Участник:Yulya3102/Матан - История изменений

194.85.161.2: /* Критерий монотонности функции */

2014-06-25T18:46:49Z

‎Критерий монотонности функции

194.85.161.2: /* Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0 */

2014-06-25T18:42:27Z

‎Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0

217.66.159.57: /* Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0 */

2014-06-23T14:59:44Z

‎Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0

Yulya3102 в 16:20, 15 января 2013

2013-01-15T16:20:22Z

Yulya3102: /* Список */

2012-06-27T20:04:29Z

‎Список

Yulya3102: /* Предел римановых сумм */

2012-06-27T20:03:43Z

‎Предел римановых сумм

Yulya3102 в 12:23, 27 июня 2012

2012-06-27T12:23:14Z

Yulya3102: /* Определения и факты */

2012-06-27T12:21:06Z

‎Определения и факты

Внесённые изменения

Yulya3102: /* Неравенство Минковского */

2012-06-27T08:07:36Z

‎Неравенство Минковского

194.85.161.2: /* Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками */

2012-06-26T15:14:33Z

‎Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками

@@ Строка 153: / Строка 153: @@
 |proof=1. Необходимость. Пусть ''f'' возрастает. Возьмем <tex>x \in (a, b)</tex>. Тогда <tex>f(y) \ge f(x) \ \forall x \in (a, b \rangle</tex> , поэтому
-<tex>f'(x) = f'_+(x) = \underset{y \to x+}{lim}{f(y) - f(x) \over y - x} \ge 0</tex>.
+<tex>f'(x) = f'_+(x) = \underset{y \to x+}{\lim}{f(y) - f(x) \over y - x} \ge 0</tex>.
 . Достаточность. Пусть <tex>f'(x) \ge 0 \ \forall x \in \langle a, b\rangle</tex> . Возьмем <tex>x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 < x_2</tex>, и докажем, что <tex>f(x_1) \le f(x_2)</tex>. По теореме Лагранжа <tex>\exists c \in (x_1, x_2)</tex>:

@@ Строка 58: / Строка 58: @@
 <tex>g'(t) \ne 0</tex> для любого <tex>t \in (a, b)</tex>,
-<tex>\underset {x \to a+}{\lim}  f(x) = \underset{x \to a+}{lim} g(x) = 0</tex>
+<tex>\underset {x \to a+}{\lim}  f(x) = \underset{x \to a+}{\lim} g(x) = 0</tex>
-и существует предел <tex>\underset{x \to a+}{lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}</tex>.
+и существует предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}</tex>.
-Тогда предел <tex>\underset{x \to a+}{lim} {{f(x)} \over {g(x)}}</tex> также существует и равен ''A''.
+Тогда предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}}</tex> также существует и равен ''A''.
 |proof=1. Пусть <tex>a \in \mathbb{R}</tex>. Доопределим функции в точке ''a'' нулём: <tex>f(a) = g(a) = 0</tex>. Тогда доопределенные функции ''f'' и ''g'' будут непрерывны на ''[a, b)''. Возьмем последовательность <tex>\{ x_n \} : x_n \in (a, b), x_n \to a</tex>, и докажем, что <tex>{{f(x_n)} \over {g(x_n)}} \to A</tex>. Функции ''f'' и ''g'' удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом отрезке <tex>[a, x_n]</tex>. Поэтому для любого <tex>n \in \mathbb{N}</tex> найдется такая точка <tex>c_n \in (a, x_n)</tex>, что

@@ Строка 65: / Строка 65: @@
 |proof=1. Пусть <tex>a \in \mathbb{R}</tex>. Доопределим функции в точке ''a'' нулём: <tex>f(a) = g(a) = 0</tex>. Тогда доопределенные функции ''f'' и ''g'' будут непрерывны на ''[a, b)''. Возьмем последовательность <tex>\{ x_n \} : x_n \in (a, b), x_n \to a</tex>, и докажем, что <tex>{{f(x_n)} \over {g(x_n)}} \to A</tex>. Функции ''f'' и ''g'' удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом отрезке <tex>[a, x_n]</tex>. Поэтому для любого <tex>n \in \mathbb{N}</tex> найдется такая точка <tex>c_n \in (a, x_n)</tex>, что
-<tex> {{f(x_n} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}</tex>.
+<tex> {{f(x_n)} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}</tex>.
 По [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема о сжатой последовательности|теореме о сжатой последовательности]] <tex>c_n \to a</tex>. По [[Участник:Katyatitkova/Матан#Односторонние пределы|определению правостороннего предела]] на языке последовательностей <tex>{f'(c_n) \over g'(c_n)} \to A</tex>, а тогда в силу произвольности <tex> \{x_n\}</tex> и <tex>{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A</tex>.

← Предыдущая		Версия 16:20, 15 января 2013
Строка 2:		Строка 2:

	[https://docs.google.com/file/d/0BxonEwMjsbpWbEx2QzFNUW9TVS1pdTVCSm8wWXU1Zw/edit Виноградов]		[https://docs.google.com/file/d/0BxonEwMjsbpWbEx2QzFNUW9TVS1pdTVCSm8wWXU1Zw/edit Виноградов]
−
−	~~Я за вами слежу. Вандалы будут выебаны в жопу. А за поней будет выебан Юрик.~~

	== Основные вопросы ==		== Основные вопросы ==

@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 * '''Теорема о свойствах неопределенного интеграла'''
 * Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие
 * ''Интегрируемость модуля интегрируемой функции''
 * ''Интегрируемость произведения''

← Предыдущая		Версия 20:03, 27 июня 2012
Строка 567:		Строка 567:

	=== Предел римановых сумм ===		=== Предел римановых сумм ===
		+	{{Определение
		+	\|definition=
		+	Пусть <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex>. Число <tex> I </tex> называют '''пределом интегральных сумм''' при ранге дробления, стремящемся к нулю, если для любого положительного числа <tex> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex> \delta </tex>, что для любого оснащения дробления <tex> ( \tau, \xi ) </tex>, ранг которого меньше <tex> \delta </tex>, интегральная сумма отличается от числа <tex> I </tex> меньше чем на <tex> \varepsilon </tex>.
		+	}}

	=== Линейность интеграла ===		=== Линейность интеграла ===

← Предыдущая		Версия 12:23, 27 июня 2012
Строка 1302:		Строка 1302:

	=== Теорема о предельном переходе под знаком производной ===		=== Теорема о предельном переходе под знаком производной ===
		+
		+	== Определения ==
		+	[[Участник:Yulya3102/Матан/Определения]]

@@ Строка 376: / Строка 376: @@
 |proof=При <tex>p=1</tex> неравенство Минковского сводится к неравенству треугольника для модуля. Пусть <tex>p>1,\ q={p\over p-1}</tex>. Обозначим <tex>C=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^p</tex>. Применим неравенство треугольника, а затем неравенство Гёльдера:
-<tex>C=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p} \left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert^{(p-1)q}\right)^{1/q}=\left\{\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert^p\right)^{1/p}+\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert^p\right)^{1/p}\right\}C^{1/q}.</tex>
+<tex>C=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k+b_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert a_k\vert\vert a_k+b_k\vert^{p-1}+\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\vert b_k\vert a_k+b_k\vert^{p-1}\le\\
 Если <tex>C=0</tex>, то неравенство Минковского очевидно, а если <tex>C>0</tex>, то, сокращая на <tex>C^{1/q}</tex>, получаем требуемое.

@@ Строка 1235: / Строка 1235: @@
 {{Определение
 |definition=
-Пусть дан ряд <tex> \sum_{k = 1}{\infty} a_k </tex> и строго возрастающая последовательность целых чисел <tex> \{ n_j \} _{j = 0}^{\infty}, \ n_0 = 0 </tex>. Положим <tex> A_j = \sum_{k = n_j + 1}^{n_j+1} a_j, \ j \in \mathbb{Z}_{+} </tex>. Тогда говорят, что ряд <tex> \sum_{j = 0}^{\infty} </tex> получен из первого ряда '''группировкой членов''' (расстановкой скобок).
+Пусть дан ряд <tex> \sum_{k = 1}^{\infty} a_k </tex> и строго возрастающая последовательность целых чисел <tex> \{ n_j \} _{j = 0}^{\infty}, \ n_0 = 0 </tex>. Положим <tex> A_j = \sum_{k = n_j + 1}^{n_j+1} a_j, \ j \in \mathbb{Z}_{+} </tex>. Тогда говорят, что ряд <tex> \sum_{j = 0}^{\infty} </tex> получен из первого ряда '''группировкой членов''' (расстановкой скобок).
 }}