Участник:Mk17.ru - История изменений

77.222.104.138 в 13:19, 2 сентября 2020

2020-09-02T13:19:52Z

31.173.120.2: /* Задача о разорении игрока */

2020-09-02T13:10:58Z

‎Задача о разорении игрока

31.173.120.2: /* Задача о разорении игрока */

2020-09-02T13:09:51Z

‎Задача о разорении игрока

77.222.104.138: /* Задача о разорении игрока */

2020-09-02T13:03:46Z

‎Задача о разорении игрока

77.222.104.138: /* Задача о разорении игрока */

2020-09-02T12:52:15Z

‎Задача о разорении игрока

31.173.120.2: /* Задача о разорении игрока */

2020-09-02T12:51:20Z

‎Задача о разорении игрока

31.173.100.152: /* Вероятность смещения на d единиц вправо (влево) */

2020-06-06T21:13:05Z

‎Вероятность смещения на d единиц вправо (влево)

31.173.100.152: /* Вероятность смещения на d единиц вправо (влево) */

2020-06-06T21:12:04Z

‎Вероятность смещения на d единиц вправо (влево)

31.173.100.152: /* Вероятность смещения на d единиц вправо (влево) */

2020-06-06T21:07:23Z

‎Вероятность смещения на d единиц вправо (влево)

31.173.100.152: /* Вероятность смещения на d единиц вправо (влево) */

2020-06-06T21:05:43Z

‎Вероятность смещения на d единиц вправо (влево)

@@ Строка 56: / Строка 56: @@
 образом,
 *<tex>P = p^k \cdot q^{n−k}+...+p^k \cdot q^{n−k}={C_{n}^k} p^k q^{n−k}.</tex>
 == Задача о разорении игрока ==

@@ Строка 106: / Строка 106: @@
 *<tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex>
-при любых <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в <tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex>, при <tex>k = 0</tex> и <tex>k = n</tex> получим
+при любых <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в <tex> f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex>, при <tex>k = 0</tex> и <tex>k = n</tex> получим
 <tex>\quad C_1 + C_2 = 0, \quad C_1 + (\frac{q}{p})^nC_2 = 1.</tex>
-Отсюда и из <tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> находим
+Отсюда и из <tex>f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> находим
 *<tex>\quad p_{kn} = \frac{(1 − q/p)^k}{(1 − (q/p)^n)}.</tex>

@@ Строка 104: / Строка 104: @@
 Значит, функции <tex>\lambda_1^k</tex> и <tex>\lambda_2^k</tex> удовлетворяют уравнению <tex>(2.2)</tex>. Линейная комбинация
-*<tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> <tex>(2.3)</tex>
+*<tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex>
-при любых <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в <tex>(2.3)</tex>, при <tex>k = 0</tex> и <tex>k = n</tex> получим
+при любых <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в <tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex>, при <tex>k = 0</tex> и <tex>k = n</tex> получим
 <tex>\quad C_1 + C_2 = 0, \quad C_1 + (\frac{q}{p})^nC_2 = 1.</tex>
-Отсюда и из <tex>(2.3)</tex> находим
+Отсюда и из <tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> находим
 *<tex>\quad p_{kn} = \frac{(1 − q/p)^k}{(1 − (q/p)^n)}.</tex>

@@ Строка 104: / Строка 104: @@
 Значит, функции <tex>\lambda_1^k</tex> и <tex>\lambda_2^k</tex> удовлетворяют уравнению <tex>(2.2)</tex>. Линейная комбинация
-*<tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> [[<tex>(2.3)</tex>]]
+*<tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> <tex>(2.3)</tex>
 при любых <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в <tex>(2.3)</tex>, при <tex>k = 0</tex> и <tex>k = n</tex> получим

@@ Строка 104: / Строка 104: @@
 Значит, функции <tex>\lambda_1^k</tex> и <tex>\lambda_2^k</tex> удовлетворяют уравнению <tex>(2.2)</tex>. Линейная комбинация
-*<tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> <tex>\textcolor{blue} (2.3)</tex>
+*<tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> [[<tex>(2.3)</tex>]]
 при любых <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в <tex>(2.3)</tex>, при <tex>k = 0</tex> и <tex>k = n</tex> получим

@@ Строка 68: / Строка 68: @@
 <tex>\quad\xi_{t+1} = \xi_t + \eta_t,\quad P\{\eta_t = 1|\xi_t ≠ 0 ∨ \xi_t ≠ n\} = p,\quad P\{\eta_t = −1|\xi_t ≠ 0 ∨ \xi_t ≠ n\} = q</tex> и
-<tex>\quad P\{\eta = 0|\xi_t = 0 ∨ \xi_t = n\} = 1. </tex> (2.1)
+<tex>\quad P\{\eta = 0|\xi_t = 0 ∨ \xi_t = n\} = 1. </tex> <tex>(2.1)</tex>
 Вероятность выигрыша для первого игрока в момент времени <tex>t</tex> есть <tex>p_{kn}(t) = P\{\eta_t = n|\eta_0 = k\}</tex>
@@ Строка 89: / Строка 89: @@
 <tex> \quad \quad p_{kn} = P(A) = \lim_{t\to\infty}P\{\xi_t = n|\xi_0 = k\} = \lim_{t\to\infty}p_{kn}(t).</tex>
-Переходя к пределу в (2.1) при <tex>t → ∞</tex>, получим
+Переходя к пределу в <tex>(2.1)</tex> при <tex>t → ∞</tex>, получим
 <tex>\quad \quad p_{kn} = p \cdot p_{k+1,n} + q \cdot p_{k−1,n}</tex>
@@ Строка 95: / Строка 95: @@
 Так как <tex>p_{kn}</tex> вероятность выигрыша для первого игрока, то <tex>p_{0n} = 0, p_{nn} = 1</tex>. Рассматриваемая как функция от <tex>k</tex>, вероятность <tex>p_{kn}</tex> является решением уравнения в конечных разностях
-*<tex> \quad \quad p \cdot f_{k+1} − f_{k} + q \cdot f_{k−1} = 0 </tex> (2.2)
+*<tex> \quad \quad p \cdot f_{k+1} − f_{k} + q \cdot f_{k−1} = 0 </tex> <tex>(2.2)</tex>
 удовлетворяющим граничным условиям <tex>f_0 = 0 \quad f_n = 1</tex>. Теория решения таких уравнений аналогична
@@ Строка 102: / Строка 102: @@
 Пусть сначала <tex>p ≠ q</tex>. Решение будем искать в виде <tex>f_k = \lambda^k</tex>, где <tex>\lambda</tex> является корнем характеристического уравнения <tex>p\lambda^2 − \lambda + q = 0</tex>. Корнями такого уравнения являются <tex>\lambda_1 = 1, \lambda_2 = \frac{q}{p}</tex>.
-Значит, функции <tex>\lambda_1^k</tex> и <tex>\lambda_2^k</tex> удовлетворяют уравнению (2.2). Линейная комбинация
+Значит, функции <tex>\lambda_1^k</tex> и <tex>\lambda_2^k</tex> удовлетворяют уравнению <tex>(2.2)</tex>. Линейная комбинация
-*<tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> (2.3)
+*<tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> <tex>\textcolor{blue} (2.3)</tex>
-при любых <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в (2.3), при <tex>k = 0</tex> и <tex>k = n</tex> получим
+при любых <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в <tex>(2.3)</tex>, при <tex>k = 0</tex> и <tex>k = n</tex> получим
 <tex>\quad C_1 + C_2 = 0, \quad C_1 + (\frac{q}{p})^nC_2 = 1.</tex>
-Отсюда и из (2.3) находим
+Отсюда и из <tex>(2.3)</tex> находим
 *<tex>\quad p_{kn} = \frac{(1 − q/p)^k}{(1 − (q/p)^n)}.</tex>
-Вероятности выигрыша первым игроком <tex>p_{k0}</tex> тоже удовлетворяют уравнению (2.2). Но граничными
+Вероятности выигрыша первым игроком <tex>p_{k0}</tex> тоже удовлетворяют уравнению <tex>(2.2)</tex>. Но граничными
 условиями станут <tex>f_0 = 1, f_n = 0.</tex> Определяя из этих условий <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex>, получим
@@ Строка 121: / Строка 121: @@
 Так как <tex>p_{k0} + p_{kn} = 1</tex>, то с вероятностью <tex>1</tex> один из игроков выиграет.
-Пусть теперь <tex>p = q = 0.5</tex>. В этом случае <tex>\lambda_1 = \lambda_2 = 1</tex> и решение уравнения (2.2) нужно искать в виде <tex>f_k = C_1 + kC_2 .</tex>
+Пусть теперь <tex>p = q = 0.5</tex>. В этом случае <tex>\lambda_1 = \lambda_2 = 1</tex> и решение уравнения <tex>(2.2)</tex> нужно искать в виде <tex>f_k = C_1 + kC_2 .</tex>
 С помощью граничных условий находим

@@ Строка 33: / Строка 33: @@
 влево) задаётся формулой:
-*<tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = 0, 1, . . . , n </tex>     <tex>(1)</tex>
+*<tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = 0, 1, . . . , n </tex>
 Смещение частицы и число прыжков влево и вправо связаны уравнением
-*<tex>d = 1 · k + (−1) · (n − k) = 2k − n \quad</tex>  <tex>(2)</tex>
+*<tex>d = 1 · k + (−1) · (n − k) = 2k − n \quad</tex>
 откуда <tex>k = \frac{(n + d)}{2}</tex>. Понятно, что, поскольку частица сделала ровно <tex>n</tex> прыжков,

@@ Строка 36: / Строка 36: @@
 Смещение частицы и число прыжков влево и вправо связаны уравнением
-*<tex>d = 1 · k + (−1) · (n − k) = 2k − n \quad</tex>  <tex>(2)</tex> ''' Такие собственные сноски тоже лучше делать кликабельными. Можно вынести их в отдельные разделы статьи'''
+*<tex>d = 1 · k + (−1) · (n − k) = 2k − n \quad</tex>  <tex>(2)</tex>
 откуда <tex>k = \frac{(n + d)}{2}</tex>. Понятно, что, поскольку частица сделала ровно <tex>n</tex> прыжков,
 число прыжков вправо должно быть целым числом в интервале <tex>[0, n]</tex>, другими словами, <tex>P(\xi_n = m + d) = 0,</tex> если <tex>k = \frac{(n + d)}{2}, k \notin \{0, 1, . . . , n\}</tex>. Если же указанное
-ограничение выполнено, то в рамках нашей модели блужданий мы можем воспользоваться распределением Бернулли <tex>(1)</tex>: '''вот тут хочется кликнуть на (1)'''
+ограничение выполнено, то в рамках нашей модели блужданий мы можем воспользоваться распределением Бернулли <tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}</tex>:
 *<tex> P(\xi_n = m + d) = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = \frac{(n + d)}{2} </tex>, при обязательном условии <tex>k ∈ {0, 1, . . . , n}.</tex>
@@ Строка 47: / Строка 47: @@
 '''Замечания'''.
-<tex>1)</tex> Ограничение <tex>0 \leq k \leq n </tex> по формуле <tex>(2)</tex> влечёт <tex>|d| \leq n</tex>. Это можно понять и без расчётов: если <tex>|d| > n</tex>, то частица не успевает дойти из начальной в конечную точку за <tex>n</tex> шагов.
+<tex>1)</tex> Ограничение <tex>0 \leq k \leq n </tex> по формуле <tex>d = 1 · k + (−1) · (n − k) = 2k − n</tex> влечёт <tex>|d| \leq n</tex>. Это можно понять и без расчётов: если <tex>|d| > n</tex>, то частица не успевает дойти из начальной в конечную точку за <tex>n</tex> шагов.
 <tex>2)</tex> При своём движении частица случайным образом выбирает одну из возможных траекторий. Для перехода из точки
 <tex>m</tex> в точку <tex>m</tex> за <tex>n</tex> шагов возможными являются все те и только те траектории длины
 <tex>n</tex>, в которых ровно <tex>k</tex> смещений вправо и <tex>n − k</tex> смещений влево, где <tex>k = \frac{(n +
-d)}{2}</tex>. Равенство <tex>(1)</tex> при этом можно интерпретировать так: вероятность того, что частица пройдет по одной из
+d)}{2}</tex>. Равенство <tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}</tex> при этом можно интерпретировать так: вероятность того, что частица пройдет по одной из
 возможных траекторий, равна  <tex>p^k q^{n−k}</tex>, и всего существуют <tex>{C_{n}^k}</tex> таких траекторий, таким
 образом,