Числа Каталана - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:37:18Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.220.101.2 в 03:59, 1 сентября 2022

2022-09-01T03:59:43Z

178.252.127.227: /* Доказательство */

2020-11-06T14:39:49Z

‎Доказательство

77.234.213.10: /* Вычисление производящей функции чисел Каталана */

2018-04-13T14:31:51Z

‎Вычисление производящей функции чисел Каталана

77.234.213.10: /* Вычисление производящей функции чисел Каталана */

2018-04-13T14:31:12Z

‎Вычисление производящей функции чисел Каталана

77.234.213.10: /* Вычисление производящей функции чисел Каталана */

2018-04-13T14:21:53Z

‎Вычисление производящей функции чисел Каталана

77.234.213.10: /* Вычисление производящей функции чисел Каталана */

2018-04-13T14:06:45Z

‎Вычисление производящей функции чисел Каталана

77.234.213.10: /* Вычисление производящей функции чисел Каталана */

2018-04-12T22:03:07Z

‎Вычисление производящей функции чисел Каталана

77.234.213.10: /* Вычисление производящей функции чисел Каталана */

2018-04-12T22:01:17Z

‎Вычисление производящей функции чисел Каталана

77.234.213.10: /* Вычисление производящей функции чисел Каталана */

2018-04-12T22:00:09Z

‎Вычисление производящей функции чисел Каталана

← Предыдущая		Версия 16:37, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	==Числа Каталана==		==Числа Каталана==

← Предыдущая		Версия 03:59, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	==Числа Каталана==		==Числа Каталана==

@@ Строка 43: / Строка 43: @@
 [[Файл:Каталан2.PNG|right]]
 Такой путь обязательно пересекает прямую <tex dpi = 120> y = x </tex>. Обратно, пусть нам дан путь длины <tex dpi = 120> 2n </tex> из точки <tex dpi = 120>(-1, 0)</tex> в точку <tex dpi = 120>(n, n-1)</tex> и пусть <tex dpi = 120> A </tex> — первая точка этого пути, лежащая на прямой <tex dpi = 120>y = x</tex>. Заменив участок пути от точки <tex dpi = 120>(-1, 0)</tex> до точки <tex dpi = 120>A</tex> на симметричный относительно прямой <tex dpi = 120>y = x</tex>, мы получим неправильный путь из точки <tex dpi = 120>(0, -1)</tex> в точку <tex dpi = 120>(n, n-1)</tex>. Следовательно, неправильных путей из точки <tex dpi = 120>(0, -1)</tex> в точку <tex dpi = 120>(n, n-1)</tex> столько же, сколько путей из точки <tex dpi = 120>(-1, 0)</tex> в
-точку <tex dpi = 120>(n, n-1)</tex>. Такой путь длины содержит <tex dpi = 120>n+1</tex> горизонтальных и <tex dpi = 120>n-1</tex> вертикальных участков. Поэтому, количество таких путей равно <tex dpi = 135> \dbinom {2n}{n-1} </tex>. Значит, количество правильных путей (т.е. число Каталана <tex dpi = 120>C_n</tex>) равно
+точку <tex dpi = 120>(n, n-1)</tex>. Такой путь длины <tex dpi = 120>2n</tex> содержит <tex dpi = 120>n+1</tex> горизонтальных и <tex dpi = 120>n-1</tex> вертикальных участков. Поэтому, количество таких путей равно <tex dpi = 135> \dbinom {2n}{n-1} </tex>. Значит, количество правильных путей (т.е. число Каталана <tex dpi = 120>C_n</tex>) равно
 <tex> C_n = \dbinom {2n} {n} - \dbinom {2n} {n-1} = \dfrac{2n!}{n!n!} - \dfrac{2n!}{(n-1)!(n+1)!} = \dfrac{2n!}{n!} (\dfrac{1}{n!} - \dfrac{1}{(n-1)! (n+1)}) = \dfrac{2n!}{n!n!(n+1)} = \dfrac{1}{n+1} \dbinom {2n} {n} </tex>

@@ Строка 197: / Строка 197: @@
 <tex>= \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{z^{n}}{(4n + 2)} \cdot \dfrac{2 \cdot (2n + 1)}{n + 1} \cdot \dbinom{2n}{n}) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (z^n \cdot \dfrac{1}{n + 1} \cdot \dbinom{2n}{n})</tex>
-Тогда коэффициент при <tex>z^n</tex> в разложении <tex>G(z)</tex> равен <tex>\dfrac{1}{n + 1} \cdot \dbinom{2n}{n}</tex>, что совпадает с аналитической формулой для чисел Каталана. (<tex<C_n = \dfrac{1}{n + 1} \cdot \dbinom{2n}{n}</tex>) Поэтому <tex>G(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} z^n \cdot C_n</tex>, поэтому <tex>G(z) = \dfrac{1 - \sqrt{1-4z}}{2z}</tex> является производящей функцией чисел Каталана.
+Тогда коэффициент при <tex>z^n</tex> в разложении <tex>G(z)</tex> равен <tex>\dfrac{1}{n + 1} \cdot \dbinom{2n}{n}</tex>, что совпадает с аналитической формулой для чисел Каталана. (<tex>C_n = \dfrac{1}{n + 1} \cdot \dbinom{2n}{n}</tex>) Поэтому <tex>G(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} z^n \cdot C_n</tex>, поэтому <tex>G(z) = \dfrac{1 - \sqrt{1-4z}}{2z}</tex> является производящей функцией чисел Каталана.
 ==Смотри также==

@@ Строка 191: / Строка 191: @@
 <tex>= \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot \dfrac{-1}{-1} \cdot 1- \dfrac{1}{2z} \cdot \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (\dfrac{-z^n}{(2n - 1)} \cdot \dbinom{2n}{n}) = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (\dfrac{-z^n}{(2n - 1)} \cdot \dbinom{2n}{n}) = \dfrac{1}{2z} \cdot \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (\dfrac{z^n}{(2n - 1)} \cdot \dbinom{2n}{n})</tex>
-<tex> = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (\dfrac{z^{n - 1}}{(4n - 2)} \cdot \dbinom{2n}{n})  = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{z^{n}}{(4n + 2)} \cdot \dbinom{2n + 2}{n + 1}) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{z^{n}}{(4n + 2)} \cdot \dbinom{2n + 2}{n + 1})</tex>
+<tex> = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (\dfrac{z^{n - 1}}{(4n - 2)} \cdot \dbinom{2n}{n})  = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{z^{n}}{(4n + 2)} \cdot \dbinom{2n + 2}{n + 1}) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{z^{n}}{(4n + 2)} \cdot \dbinom{2n + 2}{n + 1}) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{z^{n}}{(4n + 2)} \cdot \dfrac{(2n + 2)!}{(n + 1)! \cdot (n + 1)!}</tex>
 ==Смотри также==

@@ Строка 187: / Строка 187: @@
 <tex> = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot \sum\limits_{n = 0}^{\infty} ((-4z)^n \cdot \dfrac{(-1)^{n - 1}}{(2n - 1) \cdot 4^n} \cdot \dbinom{2n}{n}) = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{(-1)^n \cdot 4^n \cdot z^n \cdot (-1)^{n - 1}}{(2n - 1) \cdot 4^n} \cdot \dbinom{2n}{n}) = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{(-1)^{2n - 1} \cdot 4^n \cdot z^n}{(2n - 1) \cdot 4^n} \cdot \dbinom{2n}{n})</tex>
-<tex> = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{-z^n}{(2n - 1)} \cdot \dbinom{2n}{n})</tex>
+<tex> = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{-z^n}{(2n - 1)} \cdot \dbinom{2n}{n}) = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot \dfrac{-z^0}{2 \cdot 0 - 1} \cdot \dbinom{2 \cdot 0}{0} - \dfrac{1}{2z} \cdot \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (\dfrac{-z^n}{(2n - 1)} \cdot \dbinom{2n}{n})</tex>
 ==Смотри также==

← Предыдущая		Версия 14:06, 13 апреля 2018
Строка 182:		Строка 182:

	Проверим, что <tex>G(z)</tex> действительно является производящей функцией чисел Каталана. Для этого разложим <tex>G(z)</tex> в ряд.		Проверим, что <tex>G(z)</tex> действительно является производящей функцией чисел Каталана. Для этого разложим <tex>G(z)</tex> в ряд.
		+
		+	<tex>G(z) = \dfrac{1 - \sqrt{1-4z}}{2z} = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{\sqrt{1-4z}}{2z} = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot \sqrt{1 - 4z} = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot (1 - 4z)^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot \sum\limits_{n = 0}^{\infty} ((-4z)^n \cdot \dbinom{\frac{1}{2}}{n})</tex>
		+
		+	<tex> = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot \sum\limits_{n = 0}^{\infty} ((-4z)^n \cdot \dfrac{(-1)^{n - 1}}{(2n - 1) \cdot 4^n} \cdot \dbinom{2n}{n}) = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{(-1)^n \cdot 4^n \cdot z^n \cdot (-1)^{n - 1}}{(2n - 1) \cdot 4^n} \cdot \dbinom{2n}{n}) = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{(-1)^{2n - 1} \cdot 4^n \cdot z^n}{(2n - 1) \cdot 4^n} \cdot \dbinom{2n}{n})</tex>
		+
		+	<tex> = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{1}{2z} \cdot \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{-z^n}{(2n - 1)} \cdot \dbinom{2n}{n})</tex>

	==Смотри также==		==Смотри также==

← Предыдущая		Версия 22:03, 12 апреля 2018
Строка 180:		Строка 180:

	Тогда <tex>G(z) = \dfrac{1 - \sqrt{1-4z}}{2z}</tex>		Тогда <tex>G(z) = \dfrac{1 - \sqrt{1-4z}}{2z}</tex>
		+
		+	Проверим, что <tex>G(z)</tex> действительно является производящей функцией чисел Каталана. Для этого разложим <tex>G(z)</tex> в ряд.

	==Смотри также==		==Смотри также==

@@ Строка 159: / Строка 159: @@
 <tex>G(z) = 1 + z \cdot G^2(z)</tex>
-Преобразуя, получаем квадратное уравнение на <tex>G(z)</tex>
+Преобразуя, получаем квадратное уравнение на <tex>G(z) :</tex>
 <tex>z \cdot G^2(z) - G(z) + 1 = 0</tex>
-Из этого квадратного уравнения находим два варианта <tex>G(z)</tex>
+Из этого квадратного уравнения находим два варианта <tex>G(z) :</tex>
 <tex>G(z) = \dfrac{1 \pm \sqrt{1-4z}}{2z}</tex>

← Предыдущая		Версия 22:00, 12 апреля 2018
Строка 94:		Строка 94:

	<tex> = \dfrac{(-1)^{k - 1}}{2k - 1} \cdot \dfrac{1 \cdot 3 \cdot (2k - 3) \cdot (2k - 1)}{2^k \cdot k!} = \dfrac{(-1)^{k - 1}}{2k - 1} \cdot \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (2k - 3) \cdot (2k - 2) \cdot (2k - 1) \cdot 2k}{2 \cdot 4 \cdots (2k - 2) \cdot 2k \cdot 2^k \cdot k!}</tex>		<tex> = \dfrac{(-1)^{k - 1}}{2k - 1} \cdot \dfrac{1 \cdot 3 \cdot (2k - 3) \cdot (2k - 1)}{2^k \cdot k!} = \dfrac{(-1)^{k - 1}}{2k - 1} \cdot \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (2k - 3) \cdot (2k - 2) \cdot (2k - 1) \cdot 2k}{2 \cdot 4 \cdots (2k - 2) \cdot 2k \cdot 2^k \cdot k!}</tex>
		+
		+	<tex>= \dfrac{(-1)^{k - 1}}{2k - 1} \cdot \dfrac{(2k)!}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 2) \cdots (2 \cdot (2k - 1)) \cdot (2 \cdot k) \cdot 2^k \cdot k!} = \dfrac{(-1)^{k - 1}}{2k - 1} \cdot \dfrac{(2k)!}{2^k \cdot (1 \cdot 2 \cdots (k - 1) \cdot k) \cdot 2^k\cdot k!} </tex>
		+
		+	<tex> = \dfrac{(-1)^{k - 1}}{2k - 1} \cdot \dfrac{(2k)!}{2^k \cdot k! \cdot 2^k\cdot k!} = \dfrac{(-1)^{k - 1}}{(2k - 1) \cdot 2^k \cdot 2^k} \cdot \dfrac{(2k)!}{k! \cdot k!}= \dfrac{(-1)^{k - 1}}{(2k - 1) \cdot 4^k} \dbinom{2k}{k}</tex>
	}}		}}