Теорема о непринадлежности XOR классу AC⁰ - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:15:16Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.220.102.8 в 05:46, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:46:47Z

Rost в 16:25, 28 июня 2012

2012-06-28T16:25:44Z

Rost в 16:03, 28 июня 2012

2012-06-28T16:03:30Z

Rost: Рамка вокруг леммы

2012-06-28T15:56:40Z

Рамка вокруг леммы

Rost: /* Теорема */

2012-06-27T13:16:55Z

‎Теорема

Rost в 13:08, 27 июня 2012

2012-06-27T13:08:30Z

Rost в 11:16, 27 июня 2012

2012-06-27T11:16:30Z

Rost: /* Теорема */

2012-06-27T11:10:43Z

‎Теорема

Rost в 11:03, 27 июня 2012

2012-06-27T11:03:20Z

← Предыдущая		Версия 16:15, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	{{В разработке}}		{{В разработке}}
	{{Определение		{{Определение

← Предыдущая		Версия 05:46, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	{{В разработке}}		{{В разработке}}
	{{Определение		{{Определение

@@ Строка 37: / Строка 37: @@
 |about=Hastad’s switching lemma
 |statement=
-Пусть функция <tex>f(x_1, ...,x_n)</tex> представима в виде <tex>k</tex>-[[ДНФ]], а <tex>p~-</tex> случайное назначение <tex>t</tex> случайно выбранным аргументам случайных значений. Тогда при <tex>s \ge 2</tex> верно, что: <br><tex>P[f|_p</tex> не представима в виде <tex>s</tex>-[[КНФ]]<tex>]\le\left(\frac{(n - t)k^{10}}{n}\right) ^ {s/2}</tex>, где <tex>f|_p</tex> получено при подстановке в функцию <tex>f</tex> значений из <tex>p</tex>.
+Пусть функция <tex>f(x_1, ...,x_n)</tex> представима в виде <tex>k</tex>-ДНФ, а <tex>p~-</tex> случайное назначение <tex>t</tex> случайно выбранным аргументам случайных значений. Тогда при <tex>s \ge 2</tex> верно, что: <br><tex>P[f|_p</tex> не представима в виде <tex>s</tex>-КНФ<tex>]\le\left(\frac{(n - t)k^{10}}{n}\right) ^ {s/2}</tex>, где <tex>f|_p</tex> получено при подстановке в функцию <tex>f</tex> значений из <tex>p</tex>.
 |proof=
 }}

@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 }}
-Предположим, что [[ДНФ]] <tex>C</tex> распознает язык <tex>\oplus</tex>. Каждый [[ДНФ|конъюнкт]] <tex>C</tex> зависит от всех входных значений. В противном случае допустим, что некоторый конъюнкт <tex>C</tex> не зависит от значения <tex>x_i</tex>. Тогда можно подобрать такие входные значения, при которых значение этого конъюнкта (а значит и <tex>C</tex>) будет равно <tex>1</tex> и не зависить от значения <tex>x_i</tex>. Однако при различных значениях <tex>x_i</tex> значение <tex>C</tex> должно изменяться, так как <tex>C</tex> распознает <tex>\oplus</tex>. Значит, предположение неверно, поэтому каждый конъюнкт <tex>C</tex> зависит от всех входных значений. Пусть <tex>C</tex> состоит из конъюнктов <tex>A_1</tex>, ..., <tex>A_t</tex>. Тогда для случайного входа <tex>x \sim \left\{ 0, 1 \right\} ^n</tex> верно, что <tex>P\left[C(x)=1\right] \le \sum\limits^{t}_{i=1} {P\left[ A_i(x) = 1 \right]} \le t\cdot2^{-n}</tex>. Поскольку <tex>P\left[ \oplus(x) = 1\right] = \frac{1}{2}</tex>, то <tex>t \ge 2^{n - 1}</tex>. Аналогичный результат можно получить и для [[КНФ]].
+Предположим, что [[ДНФ]] <tex>C</tex> распознает язык <tex>\oplus</tex>. Каждый [[ДНФ|конъюнкт]] <tex>C</tex> зависит от всех входных значений. В противном случае допустим, что некоторый конъюнкт <tex>C</tex> не зависит от значения <tex>x_i</tex>. Тогда можно подобрать такие входные значения, при которых значение этого конъюнкта (а значит и <tex>C</tex>) будет равно <tex>1</tex> и не зависить от значения <tex>x_i</tex>. Однако при различных значениях <tex>x_i</tex> значение <tex>C</tex> должно изменяться, так как <tex>C</tex> распознает <tex>\oplus</tex>. Значит, предположение неверно, поэтому каждый конъюнкт <tex>C</tex> зависит от всех входных значений. Пусть <tex>C</tex> состоит из конъюнктов <tex>A_1</tex>, ..., <tex>A_t</tex>. Тогда для случайного входа <tex>x \sim \left\{ 0, 1 \right\} ^n</tex> верно, что <tex>P\left[C(x)=1\right] \le \sum\limits^{t}_{i=1} {P\left[ A_i(x) = 1 \right]} \le t\cdot2^{-n}</tex>. Поскольку <tex>P\left[x \in \oplus\right] = \frac{1}{2}</tex>, то <tex>t \ge 2^{n - 1}</tex>. Аналогичный результат можно получить и для [[КНФ]].
 Отсюда и возникает вопрос: можно ли распознавать <tex>\oplus</tex> схемой полиномиального размера и постоянной глубиной?

@@ Строка 33: / Строка 33: @@
 . Индукционный переход. Допустим, что после <tex>i</tex>-ого шага глубина схемы будет <tex>d - i</tex>, причем наибольшая степень входа элемента на нижнем уровне не будет превосходить <tex>k_i</tex>. Если нижний уровень схемы состоит из <tex>\land</tex> элементов, тогда уровень выше <tex>-</tex> из элементов <tex>\lor</tex>. Каждый <tex>\lor</tex> элемент можно считать <tex>k_i</tex>-ДНФ. Воспользуемся следующей леммой:
 {{Лемма
 |about=Hastad’s switching lemma
@@ Строка 40: / Строка 41: @@
 }}
 '''Замечание.''' Для функции <tex>\overline{f}</tex> можно получить такой же результат, изменив КНФ на ДНФ и наоборот.
+</div>
 Пусть <tex>s = k_{i+1}</tex>, <tex>n~-</tex> число входов схемы, соответствующих рассматриваемому элементу <tex>\lor</tex>. Тогда в качестве <tex>t</tex> возьмем <tex>n - \frac{n}{\sqrt{n_i}}</tex>. Значит, с вероятностью не менее <tex>\left(\frac{k_i^{10}}{\sqrt{n_i}}\right) ^ {k_{i+1}/2}</tex> функцию нельзя представить в виде <tex>k_{i+1}</tex>-КНФ. Поскольку <tex>t</tex> выбиралось таким образом, то при переходе к следующему шагу число входов схемы уменьшилось в <tex>\sqrt{n_i}</tex> раз, поэтому <tex>n_i = n_0^{1/2^i}.</tex> Тогда при достаточно больших <tex>n_0</tex> верно, что <tex>\left(\frac{k_i^{10}}{\sqrt{n_i}}\right) ^ {k_{i+1}/2} = \left(\frac{k_i^{10}}{n_0^{1/2^{i+1}}}\right) ^ {k_{i+1}/2} \le \frac{1}{10n_0^b}</tex>. В итоге получаем, что <tex>k_i</tex>-ДНФ можно переписать в виде <tex>k_{i+1}</tex>-КНФ с вероятностью не менее <tex>1 - \frac{1}{10n_0^b}</tex>. Поскольку верхний уровень КНФ состоит из <tex>\land</tex> элементов, также как и уровень над КНФ, то их можно объединить, уменьшив при этом глубину схемы на <tex>1</tex>. Аналогично рассматриваем случай, когда нижний уровень схемы состоит из <tex>\lor</tex> элементов.

@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 |proof=
 ===Основная идея===
-Допустим, что схема из [[Классы NC и AC| класса]] <tex>\mathrm{AC^0}</tex> распознает язык <tex>\oplus</tex>. Оказывается, что с высокой вероятностью схему из класса <tex>\mathrm{AC^0}</tex> можно представить в виде <tex>k</tex>-КНФ или <tex>k</tex>-ДНФ, причем <tex>k</tex> не зависит от числа входов схемы. Для этого строится [[Теорема о непринадлежности XOR классу AC⁰#Технические подробности|итеративный процесс]], на каждом шаге которого некоторые случайно выбранные входные значения заменяются на случайные значения. Поскольку степень входа не ограничена, то рассмотрим содержательный случай, когда <tex>k</tex>  меньше числа входов схемы. Если с вероятностью <tex>\frac{1}{2}</tex> входу полученной схемы назначается значение, то с вероятностью не менее <tex>\frac{1}{2^k}</tex> значение схемы будет постоянным. Поскольку эта вероятность больше нуля, то для произвольной схемы из класса <tex>\mathrm{AC^0}</tex> можно подобрать значения части входов так, чтобы значение функции было постоянным и не зависит от остальных входных значений, поэтому ни одна схема из этого класса не может распознавать язык <tex>\oplus</tex>.
+Допустим, что схема из [[Классы NC и AC| класса]] <tex>\mathrm{AC^0}</tex> распознает язык <tex>\oplus</tex>. Оказывается, что с высокой вероятностью схему из класса <tex>\mathrm{AC^0}</tex> можно представить в виде <tex>k</tex>-КНФ или <tex>k</tex>-ДНФ, причем <tex>k</tex> не зависит от числа входов схемы. Для этого строится [[Теорема о непринадлежности XOR классу AC⁰#Технические подробности|итеративный процесс]], на каждом шаге которого некоторые случайно выбранные входные значения заменяются случайными. Поскольку степень входа не ограничена, то рассмотрим содержательный случай, когда <tex>k</tex>  меньше числа входов схемы. Если с вероятностью <tex>\frac{1}{2}</tex> входу полученной схемы назначается значение, то с вероятностью не менее <tex>\frac{1}{2^k}</tex> значение схемы будет постоянным. Поскольку эта вероятность больше нуля, то для произвольной схемы из класса <tex>\mathrm{AC^0}</tex> можно подобрать значения части входов так, чтобы значение функции было постоянным и не зависит от остальных входных значений, поэтому ни одна схема из этого класса не может распознавать язык <tex>\oplus</tex>.
 ===Технические подробности===

@@ Строка 28: / Строка 28: @@
 [[Файл:beforeHastadSwitchingTransformation.png|600x250px|thumb|center|Схема на <tex>i</tex>-ом шаге.]]
-===Hastad’s switching lemma===
+Докажем по индукции, что после <tex>i</tex>-ого шага с достаточно большой вероятностью глубина схемы будет <tex>d - i</tex>, причем наибольшая степень входа элемента на нижнем уровне не будет превосходить <tex>k_i</tex>.
 {{Лемма
 |statement=
 Пусть функция <tex>f(x_1, ...,x_n)</tex> представима в виде <tex>k</tex>-[[ДНФ]], а <tex>p~-</tex> случайное назначение <tex>t</tex> случайно выбранным аргументам случайных значений. Тогда при <tex>s \ge 2</tex> верно, что: <br><tex>P[f|_p</tex> не представима в виде <tex>s</tex>-[[КНФ]]<tex>]\le\left(\frac{(n - t)k^{10}}{n}\right) ^ {s/2}</tex>, где <tex>f|_p</tex> получено при подстановке в функцию <tex>f</tex> значений из <tex>p</tex>.
@@ Строка 36: / Строка 41: @@
 '''Замечание.''' Для функции <tex>\overline{f}</tex> можно получить такой же результат, изменив КНФ на ДНФ и наоборот.
-Докажем по индукции, что после <tex>i</tex>-ого шага с достаточно большой вероятностью глубина схемы будет <tex>d - i</tex>, причем наибольшая степень входа элемента на нижнем уровне не будет превосходить <tex>k_i</tex>.
+Пусть <tex>s = k_{i+1}</tex>, <tex>n~-</tex> число входов схемы, соответствующих рассматриваемому элементу <tex>\lor</tex>. Тогда в качестве <tex>t</tex> возьмем <tex>n - \frac{n}{\sqrt{n_i}}</tex>. Значит, с вероятностью не менее <tex>\left(\frac{k_i^{10}}{\sqrt{n_i}}\right) ^ {k_{i+1}/2}</tex> функцию нельзя представить в виде <tex>k_{i+1}</tex>-КНФ. Поскольку <tex>t</tex> выбиралось таким образом, то при переходе к следующему шагу число входов схемы уменьшилось в <tex>\sqrt{n_i}</tex> раз, поэтому <tex>n_i = n_0^{1/2^i}.</tex> Тогда при достаточно больших <tex>n_0</tex> верно, что <tex>\left(\frac{k_i^{10}}{\sqrt{n_i}}\right) ^ {k_{i+1}/2} = \left(\frac{k_i^{10}}{n_0^{1/2^{i+1}}}\right) ^ {k_{i+1}/2} \le \frac{1}{10n_0^b}</tex>. В итоге получаем, что <tex>k_i</tex>-ДНФ можно переписать в виде <tex>k_{i+1}</tex>-КНФ с вероятностью не менее <tex>1 - \frac{1}{10n_0^b}</tex>. Поскольку верхний уровень КНФ состоит из <tex>\land</tex> элементов, также как и уровень над КНФ, то их можно объединить, уменьшив при этом глубину схемы на <tex>1</tex>. Аналогично рассматриваем случай, когда нижний уровень схемы состоит из <tex>\lor</tex> элементов.
 [[Файл:afterHastadSwitchingTransformation.png|600x250px|thumb|center|Схема после применения леммы.]]