Числа Белла - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:40:34Z

rollbackEdits.php mass rollback

217.79.179.7 в 03:36, 1 сентября 2022

2022-09-01T03:36:42Z

77.234.203.50: /* Формулы суммирования */

2021-02-09T16:32:35Z

‎Формулы суммирования

Mihailktitmo: /* Формулы суммирования */

2021-01-07T23:29:22Z

‎Формулы суммирования

Mihailktitmo: /* Доказательство */

2021-01-07T23:28:49Z

‎Доказательство

Mihailktitmo: /* Доказательство */

2021-01-07T23:28:30Z

‎Доказательство

Mihailktitmo: /* Доказательство */

2021-01-07T23:28:14Z

‎Доказательство

178.162.11.240: /* Доказательство */

2021-01-07T10:23:36Z

‎Доказательство

178.162.11.240: /* Доказательство */

2021-01-06T19:08:37Z

‎Доказательство

178.162.11.240: /* Доказательство */

2021-01-06T19:08:22Z

‎Доказательство

← Предыдущая		Версия 16:40, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	{{Определение		{{Определение
	\|definition = В комбинаторной математике '''числа Белла''' (''англ. Bell's numbers'') определяют количество возможных способов [[Комбинаторные объекты#Разбиение на подмножества\|разбиения множества]] из <tex>n</tex> элементов на подмножества.		\|definition = В комбинаторной математике '''числа Белла''' (''англ. Bell's numbers'') определяют количество возможных способов [[Комбинаторные объекты#Разбиение на подмножества\|разбиения множества]] из <tex>n</tex> элементов на подмножества.

← Предыдущая		Версия 03:36, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	{{Определение		{{Определение
	\|definition = В комбинаторной математике '''числа Белла''' (''англ. Bell's numbers'') определяют количество возможных способов [[Комбинаторные объекты#Разбиение на подмножества\|разбиения множества]] из <tex>n</tex> элементов на подмножества.		\|definition = В комбинаторной математике '''числа Белла''' (''англ. Bell's numbers'') определяют количество возможных способов [[Комбинаторные объекты#Разбиение на подмножества\|разбиения множества]] из <tex>n</tex> элементов на подмножества.

@@ Строка 43: / Строка 43: @@
 ===Формулы суммирования===
-Числа Белла удовлетворяют рекуррентному соотношению c участием биномиальных коэффициентов s:
+====Биномиальные коэффициенты====
 :<tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.</tex>
+====Связь с числами Стирлинга второго рода====
 Другая формула суммирования представляет каждое число Белла как сумму [[Числа Стирлинга второго рода|'''чисел Стирлинга второго рода''']]:
 :<tex dpi = "150">B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}</tex>,
 где число Стирлинга <tex dpi = "150">\left\{{n\atop k}\right\}</tex> является количеством способов разбиения набора элементов <tex dpi = "150">n</tex> в ровно <tex dpi="150">k</tex> непустых подмножеств.
+====Объединяющая формула====
 Майкл Спайви<ref>Spivey, Michael Z. (2008). "A generalized recurrence for Bell numbers" . Journal of Integer Sequences. 11 (2): Article 08.2.5, 3. MR 2420912.</ref>  получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования:
 :<tex dpi = "150">B_{n+m} = \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m \left\{{m\atop j}\right\} {n \choose k} j^{n-k} B_k.</tex>
 ===Производящая функция===

@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 Числа Белла удовлетворяют рекуррентному соотношению c участием биномиальных коэффициентов s:
 :<tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.</tex>
 Другая формула суммирования представляет каждое число Белла как сумму [[Числа Стирлинга второго рода|'''чисел Стирлинга второго рода''']]:
 :<tex dpi = "150">B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}</tex>,
 где число Стирлинга <tex dpi = "150">\left\{{n\atop k}\right\}</tex> является количеством способов разбиения набора элементов <tex dpi = "150">n</tex> в ровно <tex dpi="150">k</tex> непустых подмножеств.
 Майкл Спайви<ref>Spivey, Michael Z. (2008). "A generalized recurrence for Bell numbers" . Journal of Integer Sequences. 11 (2): Article 08.2.5, 3. MR 2420912.</ref>  получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования:

@@ Строка 51: / Строка 51: @@
 Майкл Спайви<ref>Spivey, Michael Z. (2008). "A generalized recurrence for Bell numbers" . Journal of Integer Sequences. 11 (2): Article 08.2.5, 3. MR 2420912.</ref>  получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования:
 :<tex dpi = "150">B_{n+m} = \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m \left\{{m\atop j}\right\} {n \choose k} j^{n-k} B_k.</tex>
 ===Производящая функция===

@@ Строка 46: / Строка 46: @@
 :<tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.</tex>
 === Доказательство ===
-Докажем, что  <tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_{n-k}.</tex> По определению <tex dpi = "150">B_{n}</tex> - число всех неупорядоченных разбиений <tex>n-</tex>элементного множества. Посчитаем количество неупорядоченных разбиений для <tex dpi= "150">(n+1)-</tex>элементного множества множества: Пусть <tex dpi= "150">x_1 \cup... \cup x_k</tex> - разбиения множества <tex dpi = "150">1...n+1</tex>. Не нарушая общ-ти, пусть <tex dpi= "150">n+1\in x_k</tex>, тогда <tex dpi= "150">x_1 \cup... \cup x_{k-1}</tex> - разбиение множества <tex dpi="150">[1...n+1]</tex> \ <tex dpi= "150">x_k</tex>. Пусть <tex dpi= "150">|x_k|=i+1</tex>, где <tex dpi= "150">i\in [0;n]</tex>, тогда <tex dpi= "150">x_k</tex> можно выбрать <tex dpi= "150">\binom{i}{n}</tex> способами, а оставшиеся элементы разбить <tex dpi = "150">B_{n-i}</tex> способами. <tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_{n-k}=</tex> <tex dpi = "150">\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{n-k} B_{k}=</tex> <tex dpi= "150">\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k</tex>
+Докажем, что  <tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_{n-k}.</tex> По определению <tex dpi = "150">B_{n}</tex> - число всех неупорядоченных разбиений <tex>n-</tex>элементного множества. Посчитаем количество неупорядоченных разбиений для <tex dpi= "150">(n+1)-</tex>элементного множества множества: Пусть <tex dpi= "150">x_1 \cup... \cup x_k</tex> - разбиения множества <tex dpi = "150">1...n+1</tex>. Не нарушая общ-ти, пусть <tex dpi= "150">n+1\in x_k</tex>, тогда <tex dpi= "150">x_1 \cup... \cup x_{k-1}</tex> - разбиение множества <tex dpi="150">[1...n+1]</tex> \ <tex dpi= "150">x_k</tex>. Пусть <tex dpi= "150">|x_k|=i+1</tex>, где <tex dpi= "150">i\in [0;n]</tex>, тогда <tex dpi= "150">x_k</tex> можно выбрать <tex dpi= "150">\binom{n}{i}</tex> способами, а оставшиеся элементы разбить <tex dpi = "150">B_{n-i}</tex> способами. <tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_{n-k}=</tex> <tex dpi = "150">\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{n-k} B_{k}=</tex> <tex dpi= "150">\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k</tex>

@@ Строка 56: / Строка 56: @@
 Посчитаем количество разбиений <tex dpi= "150">n</tex>-элементного множества. Нам нужно разбить <tex dpi= "150">n</tex>-элементное множество на <tex dpi= "150">k</tex> непустых подмножеств, где <tex dpi= "150">k</tex> от <tex dpi= "150">1</tex> до <tex dpi= "150">n</tex>. Пусть
 <tex dpi= "150">C</tex> - все разбиения <tex dpi= "150">n</tex>-элементного множества. Пусть <tex dpi= "150">A_k</tex> -  разбиение <tex dpi= "150">n</tex>-элементного множества на <tex dpi= "150">k</tex> непустых подмножеств, тогда <tex dpi = "150"> C = \bigcup \limits_{k=1}^{n}A_k</tex>. <tex dpi = "150">|A_k|=\left\{{n\atop k}\right\}</tex> - по определению, тогда <tex dpi = "150">B_n=|C|=\sum_{k=1}^{n} \ |A_k|=\sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\}=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}</tex>, т.к. <tex dpi = "150">\left\{{n\atop 0}\right\}=0</tex>
 Майкл Спайви<ref>Spivey, Michael Z. (2008). "A generalized recurrence for Bell numbers" . Journal of Integer Sequences. 11 (2): Article 08.2.5, 3. MR 2420912.</ref>  получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования: