $n \ge 2$.
		+	# Инверсией в перестановке $a$ называется пара индексов $i < j$, для которой $a_i > a_j$. Докажите, что перестановка является чётной тогда и только тогда, когда она содержит чётное число инверсий.
		+	# Докажите, что перестановка является чётной тогда и только тогда, когда $n - c$ четно, где $c$ - число циклов в перестановке.
		+	# Докажите, что множество четных перестановок с операцией композиции образует группу.
		+	# Есть две перестановки: первая меняет местами первые два элемента, а вторая делает циклический сдвиг на один. Покажите, что любую перестановку можно выразить, как композицию этих двух (возможно, используя каждую несколько раз).
		+	# Перестановка $[a_1, a_2, \ldots, a_n]$ называется пилообразной, если $a_1 > a_2 < a_3 > a_4 \ldots a_n$. Найдите количество пилообразных перестановок (можно получить формулу с $O(n)$ слагаемыми или рекуррентную формулу)
		+	# Перестановка $[a_1, a_2, \ldots, a_n]$ называется неразложимой, если у нее ни для какого $0 < k < n$ нет префикса длины $k$, который является перестановкой чисел от 1 до $k$. Найдите количество неразложимых перестановок (можно получить формулу с $O(n)$ слагаемыми или рекуррентную формулу)
		+	# Сопряжением перестановки $\alpha$ относительно перестановки $\tau$ называется перестановка $\tau^{-1}\alpha\tau$. Две перестановки $\alpha$ и $\beta$ называются сопряженными, если существует такая перестановка $\tau$, что $\beta = \tau^{-1}\alpha\tau$. Докажите, что сопряжение является отношением эквивалентности.
		+	# Докажите, что две перестановки являются сопряженными тогда и только тогда, когда их циклические классы совпадают.

@@ Строка 163: / Строка 163: @@
 # Вычислите сумму $\sum\limits_{k=0}^m{m \choose k}/{n \choose k}$.
 # Докажите, что $\sum\limits_k {n - k \choose k} = F_n$ ($n$-е число Фибоначчи).
-# Докажите, что число Каталана $C_n = \frac{1}{n+1}C_{2n}^n$.
+# Докажите, что число Каталана $C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n}$.
 # Докажите, что число различных триангуляций правильного $n$-угольника равно числу Каталана. В этом и нескольких следующих заданиях номер соответствующего числа Каталана может отличаться от $n$, требуется также установить соответствие между размером задачи и номерами чисел Каталана.
 # (для 31-35) Докажите, что число подвешенных деревьев с порядком на детях с $n$ вершинами равно числу Каталана.

← Предыдущая		Версия 15:44, 25 ноября 2021
Строка 163:		Строка 163:
	# Вычислите сумму $\sum\limits_{k=0}^m{m \choose k}/{n \choose k}$.		# Вычислите сумму $\sum\limits_{k=0}^m{m \choose k}/{n \choose k}$.
	# Докажите, что $\sum\limits_k {n - k \choose k} = F_n$ ($n$-е число Фибоначчи).		# Докажите, что $\sum\limits_k {n - k \choose k} = F_n$ ($n$-е число Фибоначчи).
		+	# Докажите, что число Каталана $C_n = \frac{1}{n+1}C_{2n}^n$.
		+	# Докажите, что число различных триангуляций правильного $n$-угольника равно числу Каталана. В этом и нескольких следующих заданиях номер соответствующего числа Каталана может отличаться от $n$, требуется также установить соответствие между размером задачи и номерами чисел Каталана.
		+	# (для 31-35) Докажите, что число подвешенных деревьев с порядком на детях с $n$ вершинами равно числу Каталана.
		+	# Будем называть последовательность ''сортируемой стеком'', если ее можно отсортировать, используя в произвольном порядке следующие операции: (а) взять первый элемент входной последовательности и положить в стек (б) взять верхний элемент стека и отправить в конец выходной последовательности. Докажите, что число перестановок $n$ элементов, сортируемых стеком, равно число Каталана.
		+	# Докажите, что число перестановок $n$ элементов, в которых нет возрастающей последовательности длины 3, равно числу Каталана.
		+	# Докажите, что число способов расставить числа от 1 до $2n$ в прямоугольник $2 \times n$, чтобы числа в каждой строке и каждом столбце возрастали, равно числу Каталана.
		+	# Докажите, что число разбиений вершин $2n$-угольника на пары непересекающимися хордами равно числу Каталана.
		+	# Докажите, что число мультимножеств из $n$ чисел от $0$ до $n$, сумма которых делится на $n+1$, равно числу Каталана.
		+	# Укажите способ подсчитать число разбиений заданного $n$-элементного множества на $k$ упорядоченных непустых подмножеств (например, для $n = 3$, $k = 2$ есть следующие разбиения: $\{[1], [2, 3]\}$, $\{[1], [3, 2]\}$, $\{[1, 2], [3]\}$, $\{[1, 3], [2]\}$, $\{[2, 1], [3]\}$, $\{[2], [3, 1]\}$.
		+	# Подъемом в перестановке называется пара соседних элементов, таких что $a_{i-1} < a_i$. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ подъемами.
		+	# Сюръекцией называется такая функция $f : X \to Y$, что для каждого элемента $y \in Y$ существует $x \in X$, что $f(x) = y$. Придумайте рекуррентную формулу для числа сюръекций из $\{1..n\}$ в $\{1..k\}$.
		+	# Выведите другую формулу для числа сюръекций, используя формулу включений-исключений. Свяжите число сюръекций с числами Стирлинга второго рода.
		+	# Найдите число сочетаний из $n$ по $k$, что любые два выбранных числа отличаются как минимум на $d$.
		+	# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на нечетные слагаемые.
		+	# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на нечетное число слагаемых.
		+	# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на различные слагаемые.
		+	# Докажите, что число разбиений числа $n$ на нечетные слагаемые и число разбиений числа $n$ на различные слагаемые совпадает.
		+	# Для каких $n$ число разбиений $n$ на чётное число различных слагаемых и число разбиений $n$ на нечётное число различных слагаемых различно?

@@ Строка 158: / Строка 158: @@
 # Докажите, что $\sum\limits_k{r \choose m + k}{s \choose n - k}={r+s \choose m+n}$. В этом и следующих заданиях сумма берётся по всем допустимым целым $k$.
 # Докажите, что $\sum\limits_k{r \choose m + k}{s \choose n + k}={r+s \choose r-m+n}$
-# Докажите, что $\sum\limits_k(-1)^k{r \choose m + k}{s+k \choose n}=(-1)^{r+n}{s-m \choose n-r}$
+# Докажите, что $\sum\limits_k(-1)^k{r \choose m + k}{s+k \choose n}=(-1)^{r+m}{s-m \choose n-r}$
 # Докажите, что $\sum\limits_k(-1)^k{r-k \choose m}{s \choose k-n}=(-1)^{r+n}{s-m-1 \choose r-m-n}$
 # Докажите, что $\sum\limits_k{m-r+s\choose k}{n+r-s \choose n-k}{r+k \choose m+n}={r \choose m}{s \choose n}$
 # Вычислите сумму $\sum\limits_{k=0}^m{m \choose k}/{n \choose k}$.
 # Докажите, что $\sum\limits_k {n - k \choose k} = F_n$ ($n$-е число Фибоначчи).

← Предыдущая		Версия 15:25, 19 ноября 2021
Строка 144:		Строка 144:
	# Коды Грея для размещений. Предложите способ перечисления размещений, в котором соседние размещения отличаются заменой одного элемента в одной позиции.		# Коды Грея для размещений. Предложите способ перечисления размещений, в котором соседние размещения отличаются заменой одного элемента в одной позиции.
	# Докажите, что существует способ упорядочить все двоичные вектора длины $n$, чтобы любые два соседних отличались в не более, чем двух позициях, а количество единиц в $i$-м векторе не превосходило количество единиц в $j$-м векторе при $i < j$.		# Докажите, что существует способ упорядочить все двоичные вектора длины $n$, чтобы любые два соседних отличались в не более, чем двух позициях, а количество единиц в $i$-м векторе не превосходило количество единиц в $j$-м векторе при $i < j$.
		+	# Факториальная система счисления. Рассмотрим систему счисления, где бесконечно много цифр, в $i$-м разряде (нумерация разрядов с 1 от младшего к старшему) разрешается использовать цифры от 0 до $i$, вес $i$-го разряда $i!$. Докажите, что у каждого положительного числа ровно одно представление в факториальной системе счисления (с точностью до ведущих нулей). Предложите алгоритм перевода числа в факториальную систему счисления.
		+	# Как связана факториальная система счисления и нумерация перестановок?
		+	# Фибоначчиева система счисления. Рассмотрим систему счисления, где есть две цифры, 0 и 1. Пусть нумерация разрядов ведется с 1 от младшего к старшему, вес $i$-го разряда $F_i$, где $F_i$ - $i$-е число Фибоначчи ($F_0 = 1$, $F_1 = 1$, нулевой разряд не используется). При этом запрещается исползовать две единицы в соседних разрядах. Сколько представлений в Фибоначчиевой системе счисления у положительного числа $x$? Предложите алгоритм перевода числа в фибоначчиеву систему счисления.
		+	# Свяжите фибоначчиеву систему счисления с нумерацией каких-либо комбинаторных объектов.
		+	# Выразите $n \choose k$ через $n-1 \choose k-1$, $n$ и $k$.
		+	# Выразите $n \choose k$ через $n-1 \choose k$, $n$ и $k$.
		+	# Докажите, что ${n \choose m}{m \choose k}={n \choose k}{n-k \choose m - k}$.
		+	# Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^n {m+k \choose k}={m+n+1 \choose n}$.
		+	# Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^n {k \choose m}={n+1 \choose m+1}$.
		+	# Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^n {r \choose k}{s \choose n - k}={r+s \choose n}$.
		+	# Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^m {r \choose k}\left(\frac{r}{2} - k\right)=\frac{m+1}{2}{r \choose m+1}$. // Забавно, что нет простого выражения для $\sum\limits_{k=0}^m {r \choose k}$.
		+	# Обобщите формулу бинома Ньютона на степень суммы трёх: $(x+y+z)^n=?$
		+	# Докажите, что $\sum\limits_k{r \choose m + k}{s \choose n - k}={r+s \choose m+n}$. В этом и следующих заданиях сумма берётся по всем допустимым целым $k$.
		+	# Докажите, что $\sum\limits_k{r \choose m + k}{s \choose n + k}={r+s \choose r-m+n}$
		+	# Докажите, что $\sum\limits_k(-1)^k{r \choose m + k}{s+k \choose n}=(-1)^{r+n}{s-m \choose n-r}$
		+	# Докажите, что $\sum\limits_k(-1)^k{r-k \choose m}{s \choose k-n}=(-1)^{r+n}{s-m-1 \choose r-m-n}$
		+	# Докажите, что $\sum\limits_k{m-r+s\choose k}{n+r-s \choose n-k}{r+k \choose m+n}={r \choose m}{s \choose n}$
		+	# Вычислите сумму $\sum\limits_{k=0}^m{m \choose k}/{n \choose k}$.
		+	# Докажите, что $\sum\limits_k {n - k \choose k} = F_n$ ($n$-е число Фибоначчи).

← Предыдущая		Версия 15:29, 11 ноября 2021
Строка 126:		Строка 126:
	# Кодирование с ошибками. Пусть разрешается при декодировании неверно раскодировать не более одного бита. Можно ли каждую непустую двоичную строку длиной не больше $n$ сжать, чтобы её размер уменьшился хотя бы на один символ?		# Кодирование с ошибками. Пусть разрешается при декодировании неверно раскодировать не более одного бита. Можно ли каждую непустую двоичную строку длиной не больше $n$ сжать, чтобы её размер уменьшился хотя бы на один символ?
	# Кодирование с ошибками. Пусть разрешается при декодировании неверно раскодировать не более одного бита. Можно ли каждую двоичную строку длиной от 2 до $n$ сжать, чтобы её размер уменьшился хотя бы на два символа?		# Кодирование с ошибками. Пусть разрешается при декодировании неверно раскодировать не более одного бита. Можно ли каждую двоичную строку длиной от 2 до $n$ сжать, чтобы её размер уменьшился хотя бы на два символа?
		+	# Докажите, что в зеркальном коде Грея $g_i = i \oplus \lfloor i / 2\rfloor$
		+	# Докажите, что в зеркальном коде Грея при переходе от $g_i$ к $g_{i+1}$ меняется тот же бит, который меняется с 0 на 1 при переходе от $i$ к $i+1$
		+	# Докажите, что $g_{i \oplus j} = g_i \oplus g_j$.
		+	# Выведите формулу, которая по кодовому слову возвращает его позицию в зеркальном коде Грея (аналог формулы из задания 128)
		+	# Разработайте код Грея для $k$-ичных векторов
		+	# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз?
		+	# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз, а в конце возвращается в исходную ячейку?
		+	# Код "антигрея" - постройте двоичный код, в котором соседние слова отличаются хотя бы в половине бит
		+	# Троичный код "антигрея" - постройте троичный код, в котором соседние слова отличаются во всех позициях
		+	# При каких $n$ и $k$ существует двоичный $n$-битный код, в котором соседние кодовые слова отличаются ровно в $k$ позициях?
		+	# Докажите, что для достаточно больших $n$ существует код Грея, который отличается от любого, полученного из зеркального перестановкой столбцов, отражением и циклическим сдвигом строк
		+	# Код Грея назвается монотонным, если нет таких слов $g_i$ и $g_j$, что $i < j$, а $g_i$ содержит на 2 или больше единиц больше, чем $g_j$. Докажите, что существует монотонный код Грея
		+	# Сколько существует векторов длины $n + 1$, содержащих каждое число от $1$ до $n$ хотя бы по одному разу?
		+	# Выведите рекуррентную формулу для числа комбинаторных объектов: вектор длины $2n$, в котором каждое число от $1$ до $n$ встречается ровно два раза.
		+	# Коды Грея для перестановок. Предложите способ перечисления перестановок, в котором соседние перестановки отличаются обменом двух соседних элементов (элементарной транспозицией).
		+	# Коды Грея для сочетаний. Предложите способ перечисления сочетаний, в котором соседние сочетания отличаются заменой одного элемента.
		+	# Коды Грея для размещений. Предложите способ перечисления размещений, в котором соседние размещения отличаются заменой одного элемента в одной позиции.
		+	# Докажите, что существует способ упорядочить все двоичные вектора длины $n$, чтобы любые два соседних отличались в не более, чем двух позициях, а количество единиц в $i$-м векторе не превосходило количество единиц в $j$-м векторе при $i < j$.

@@ Строка 121: / Строка 121: @@
 # Предложите реализацию преобразования Move to Front за $O(n)$.
 # Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 3 битов
-# Разработайте код, исправляющий две ошибки, использующий асимптотически не более $2n$ бит для кодирования $2n$ символьного алфавита (для $n>n_0$)
+# Разработайте код, исправляющий две ошибки, использующий асимптотически не более $2n$ бит для кодирования $2^n$ символьного алфавита (для $n>n_0$)
 # Разработайте оптимальный код, исправляющий одну ошибку при пересылке сообщения из 3 битов, где возможны следующие ошибки: удаление одного бита, замена одного бита на противоположный. Таким образом, при отправке сообщения длины $l$ может быть получено либо сообщение длины $l$, в котором не более одного бита исправлено на противоположный, либо сообщение длины $l - 1$, в котором все биты верные, но одного бита, неизвестно, какого, не хватает.
 # Разработайте оптимальный код, исправляющий одну ошибку при пересылке сообщения из 3 битов, где возможны следующие ошибки: добавление одного бита, замена одного бита на противоположный. Таким образом, при отправке сообщения длины $l$ может быть получено либо сообщение длины $l$, в котором не более одного бита исправлено на противоположный, либо сообщение длины $l + 1$, в котором все биты верные, а также добавлен еще один, неизвестно, какой, бит.
 # Кодирование с ошибками. Пусть разрешается при декодировании неверно раскодировать не более одного бита. Можно ли каждую непустую двоичную строку длиной не больше $n$ сжать, чтобы её размер уменьшился хотя бы на один символ?
 # Кодирование с ошибками. Пусть разрешается при декодировании неверно раскодировать не более одного бита. Можно ли каждую двоичную строку длиной от 2 до $n$ сжать, чтобы её размер уменьшился хотя бы на два символа?