Числа Стирлинга второго рода - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:42:16Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.244.195.157 в 03:27, 1 сентября 2022

2022-09-01T03:27:06Z

Oskar: Числа Стирлинга первого рода в "см. также"

2020-12-15T09:16:39Z

Числа Стирлинга первого рода в "см. также"

95.140.92.9 в 18:12, 15 января 2015

2015-01-15T18:12:57Z

95.140.92.9 в 18:06, 15 января 2015

2015-01-15T18:06:03Z

95.140.92.9 в 18:04, 15 января 2015

2015-01-15T18:04:42Z

Shersh: /* Применения */

2015-01-15T17:56:32Z

‎Применения

95.140.92.9 в 17:53, 15 января 2015

2015-01-15T17:53:58Z

95.140.92.9 в 17:26, 15 января 2015

2015-01-15T17:26:49Z

95.140.92.9 в 17:26, 15 января 2015

2015-01-15T17:26:04Z

← Предыдущая		Версия 16:42, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	'''Числа Стирлинга второго рода''' (англ. ''stirling numbers of the second kind'') — количество способов разбиения множества из <tex>n</tex> элементов на <tex>k</tex> непустых подмножеств. Числа Стирлинга II рода обозначаются как <tex dpi="130">S(n,k)</tex> или <tex dpi = "180">\lbrace{n\atop k}\rbrace</tex>.		'''Числа Стирлинга второго рода''' (англ. ''stirling numbers of the second kind'') — количество способов разбиения множества из <tex>n</tex> элементов на <tex>k</tex> непустых подмножеств. Числа Стирлинга II рода обозначаются как <tex dpi="130">S(n,k)</tex> или <tex dpi = "180">\lbrace{n\atop k}\rbrace</tex>.

← Предыдущая		Версия 03:27, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	'''Числа Стирлинга второго рода''' (англ. ''stirling numbers of the second kind'') — количество способов разбиения множества из <tex>n</tex> элементов на <tex>k</tex> непустых подмножеств. Числа Стирлинга II рода обозначаются как <tex dpi="130">S(n,k)</tex> или <tex dpi = "180">\lbrace{n\atop k}\rbrace</tex>.		'''Числа Стирлинга второго рода''' (англ. ''stirling numbers of the second kind'') — количество способов разбиения множества из <tex>n</tex> элементов на <tex>k</tex> непустых подмножеств. Числа Стирлинга II рода обозначаются как <tex dpi="130">S(n,k)</tex> или <tex dpi = "180">\lbrace{n\atop k}\rbrace</tex>.

← Предыдущая		Версия 09:16, 15 декабря 2020
Строка 224:		Строка 224:

	== См. также ==		== См. также ==
		+	* [[Числа Стирлинга первого рода]]
	* [[Числа Эйлера I и II рода]]		* [[Числа Эйлера I и II рода]]

@@ Строка 204: / Строка 204: @@
 *<tex dpi = "180">\left \lbrack{n\atop k} \right \rbrack = \lbrace{-n\atop -k}\rbrace</tex>, <tex dpi = "150">n,k \in \mathbb{Z}</tex>, где <tex dpi = "180">\left \lbrack{n\atop k} \right \rbrack</tex> — [[Числа Стирлинга первого рода|число Стирлинга первого рода]]
-*<tex dpi = "180">\sum_{k=0}^n \lbrace{n\atop k}\rbrace = B_n</tex>, где <tex dpi = "180">B_n</tex> — число Белла (число всех неупорядоченных разбиений ''n''-элементного множества)
+*<tex dpi = "180">\sum \limits_{k=0}^n \lbrace{n\atop k}\rbrace = B_n</tex>, где <tex dpi = "180">B_n</tex> — число Белла (число всех неупорядоченных разбиений ''n''-элементного множества)
 == Применения ==
@@ Строка 213: / Строка 213: @@
 * Обозначим как <tex dpi = "180">\lbrace{n\atop k}\rbrace^d</tex> количество всех способов разбиений множества <tex>n</tex> натуральных чисел на <tex>k</tex> подмножеств, в которых расстояния между двумя любыми элементами <tex>i</tex>, <tex>j</tex> не меньше <tex>d</tex> <tex>(|i-j| \geqslant d)</tex>. Тогда <tex dpi = "180">\lbrace{n\atop k}\rbrace^d = \lbrace{n-d+1\atop k-d+1}\rbrace,</tex><tex dpi = "150"> n \geqslant k \geqslant d</tex>
-* Также числа Стирлинга II рода можно определить как коэффициенты в разложении обычных степеней на факториальные: <tex dpi = "150">x^n = \sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace x^{\underline{k}} = \sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace (-1)^{n-k} x^{\overline{k}}</tex>, где <tex dpi = "150">x^{\underline{k}} = x\cdot (x-1)\cdot \ldots\cdot (x-k+1)</tex> — убывающий факториал, <tex dpi = "150">x^{\overline{k}} = x\cdot (x+1)\cdot \ldots\cdot (x+k-1)</tex> — возрастающий факториал. См. также [[Числа Стирлинга первого рода#Связь между числами Стирлинга | связь между числами Стирлинга]].
+* Также числа Стирлинга II рода можно определить как коэффициенты в разложении обычных степеней на факториальные: <tex dpi = "150">x^n = \sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace x^{\underline{k}} = \sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace (-1)^{n-k} x^{\overline{k}}</tex>, где <tex dpi = "150">x^{\underline{k}} = x\cdot (x-1)\cdot \ldots\cdot (x-k+1)</tex> — убывающий факториал, <tex dpi = "150">x^{\overline{k}} = x\cdot (x+1)\cdot \ldots\cdot (x+k-1)</tex> — возрастающий факториал. См. также [[Числа Стирлинга первого рода#Связь между числами Стирлинга | связь между числами Стирлинга]].
 == Переход от базиса обычных степеней к базису убывающих факториальных степеней ==
@@ Строка 220: / Строка 220: @@
 Числа Стирлинга II рода образуют матрицу переходов в линейном пространстве полиномов от базиса обычных степеней к базису убывающих факториальных степеней.
 |proof=
-<tex dpi = "150">x^{\underline{k+1}}=x^{\underline{k}}(x-k)</tex>, отсюда <tex dpi = "150">x\cdot x^{\underline{k}}=x^{\underline{k+1}}+kx^{\underline{k}}</tex>, следовательно, <tex dpi = "150">x\cdot x^{\underline{n-1}}</tex> есть <br> <br> <tex dpi = "150">x\sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace x^{\underline{k}}=\sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace x^{\underline{k+1}}+\sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace kx^{\underline{k}}=</tex> <br> <br> <tex dpi = "150">\sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k-1}\rbrace x^{\underline{k}}+\sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace kx^{\underline{k}}= </tex> <br> <br> <tex dpi = "150">\sum_{k=0}^n \textstyle (k\lbrace{n-1\atop k}\rbrace + \lbrace{n-1\atop k-1}\rbrace )x^{\underline{k}}=\sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace x^{\underline{k}} </tex>
+<tex dpi = "150">x^{\underline{k+1}}=x^{\underline{k}}(x-k)</tex>, отсюда <tex dpi = "150">x\cdot x^{\underline{k}}=x^{\underline{k+1}}+kx^{\underline{k}}</tex>, следовательно, <tex dpi = "150">x\cdot x^{\underline{n-1}}</tex> есть <br> <br> <tex dpi = "150">x\sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace x^{\underline{k}}=\sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace x^{\underline{k+1}}+\sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace kx^{\underline{k}}=</tex> <br> <br> <tex dpi = "150">\sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k-1}\rbrace x^{\underline{k}}+\sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n-1\atop k}\rbrace kx^{\underline{k}}= </tex> <br> <br> <tex dpi = "150">\sum \limits_{k=0}^n \textstyle (k\lbrace{n-1\atop k}\rbrace + \lbrace{n-1\atop k-1}\rbrace )x^{\underline{k}}=\sum \limits_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace x^{\underline{k}} </tex>
 }}

@@ Строка 224: / Строка 224: @@
 == См. также ==
-* [Числа Эйлера I и II рода]
+* [[Числа Эйлера I и II рода]]
 == Источники информации==

@@ Строка 209: / Строка 209: @@
 * Пусть дано множество из <tex>k</tex> [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|элементарных исходов]] (все исходы равновероятны). Вероятность того, что после <tex>n</tex> проведенных экспериментов каждое событие произойдет хотя бы один раз, может быть найдена по следующей формуле:<tex dpi = "150">P = </tex><tex dpi = "180">\lbrace{n\atop k}\rbrace {k! \over{k^n}}</tex>
-* <tex dpi = "180">\lbrace{n+1\atop k+1}\rbrace</tex> — количество наборов из <tex>k</tex> попарно непересекающихся подмножеств исходного множества <tex>\{1,2...n\}</tex>. Например, <tex dpi = "180">\lbrace{4\atop 3}\rbrace</tex><tex dpi = "130"> = 6</tex>, так как всего шесть наборов из двух непересекающихся подмножеств множества <tex>\{1,2,3\}</tex>: <tex>\{(1)(23)\},\{(12)(3)\}, \{(13)(2)\}, \{(1)(2)\}, \{(1)(3)\}, \{(2)(3)\}</tex>.
+* <tex dpi = "180">\lbrace{n+1\atop k+1}\rbrace</tex> — количество наборов из <tex>k</tex> попарно непересекающихся подмножеств исходного множества <tex>\{1,2, \dots ,n\}</tex>. Например, <tex dpi = "180">\lbrace{4\atop 3}\rbrace</tex><tex dpi = "130"> = 6</tex>, так как всего шесть наборов из двух непересекающихся подмножеств множества <tex>\{1,2,3\}</tex>: <tex>\{(1)(23)\},\{(12)(3)\}, \{(13)(2)\}, \{(1)(2)\}, \{(1)(3)\}, \{(2)(3)\}</tex>.
 * Обозначим как <tex dpi = "180">\lbrace{n\atop k}\rbrace^d</tex> количество всех способов разбиений множества <tex>n</tex> натуральных чисел на <tex>k</tex> подмножеств, в которых расстояния между двумя любыми элементами <tex>i</tex>, <tex>j</tex> не меньше <tex>d</tex> <tex>(|i-j| \geqslant d)</tex>. Тогда <tex dpi = "180">\lbrace{n\atop k}\rbrace^d = \lbrace{n-d+1\atop k-d+1}\rbrace,</tex><tex dpi = "150"> n \geqslant k \geqslant d</tex>
 * Также числа Стирлинга II рода можно определить как коэффициенты в разложении обычных степеней на факториальные: <tex dpi = "150">x^n = \sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace x^{\underline{k}} = \sum_{k=0}^n \textstyle \lbrace{n\atop k}\rbrace (-1)^{n-k} x^{\overline{k}}</tex>, где <tex dpi = "150">x^{\underline{k}} = x\cdot (x-1)\cdot \ldots\cdot (x-k+1)</tex> — убывающий факториал, <tex dpi = "150">x^{\overline{k}} = x\cdot (x+1)\cdot \ldots\cdot (x+k-1)</tex> — возрастающий факториал. См. также [[Числа Стирлинга первого рода#Связь между числами Стирлинга | связь между числами Стирлинга]].
 == Переход от базиса обычных степеней к базису убывающих факториальных степеней ==