Теория Гильберта-Шмидта - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:33:48Z

rollbackEdits.php mass rollback

88.208.225.209 в 04:15, 1 сентября 2022

2022-09-01T04:15:45Z

178.162.45.109: /* Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество */

2015-06-24T11:00:52Z

‎Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество

178.162.45.109: /* Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество */

2015-06-24T09:48:27Z

‎Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество

178.162.45.109 в 09:22, 24 июня 2015

2015-06-24T09:22:40Z

Rybak: заголовок

2013-06-12T23:40:05Z

заголовок

178.66.99.109 в 22:55, 12 июня 2013

2013-06-12T22:55:43Z

Rybak в 11:34, 12 июня 2013

2013-06-12T11:34:30Z

Внесённые изменения

AVasilyev: /* Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество */

2013-06-12T08:23:30Z

‎Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество

Komarov: /* Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество */

2013-06-12T08:14:07Z

‎Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество

← Предыдущая		Версия 16:33, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	{{В разработке}}		{{В разработке}}

← Предыдущая		Версия 04:15, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	{{В разработке}}		{{В разработке}}

@@ Строка 106: / Строка 106: @@
 {{Определение
 |definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>
 <tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>

@@ Строка 91: / Строка 91: @@
 <tex>\implies</tex>: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>, то есть резольвентный оператор определен.
-<tex>\left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \le \left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\| \| (\lambda I - A) x\|</tex>
+<tex>\left\| (\lambda I - A)^{-1} (\lambda I - A) x\right\| \le \left\| (\lambda I - A)^{-1} \right\| \| (\lambda I - A) x\|</tex>
-Возьмем <tex>m=\frac{1}{\left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\|}</tex>, тогда:
+Возьмем <tex>m=\frac{1}{\left\| (\lambda I - A)^{-1} \right\|}</tex>, тогда:
-<tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \|x\|</tex>
+<tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| (\lambda I - A)^{-1} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \|x\|</tex>
 <tex>\Longleftarrow</tex>: Существование резольвентного оператора, определенного на <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) </tex> следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]. Покажем, что <tex> R(\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A}) = \mathcal{H} </tex>. По одному из предыдущих утверждений, <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>. Поскольку <tex> \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\| </tex>, то <tex> \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{ 0 \} </tex>. Так как оператор <tex> \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A} </tex> допускает, по условию, априорную оценку решений, то <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>, откуда следует, что резольвентный оператор непрерывен и определен на всем <tex> \mathcal{H} </tex>.

@@ Строка 54: / Строка 54: @@
 * Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>:
-из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, так как для <tex>\lambda \notin \mathbb R</tex>, <tex>|\nu| \ne 0</tex>.
+из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\lambda \mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, так как для <tex>\lambda \notin \mathbb R</tex>, <tex>|\nu| \ne 0</tex>.
 <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.

@@ Строка 218: / Строка 218: @@
 Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространством, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex>.
 }}
 Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов <tex>\varphi_1, \ldots \varphi_n, \ldots</tex>.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{В разработке}}
+[[Альтернатива Фредгольма — Шаудера|<<]][[О нелинейных операторных уравнениях|>>]]
 __TOC__

@@ Строка 96: / Строка 96: @@
 <tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \|x\|</tex>
-<tex>\Longleftarrow</tex>: существование резольвентного оператора следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]
+<tex>\Longleftarrow</tex>: Существование резольвентного оператора, определенного на <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) </tex> следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]. Покажем, что <tex> R(\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A}) = \mathcal{H} </tex>. По одному из предыдущих утверждений, <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>. Поскольку <tex> \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\| </tex>, то <tex> \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{ 0 \} </tex>. Так как оператор <tex> \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A} </tex> допускает, по условию, априорную оценку решений, то <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>, откуда следует, что резольвентный оператор непрерывен и определен на всем <tex> \mathcal{H} </tex>.
-{{TODO|t=почему-то не используется самосопряженность}}
+Второй пункт — просто логическое отрицание первого.
 }}

@@ Строка 162: / Строка 162: @@
 <tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex>
-<tex>|\langle \mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 = \|\mathcal{L}x_n\|^4</tex>, <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \to 0</tex>, <tex>\langle\mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle \le \|\mathcal{L}^2x_n\|\cdot\|\mathcal{L}x_n\| \le \|\mathcal{L}\|^3 \cdot \|x_n\|^2[=1] = \|\mathcal{L}\|^3 \le M</tex>
+<tex>\|\mathcal{L}x_n\|^4 = |\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> [по неравенству выше] <tex>\langle\mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n\rangle</tex>. Первый множитель стремится к нулю. Проверив ограниченность второго, убедимся, что <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex>.
 }}