Функции ограниченной вариации - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:42:08Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.244.195.157 в 03:29, 1 сентября 2022

2022-09-01T03:29:04Z

Андрей Шулаев: ТРЕУГОЛЬНИК ВМЕСТО ДЕЛЬТЫ ААААААААААААААААААААААААААААА

2012-06-26T21:51:41Z

ТРЕУГОЛЬНИК ВМЕСТО ДЕЛЬТЫ ААААААААААААААААААААААААААААА

Dmitriy D.: Утверждение "ограниченная производная"=>"ограниченная вариация" переделано в комментарий к другому утверждению.

2012-06-24T15:32:34Z

Утверждение "ограниченная производная"=>"ограниченная вариация" переделано в комментарий к другому утверждению.

Sementry в 07:59, 24 июня 2012

2012-06-24T07:59:36Z

176.53.234.178 в 16:55, 23 июня 2012

2012-06-23T16:55:06Z

Dgerasimov в 12:09, 23 июня 2012

2012-06-23T12:09:24Z

Dgerasimov в 15:52, 22 июня 2012

2012-06-22T15:52:11Z

Dgerasimov в 14:56, 22 июня 2012

2012-06-22T14:56:45Z

Dgerasimov: wtf

2012-06-22T13:58:13Z

wtf

← Предыдущая		Версия 16:42, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	[[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке\|<<]][[Интеграл Римана-Стилтьеса\|>>]]		[[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке\|<<]][[Интеграл Римана-Стилтьеса\|>>]]

← Предыдущая		Версия 03:29, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	[[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке\|<<]][[Интеграл Римана-Стилтьеса\|>>]]		[[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке\|<<]][[Интеграл Римана-Стилтьеса\|>>]]

@@ Строка 26: / Строка 26: @@
 Построим пример такой функции.
-''Cразу заметим, что рассматривать функции с ограниченной производной <tex>(a, b)</tex> смысла нет. Действительно, если <tex>f' < M</tex>, то по [[Классические_теоремы_дифференциального_исчисления#lagrange|Лагранжу]]:  <tex>\exists \widetilde{x}: |f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\widetilde{x})| \triangle x_k \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty</tex> и полная вариация такой <tex>f</tex> конечна.''
+''Cразу заметим, что рассматривать функции с ограниченной производной <tex>(a, b)</tex> смысла нет. Действительно, если <tex>f' < M</tex>, то по [[Классические_теоремы_дифференциального_исчисления#lagrange|Лагранжу]]:  <tex>\exists \widetilde{x}: |f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\widetilde{x})| \Delta x_k \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty</tex> и полная вариация такой <tex>f</tex> конечна.''
 Возьмем <tex>f(x) = x \sin(\frac 1x), f(0) = 0</tex>.

@@ Строка 18: / Строка 18: @@
 |proof=
 По определению неубывания, <tex>|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = f(x_{k+1}) - f(x_k)</tex>, тогда вариация равна <tex>f(b) - f(a)</tex>, то есть конечна. Аналогично с невозрастающей функцией.
 }}
@@ Строка 31: / Строка 24: @@
 Не все непрерывные функции имеют ограниченную вариацию.
 |proof=
 Возьмем <tex>f(x) = x \sin(\frac 1x), f(0) = 0</tex>.
 Возьмем систему точек <tex>x_k = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>. <tex> f(x_k) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{(-1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 Рассмотрим <tex>f : [a, b] \to \mathbb{R}</tex> и ее разбиение <tex>\tau: a = x_0 < x_1 \dots < x_n = b</tex>
@@ Строка 8: / Строка 10: @@
 Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
 }}
 {{Утверждение
 |statement=
-Пусть <tex>f</tex> монотонно не убывает, тогда она ограниченной вариации.
+Пусть <tex>f</tex> монотонно неубывает, тогда она ограниченной вариации.
 |proof=
-По определению неубывания, <tex>|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = f(x_{k+1}) - f(x_k)</tex>, тогда вариация равна <tex>f(b) - f(a)</tex>, то есть конечна. Аналогично с не возрастающей функцией.
+По определению неубывания, <tex>|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = f(x_{k+1}) - f(x_k)</tex>, тогда вариация равна <tex>f(b) - f(a)</tex>, то есть конечна. Аналогично с невозрастающей функцией.
 }}
 {{Утверждение
@@ Строка 20: / Строка 24: @@
 |proof=
 <tex>f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty</tex>
 {{TODO|t=НЕ ОЧЕНЬ ПОНИМАЮ, ЗАЧЕМ ВООБЩЕ ЭТО УТСВЕРЖДЕНИЕ ТУТ}}
 }}
@@ Строка 27: / Строка 31: @@
 Не все непрерывные функции имеют ограниченную вариацию.
 |proof=
-Возьмем <tex>f(x) = x \sin(\frac 1x), x \int [0; 1], f(0) = 0</tex>.
+Возьмем <tex>f(x) = x \sin(\frac 1x), f(0) = 0</tex>.
 Возьмем систему точек <tex>x_k = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>. <tex> f(x_k) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{(-1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>.
 <tex> | f(x_k) - f(x_{k+1}) | = | \frac{(-1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k} - \frac{(-1)^{k+1}}{\frac{\pi}{2} + \pi (k + 1)}| = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} + \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi (k + 1)}</tex>. Видно, что это образует расходящийся гармонический ряд, сумма которого имеет порядок <tex> \ln(n) </tex>.
@@ Строка 41: / Строка 45: @@
 <tex> \tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c </tex>.
-По определению полной вариации, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee\limits_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), \bigvee\limits_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2)</tex>
+По определению полной вариации, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee\limits_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), \bigvee\limits_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2)</tex>.
 <tex> \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) - 2 \varepsilon  < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) = \bigvee\limits_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) \le \bigvee\limits_a^c(f) </tex>
@@ Строка 58: / Строка 62: @@
 <tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
 |proof=
-Возьмем в качестве <tex>f_1</tex> функцию <tex>f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)</tex>, тогда по аддитивности она будет не убывать.
+Возьмем в качестве <tex>f_1</tex> функцию <tex>f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)</tex>, тогда по аддитивности она будет неубывать.
-Определим как <tex>f_2</tex> функцию <tex>f_2(x) = f_1(x) - f(x)</tex>. Докажем, что она монотонно не убывает.
+Определим как <tex>f_2</tex> функцию <tex>f_2(x) = f_1(x) - f(x)</tex>. Докажем, что она монотонно неубывает.
-<tex>a < x_1 < x_2 < b</tex>. Надо доказать, что <tex>f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)</tex>, или что <tex>f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex> (используем утверждение 1).
-Но действительно <tex> f(x_2) - f(x_1) \le |(f(x_2) - f(x_1))| \le \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex>, ч. т. д.
+Пусть <tex>\tau: a < x_1 < x_2 < b</tex>.
-В обратную сторону следствие верно, так как монотонные функции — ограниченные вариацией, и их разность, тоже ограниченая вариацией.
+Надо доказать, что <tex>f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)</tex>, или что <tex>f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex> (используем утверждение 1).
 }}
 == См. также ==
 [http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_spec/127/lectionii-1.pdf]

@@ Строка 46: / Строка 46: @@
 Устремляя <tex>\varepsilon</tex> к 0, получаем <tex> \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) \le \bigvee\limits_a^c (f)</tex>.
-) Для любого <tex>\varepsilon > 0 \exists \tau \bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau)</tex>. Однако в это разбиение может  не войти точка <tex>b</tex> в это разбиение, поэтому получим из него разбиение <tex>\tau' : a=x_0 < \dots < x_p = b < x_{p+1} < \dots < x_{p+m} = c</tex>. Пусть <tex>\tau_1</tex> — разбиение <tex>a=x_0 < \dots x_p=b</tex>, а <tex>\tau_2</tex> — разбиение <tex>x_p = b \dots x_{p+m} = c</tex>. Тогда:
 <tex>\bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon <  \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^c (f, \tau') \le \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) </tex>.
@@ Строка 60: / Строка 61: @@
 Определим как <tex>f_2</tex> функцию <tex>f_2(x) = f_1(x) - f(x)</tex>. Докажем, что она монотонно не убывает.
 <tex>a < x_1 < x_2 < b</tex>. Надо доказать, что <tex>f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)</tex>, или что <tex>f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex> (используем утверждение 1).
-Но действительно f(x_2) - f(x_1) \le abs(f(x_2) - f(x_1)) \le \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f), ч. т. д.
+Но действительно <tex> f(x_2) - f(x_1) \le |(f(x_2) - f(x_1))| \le \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex>, ч. т. д.
 В обратную сторону следствие верно, так как монотонные функции — ограниченные вариацией, и их разность, тоже ограниченая вариацией.

@@ Строка 36: / Строка 36: @@
 аддитивность вариации
 |statement=
-Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
+Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
 |proof=
 ) Рассмотрим разбиения <tex>\tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c</tex>.
@@ Строка 55: / Строка 55: @@
 {{Теорема
 |statement=
-Если <tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
+<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
 |proof=
 Возьмем в качестве <tex>f_1</tex> функцию <tex>f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)</tex>, тогда по аддитивности она будет не убывать.