Теорема Менгера - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:05:11Z

rollbackEdits.php mass rollback

141.98.9.47 в 06:26, 1 сентября 2022

2022-09-01T06:26:18Z

Shersh: /* Теорема */

2017-01-05T14:02:46Z

‎Теорема

Nikitaevg в 17:13, 4 января 2017

2017-01-04T17:13:51Z

Nikitaevg в 14:32, 3 января 2017

2017-01-03T14:32:26Z

93.92.200.160: Исправление опечаток, пунктуации, улучшение читаемости

2014-01-13T05:13:45Z

Исправление опечаток, пунктуации, улучшение читаемости

Free0u: /* Теорема */

2012-12-22T14:38:44Z

‎Теорема

Proshev в 00:18, 18 января 2012

2012-01-18T00:18:47Z

Dmitriy D. в 00:56, 29 октября 2011

2011-10-29T00:56:26Z

Dmitriy D. в 23:38, 27 октября 2011

2011-10-27T23:38:17Z

← Предыдущая		Версия 16:05, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	Теорема Менгера представляет собой группу теорем, связывающих такие понятия на графах как ''<tex>k</tex>-связность'' и ''количество непересекающихся путей'' относительно двух выделенных вершин. Возникают различные варианты очень похожих друг на друга по формулировке теорем в зависимости от того, рассматриваем ли мы ситуацию в ''ориентированном'' или ''неориентированном'' графе, и подразумеваем ли ''реберную <tex>k</tex>-связность'' и ''реберно непересекающиеся пути'' или же ''вершинную <tex>k</tex>-связность'' и ''вершинно непересекающиеся пути''.		Теорема Менгера представляет собой группу теорем, связывающих такие понятия на графах как ''<tex>k</tex>-связность'' и ''количество непересекающихся путей'' относительно двух выделенных вершин. Возникают различные варианты очень похожих друг на друга по формулировке теорем в зависимости от того, рассматриваем ли мы ситуацию в ''ориентированном'' или ''неориентированном'' графе, и подразумеваем ли ''реберную <tex>k</tex>-связность'' и ''реберно непересекающиеся пути'' или же ''вершинную <tex>k</tex>-связность'' и ''вершинно непересекающиеся пути''.

← Предыдущая		Версия 06:26, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	Теорема Менгера представляет собой группу теорем, связывающих такие понятия на графах как ''<tex>k</tex>-связность'' и ''количество непересекающихся путей'' относительно двух выделенных вершин. Возникают различные варианты очень похожих друг на друга по формулировке теорем в зависимости от того, рассматриваем ли мы ситуацию в ''ориентированном'' или ''неориентированном'' графе, и подразумеваем ли ''реберную <tex>k</tex>-связность'' и ''реберно непересекающиеся пути'' или же ''вершинную <tex>k</tex>-связность'' и ''вершинно непересекающиеся пути''.		Теорема Менгера представляет собой группу теорем, связывающих такие понятия на графах как ''<tex>k</tex>-связность'' и ''количество непересекающихся путей'' относительно двух выделенных вершин. Возникают различные варианты очень похожих друг на друга по формулировке теорем в зависимости от того, рассматриваем ли мы ситуацию в ''ориентированном'' или ''неориентированном'' графе, и подразумеваем ли ''реберную <tex>k</tex>-связность'' и ''реберно непересекающиеся пути'' или же ''вершинную <tex>k</tex>-связность'' и ''вершинно непересекающиеся пути''.

@@ Строка 35: / Строка 35: @@
 |statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> существует <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых <tex>(L-1)</tex> ребер существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
 |proof=
-:<tex>\Leftarrow</tex>  Как и прежде, пусть <tex>u</tex> {{---}} источник, а <tex>v</tex> {{---}} сток.
+<tex>\Leftarrow</tex>
 :Назначим каждому ребру пропускную способность <tex>1</tex>. Тогда существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре (по лемме).
 :По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. Удалим в этом разрезе <tex>L-1</tex> ребер, и тогда, раз <tex>u</tex> и <tex>v</tex> находятся в разных частях разреза и, существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, то в разрезе останется хотя бы еще одно ребро. Это значит, что пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока не меньше <tex>L</tex>. А так как поток целочисленный, то это и означает, что найдется <tex> L</tex> реберно непересекающихся путей.
-:<tex>\Rightarrow</tex>  Существует <tex> L</tex> реберно непересекающихся путей, а значит, удалив любые <tex>L-1</tex> ребер хотя бы один путь останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает, что существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
+<tex>\Rightarrow</tex>
 }}

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-Теорема Менгера представляет собой группу теорем, связывающих такие понятия на графах как ''k-связность'' и ''количество непересекающихся путей'' относительно двух выделенных вершин. Возникают различные варианты очень похожих друг на друга по формулировке теорем в зависимости от того, рассматриваем ли мы ситуацию в ''ориентированном'' или ''неориентированном'' графе, и подразумеваем ли ''реберную k-связность'' и ''реберно непересекающиеся пути'' или же ''вершинную k-связность'' и  ''вершинно непересекающиеся пути''.
+Теорема Менгера представляет собой группу теорем, связывающих такие понятия на графах как ''<tex>k</tex>-связность'' и ''количество непересекающихся путей'' относительно двух выделенных вершин. Возникают различные варианты очень похожих друг на друга по формулировке теорем в зависимости от того, рассматриваем ли мы ситуацию в ''ориентированном'' или ''неориентированном'' графе, и подразумеваем ли ''реберную <tex>k</tex>-связность'' и ''реберно непересекающиеся пути'' или же ''вершинную <tex>k</tex>-связность'' и  ''вершинно непересекающиеся пути''.
 ==Подготовка к доказательству==
@@ Строка 11: / Строка 11: @@
 :Для доказательства достаточно рассмотреть [[Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину|алгоритм Форда-Фалкерсона]] для поиска максимального потока. Алгоритм делает примерно следующее (подробней {{---}} читай в соответствующей статье):
-:''1.'' В начале берем какой-нибудь поток за начальный (например, нулевой).
+:# В начале берем какой-нибудь поток за начальный (например, нулевой).
+:# В остаточной сети этого потока находим какой-нибудь путь из источника к стоку и увеличиваем поток на пропускную способность этого пути.
-:''2.'' В остаточной сети этого потока находим какой-нибудь путь из источника к стоку и увеличиваем поток на пропускную способность этого пути.
+:# Повторяем пункт <tex>2</tex> до тех пор, пока находится хоть какой-то путь в остаточной сети.
 :То, что получится в конце, будет максимальным потоком. В случае целочисленной сети достаточно в качестве начального приближения взять нулевой поток, и не трудно видеть, что на каждой итерации (в том числе и последней) этот поток будет оставаться целочисленным, что и докажет требуемое.
 }}
-И, наконец, сделаем немного более осознаным в общем-то и так интуитивно понятное утверждение:
+И, наконец, сделаем немного более осознанным в общем-то и так интуитивно понятное утверждение:
 {{Утверждение
-|statement=Если в сети, где все пропускные способности ребер равны 1, существует целочисленный поток величиной <tex>L</tex> то существует и <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей.
+|statement=Если в сети, где все пропускные способности ребер равны <tex>1</tex>, существует целочисленный поток величиной <tex>L</tex> то существует и <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей.
 |proof=
 : Считаем, что <tex>u</tex> {{---}} источник, <tex>v</tex> {{---}} сток.
-: В начале поймем, что если поток не нулевой, то существует маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах с потоком равным 1. В самом деле, если бы такого маршрута не существовало, то можно было бы выделить множество вершин до которых такие маршруты из вершины <tex>u</tex> существуют, не включающее <tex>v</tex>, и по нему построить разрез. Поток через такой разрез, очевидно равен нулю, видим противоречие (т.к. <tex>f(U,V)=|f|</tex>, смотри [[Разрез, лемма о потоке через разрез|первую лемму]]).
+: В начале поймем, что если поток не нулевой, то существует маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах с потоком равным <tex>1</tex>. В самом деле, если бы такого маршрута не существовало, то можно было бы выделить множество вершин до которых такие маршруты из вершины <tex>u</tex> существуют, не включающее <tex>v</tex>, и по нему построить разрез. Поток через такой разрез, очевидно равен нулю, видим противоречие (т.к. <tex>f(U,V)=|f|</tex>, смотри [[Разрез, лемма о потоке через разрез|первую лемму]]).
-:Итак, найдем какой-нибудь маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах где поток равен 1. Удалив все ребра находящиеся в этом маршруте и оставив все остальное неизменным, придем к целочисленному потоку величиной <tex>L-1</tex>. Ясно, что можно повторить тоже самое еще <tex>L-1</tex> раз, и, таким образом мы выделим <tex>L</tex> реберно непересекающихся маршрутов.
+:Итак, найдем какой-нибудь маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах где поток равен <tex>1</tex>. Удалив все ребра находящиеся в этом маршруте и оставив все остальное неизменным, придем к целочисленному потоку величиной <tex>L-1</tex>. Ясно, что можно повторить тоже самое еще <tex>L-1</tex> раз, и, таким образом мы выделим <tex>L</tex> реберно непересекающихся маршрутов.
 }}
@@ Строка 37: / Строка 35: @@
 |statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> существует <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых <tex>(L-1)</tex> ребер существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
 |proof=
-:<tex>\Leftarrow</tex>
+:<tex>\Leftarrow</tex>  Как и прежде, пусть <tex>u</tex> {{---}} источник, а <tex>v</tex> {{---}} сток.
+:Назначим каждому ребру пропускную способность <tex>1</tex>. Тогда существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре (по лемме).
 :По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. Удалим в этом разрезе <tex>L-1</tex> ребер, и тогда, раз <tex>u</tex> и <tex>v</tex> находятся в разных частях разреза и, существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, то в разрезе останется хотя бы еще одно ребро. Это значит, что пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока не меньше <tex>L</tex>. А так как поток целочисленный, то это и означает, что найдется <tex> L</tex> реберно непересекающихся путей.
-:<tex>\Rightarrow</tex>
+:<tex>\Rightarrow</tex>  Существует <tex> L</tex> реберно непересекающихся путей, а значит, удалив любые <tex>L-1</tex> ребер хотя бы один путь останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает, что существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
 }}
@@ Строка 72: / Строка 67: @@
 * [[wikipedia:Menger's theorem | Wikipedia {{---}} Menger's theorem ]]
-==Литература==
+==Источники информации==
 * Ловас Л., Пламмер М. {{---}} '''Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии''' (глава 2.4 стр. 117) {{---}} 1998. {{---}} 656 с. {{---}} ISBN 5-03-002517-0
 * Харари Ф. '''Теория графов.''' глава 5 — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 ==Подготовка к доказательству==
-Для доказательства мы будем пользоваться развитой раннее [[Определение сети, потока|теорией потоков]]. Кроме базовых определений нам потребуется понятие [[Дополняющая сеть, дополняющий путь| остаточной сети]] (иначе - дополнительной сети), а также [[Теорема_Форда-Фалкерсона|теорема Форда-Фалкерсона]].
+Для доказательства мы будем пользоваться развитой раннее [[Определение сети, потока|теорией потоков]]. Кроме базовых определений нам потребуется понятие [[Дополняющая сеть, дополняющий путь| остаточной сети]] (иначе {{---}} дополнительной сети), а также [[Теорема_Форда-Фалкерсона|теорема Форда-Фалкерсона]].
 Кроме того, потребуется лемма о целочисленности потока, которую сейчас и докажем:
@@ Строка 9: / Строка 9: @@
 |statement=&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Если пропускные способности всех ребер целочисленные (сеть целочислена), то существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре.
 |proof=
-:Для доказательства достаточно рассмотреть [[Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину|алгоритм Форда-Фалкерсона]] для поиска максимального потока. Алгоритм делает примерно следующее (подробней - читай в соответствующей статье):
+:Для доказательства достаточно рассмотреть [[Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину|алгоритм Форда-Фалкерсона]] для поиска максимального потока. Алгоритм делает примерно следующее (подробней {{---}} читай в соответствующей статье):
 :''1.'' В начале берем какой-нибудь поток за начальный (например, нулевой).
@@ Строка 20: / Строка 20: @@
 }}
-И, наконец, сделаем немного более осознаным в общем-то и так интуитивно-понятное утверждение:
+И, наконец, сделаем немного более осознаным в общем-то и так интуитивно понятное утверждение:
 {{Утверждение
 |statement=Если в сети, где все пропускные способности ребер равны 1, существует целочисленный поток величиной <tex>L</tex> то существует и <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей.
 |proof=
-: Считаем, что <tex>u</tex> - источник, <tex>v</tex> - сток.
+: Считаем, что <tex>u</tex> {{---}} источник, <tex>v</tex> {{---}} сток.
 : В начале поймем, что если поток не нулевой, то существует маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах с потоком равным 1. В самом деле, если бы такого маршрута не существовало, то можно было бы выделить множество вершин до которых такие маршруты из вершины <tex>u</tex> существуют, не включающее <tex>v</tex>, и по нему построить разрез. Поток через такой разрез, очевидно равен нулю, видим противоречие (т.к. <tex>f(U,V)=|f|</tex>, смотри [[Разрез, лемма о потоке через разрез|первую лемму]]).
@@ Строка 39: / Строка 39: @@
 :<tex>\Leftarrow</tex>
-:Как и прежде, пусть <tex>u</tex> - источник, а <tex>v</tex> - сток.
+:Как и прежде, пусть <tex>u</tex> {{---}} источник, а <tex>v</tex> {{---}} сток.
 :Назначим каждому ребру пропускную способность 1. Тогда существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре (по лемме).
-:По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. Удалим в этом разрезе <tex>L-1</tex> ребер, и тогда, раз <tex>u</tex> и <tex>v</tex> находятся в разных частях разреза и, существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, то в разрезе останется хотя бы еще одно ребро. Это значит, что пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока не меньше <tex>L</tex>. А так как поток целочисленный, то это и означает, что <tex>\exists L</tex> реберно непересекающихся путей.
+:По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. Удалим в этом разрезе <tex>L-1</tex> ребер, и тогда, раз <tex>u</tex> и <tex>v</tex> находятся в разных частях разреза и, существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, то в разрезе останется хотя бы еще одно ребро. Это значит, что пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока не меньше <tex>L</tex>. А так как поток целочисленный, то это и означает, что найдется <tex> L</tex> реберно непересекающихся путей.
 :<tex>\Rightarrow</tex>
-:<tex>\exists L</tex> реберно непересекающихся путей, а значит, удалив любые <tex>L-1</tex> ребер хотя бы один путь останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает, что существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
+: существует <tex> L</tex> реберно непересекающихся путей, а значит, удалив любые <tex>L-1</tex> ребер хотя бы один путь останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает, что существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
 }}
@@ Строка 68: / Строка 68: @@
 </includeonly>
-==Смотри также==
+==См. также==
 *[[Теорема Менгера, альтернативное доказательство]]
 ==Литература==
-* Ловас Л., Пламмер М. '''Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии''' 1998. 656 с. ISBN 5-03-002517-0 (глава 2.4 стр. 117)
+* Ловас Л., Пламмер М. {{---}} '''Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии''' (глава 2.4 стр. 117) {{---}} 1998. {{---}} 656 с. {{---}} ISBN 5-03-002517-0
 [[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 [[Категория:Связность в графах]]

@@ Строка 35: / Строка 35: @@
 {{Теорема
 |about=Менгера о реберной двойственности в ориентированном графе
-|statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v\; \exists L</tex> реберно непересекающихся путей <tex>\Leftrightarrow</tex> после удаления  <tex>\forall L-1</tex> ребер <tex>\exists</tex> путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
+|statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> существует <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых <tex>(L-1)</tex> ребер существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
 |proof=
 :<tex>\Leftarrow</tex>
@@ Строка 41: / Строка 41: @@
 :Как и прежде, пусть <tex>u</tex> - источник, а <tex>v</tex> - сток.
 :Назначим каждому ребру пропускную способность 1. Тогда существует максимальный поток, целочисленный на каждом ребре (по лемме).
-:По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. Удалим в этом разрезе <tex>L-1</tex> ребер, и тогда раз <tex>u</tex> и <tex>v</tex> находятся в разных частях разреза, и <tex>\exists</tex> путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, то в разрезе останется хотя бы еще одно ребро. Значит пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока <tex>\geqslant L</tex>. А так как поток целочисленный, то это и означает, что <tex>\exists L</tex> реберно непересекающихся путей.
+:По теореме Форда-Фалкерсона для такого потока существует разрез с пропускной способностью равной потоку. Удалим в этом разрезе <tex>L-1</tex> ребер, и тогда, раз <tex>u</tex> и <tex>v</tex> находятся в разных частях разреза и, существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, то в разрезе останется хотя бы еще одно ребро. Это значит, что пропускная способность разреза и вместе с ним величина потока не меньше <tex>L</tex>. А так как поток целочисленный, то это и означает, что <tex>\exists L</tex> реберно непересекающихся путей.
 :<tex>\Rightarrow</tex>
-:<tex>\exists L</tex> реберно непересекающихся путей, а значит удалив любых <tex>L-1</tex> ребер хотя бы один путь останется останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает <tex>\exists</tex> путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
+:<tex>\exists L</tex> реберно непересекающихся путей, а значит, удалив любые <tex>L-1</tex> ребер хотя бы один путь останется не тронутым (принцип Дирихле). Это и означает, что существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
 }}
 {{Теорема
 |about=Менгера о вершинной двойственности в ориентированном графе
-|statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v\; \exists L</tex> вершинно непересекающихся путей <tex>\Leftrightarrow</tex> после удаления  <tex>\forall L-1</tex> вершин <tex>\exists</tex> путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
+|statement=Между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> существует <tex>L</tex> вершинно непересекающихся путей тогда и только тогда, когда после удаления любых <tex>(L-1)</tex> вершин существует путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>.
 |proof=
@@ Строка 56: / Строка 56: @@
 :[[Файл:Menger-vertex.JPG]]
-:''(все входящие ребра заходят в правую вершину, выходящие - из левой. между двумя новыми вершинами добавляем ребро)''
+:''(все входящие ребра заходят в левую вершину, исходящие выходят из правой. между двумя новыми вершинами добавляем ребро)''
 :Теперь задача практически сведена к первой теореме.
 :Необходимо лишь отметить, что если в старом графе пути вершинно пересекаются, то в новом графе пути необходимо реберно пересекаются и наоборот.
-:Кроме того, предложение "удалить в исходном графе <tex>\forall L</tex> вершин" можно заменять на "в новом графе можно удалить <tex>\forall L</tex> ребер" (достаточно выбирать вершины на концах этих ребер). Можно заменять и обратно, если учесть, что можно удалять ребра между парой вершин, которые раньше были одним целым.
+:Кроме того, предложение "удалить в исходном графе любые <tex>L</tex> вершин" можно заменять на "в новом графе можно удалить любые <tex>L</tex> ребер" (достаточно выбирать вершины на концах этих ребер). Можно заменять и обратно, если учесть, что можно удалять ребра между парой вершин, которые раньше были одним целым.
 }}
 <includeonly>

@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Для доказательства мы будем пользоваться развитой раннее [[Определение сети, потока|теорией потоков]]. Кроме базовых определений нам потребуется понятие [[Дополняющая сеть, дополняющий путь| остаточной сети]] (иначе - дополнительной сети), а также [[Теорема_Форда-Фалкерсона|теорема Форда-Фалкерсона]].
-Кроме того потребуется лемма о целочисленности потока, которую сейчас и докажем:
+Кроме того, потребуется лемма о целочисленности потока, которую сейчас и докажем:
 {{Лемма
 |about=о целочисленности потока
@@ Строка 72: / Строка 72: @@
 * Ловас Л., Пламмер М. '''Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии''' 1998. 656 с. ISBN 5-03-002517-0 (глава 2.4 стр. 117)
 [[Категория:Связность в графах]]

@@ Строка 24: / Строка 24: @@
 |statement=Если в сети, где все пропускные способности ребер равны 1, существует целочисленный поток величиной <tex>L</tex> то существует и <tex>L</tex> реберно непересекающихся путей.
 |proof=
-:В начале поймем, что если поток не нулевой, то существует маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах с потоком равным 1. В самом деле, если бы такого маршрута не существовало, то можно было бы выделить множество вершин до которых такие маршруты существуют, не включающее <tex>u</tex>, и по нему построить разрез. Поток через такой разрез, очевидно равен нулю, противоречие (<tex>f(S,T)=|f|</tex>, смотри [[Разрез, лемма о потоке через разрез|первую лемму]]).
+:В начале поймем, что если поток не нулевой, то существует маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах с потоком равным 1. В самом деле, если бы такого маршрута не существовало, то можно было бы выделить множество вершин до которых такие маршруты из вершины <tex>u</tex> существуют, не включающее <tex>v</tex>, и по нему построить разрез. Поток через такой разрез, очевидно равен нулю, видим противоречие (т.к. <tex>f(U,V)=|f|</tex>, смотри [[Разрез, лемма о потоке через разрез|первую лемму]]).
 :Итак, найдем какой-нибудь маршрут из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> лежащий только на ребрах где поток равен 1. Удалив все ребра находящиеся в этом маршруте и оставив все остальное неизменным, придем к целочисленному потоку величиной <tex>L-1</tex>. Ясно, что можно повторить тоже самое еще <tex>L-1</tex> раз, и, таким образом мы выделим <tex>L</tex> реберно непересекающихся маршрутов.