Участник:Iloskutov/Матан 4сем - История изменений

95.161.239.103: /* Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры */

2016-04-12T16:14:33Z

‎Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры

95.161.239.103: /* Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру */

2016-04-12T16:13:43Z

‎Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру

95.161.239.103: /* Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры */

2016-04-12T15:39:46Z

‎Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры

95.161.239.103: /* Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру */

2016-04-12T15:05:31Z

‎Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру

95.161.239.103: /* Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру */

2016-04-12T14:44:58Z

‎Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру

188.162.65.17: /* Коэффициенты Фурье функции */

2015-09-12T15:48:53Z

‎Коэффициенты Фурье функции

194.85.161.2: /* Коэффициенты Фурье функции */

2015-06-26T18:44:16Z

‎Коэффициенты Фурье функции

194.85.161.2: /* Условие L_loc */

2015-06-26T18:36:11Z

‎Условие L_loc

194.85.161.2: /* Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде */

2015-06-26T16:26:42Z

‎Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде

194.85.161.2: /* Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде */

2015-06-26T15:54:58Z

‎Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде

@@ Строка 453: / Строка 453: @@
 Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
 |proof=
-Это очевидно верно, если <tex>f --</tex> характеристическая функция. По линейности интеграла это также верно и для простой неотрицательной <tex>f</tex>.
+Это очевидно верно, если <tex>f -</tex> характеристическая функция. По линейности интеграла это также верно и для простой неотрицательной <tex>f</tex>.
 Для произвольной неотрицательной <tex>f</tex> рассмотрим последовательность простых неотрицательных функций <tex>f_n</tex> и по теореме Леви (предельный переход) теорем доказана для неотрицательных <tex>f</tex>.

@@ Строка 429: / Строка 429: @@
 Пусть <tex>x \in X, y_0 + h \in Y, h \not = 0</tex><br>
 <tex>F(x, h) = \frac{f(x, y_0 + h) - f(x, y_0)}{h}</tex> <br>
-Т.к. <tex>\frac{I(y_0 + h) - I(y_0)}{h} = \int\limits_X \frac{f(x, y_0 - h) - f(x, y_0)}{h} d\mu(x) = \int\limits_X F(x, h) d\mu(x)</tex>, то при <tex>h \rightarrow 0</tex> сразу будет следовать теорема. Для доказательства законности этого перехода докажем, что <tex>F</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в <tex>h = 0</tex>:
+Т.к. <tex>\frac{I(y_0 + h) - I(y_0)}{h} = \int\limits_X \frac{f(x, y_0 + h) - f(x, y_0)}{h} d\mu(x) = \int\limits_X F(x, h) d\mu(x)</tex>, то при <tex>h \rightarrow 0</tex> сразу будет следовать теорема. Для доказательства законности этого перехода докажем, что <tex>F</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в <tex>h = 0</tex>:
 <tex>f'_y</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}</tex>, поэтому найдутся такие <tex>\delta</tex> и <tex>g</tex>, что <tex>|f'_y(x, y)| \leq g(x)</tex> при почти всех <tex>x</tex> и при <tex>y \in Y, 0 < |y - y_0| < \delta</tex>.

@@ Строка 453: / Строка 453: @@
 Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
 |proof=
 }}

@@ Строка 425: / Строка 425: @@
 # <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
 # <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
-# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex><br>Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
+# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex><br>Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
 |proof=
 }}

@@ Строка 414: / Строка 414: @@
 # <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <br> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> <br> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
 |proof=
 }}

@@ Строка 213: / Строка 213: @@
 Можно вычислить по формулам:
 <tex>
 a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \cos kx \,dx \\
 b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \sin kx \,dx \\

@@ Строка 215: / Строка 215: @@
 a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \cos kx \,dx \\
 b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \sin kx \,dx \\
-c_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \exp(ikx) \,dx </tex>
+c_k = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \exp(-ikx) \,dx </tex>
 }}

@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 {{Определение
 |definition=
-<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> — суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex><br>
+<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> — суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| \le g(x)</tex><br>
 Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
 }}

@@ Строка 376: / Строка 376: @@
 <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n \colon X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде <br>
 <tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex><br>
-Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
+Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\displaystyle\int |f-f_n|d\mu \to 0, \int_X f_n \to \int_X f</tex>
 |proof=
 }}

@@ Строка 374: / Строка 374: @@
 {{Теорема
 |statement=
-<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде <br>
+<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n \colon X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде <br>
 <tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex><br>
 Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>