Ядро и образ линейного оператора - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:17:36Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.86.148.90 в 05:42, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:42:21Z

140.82.54.46 в 22:52, 25 июня 2018

2018-06-25T22:52:34Z

176.59.16.36: /* Функции от линейного оператора */ 9-> \exists

2018-06-25T21:00:09Z

‎Функции от линейного оператора: 9-> \exists

176.59.16.36: 8->forall

2018-06-25T20:51:40Z

8->forall

188.162.64.6: /* Источники */

2014-04-17T06:27:20Z

‎Источники

Kabanov: /* Источники */

2013-06-14T12:16:05Z

‎Источники

Maryann в 18:21, 12 июня 2013

2013-06-12T18:21:59Z

Maryann в 18:20, 12 июня 2013

2013-06-12T18:20:47Z

Никита: /* Функции от линейного оператора */

2013-06-12T16:46:31Z

‎Функции от линейного оператора

← Предыдущая		Версия 16:17, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=

← Предыдущая		Версия 05:42, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	{{Определение		{{Определение
	\|definition=		\|definition=

@@ Строка 32: / Строка 32: @@
 '''Шаг 2.''' Докажем, что <tex>Im\mathcal{A}</tex> {{---}} линейная оболочка <tex>\{ \mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n \}</tex>
-Рассмотрим <tex>X = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ ...\ + \xi^n e_n</tex>
+Рассмотрим <tex>x = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ ...\ + \xi^n e_n</tex>
 <tex>\mathcal{A}x = 0 +\ ...\ + 0 + \mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \mathcal{A}e_n = y \in Im\mathcal{A}</tex>

← Предыдущая		Версия 21:00, 25 июня 2018
Строка 60:		Строка 60:


−	Если <tex>\~~mathcal{9}~~ \mathcal{A}^{-1}</tex>, то переходим к квазиполиномам:	+	Если <tex>\exists \mathcal{A}^{-1}</tex>, то переходим к квазиполиномам:
	<tex>p_{m, k} = \sum\limits_{j = -k}^m \alpha_j \mathcal{A}^j</tex>		<tex>p_{m, k} = \sum\limits_{j = -k}^m \alpha_j \mathcal{A}^j</tex>

@@ Строка 26: / Строка 26: @@
 '''Шаг 1.''' Пусть <tex>\dim Ker\mathcal{A} = k;\ 0 \leqslant k \leqslant n</tex>
-<tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> {{---}} базис <tex>Ker\mathcal{A}</tex> <tex>(\mathcal{8} e_i : \mathcal{A}e_i = 0\ (i = 1..k))</tex>
+<tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> {{---}} базис <tex>Ker\mathcal{A}</tex> <tex>(\forall e_i : \mathcal{A}e_i = 0\ (i = 1..k))</tex>
 Дополним <tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> до базиса <tex>X</tex>, получим базис <tex>\{e\}_{i = 1}^{n}</tex>, где <tex>n = \dim X</tex>

@@ Строка 65: / Строка 65: @@
 == Источники ==
-* Анин конспект
+* Анин конспект. Гы
 [[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 [[Категория: Линейные операторы]]

← Предыдущая		Версия 12:16, 14 июня 2013
Строка 68:		Строка 68:

	[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]		[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
		+	[[Категория: Линейные операторы]]

@@ Строка 19: / Строка 19: @@
 {{Теорема
-|about=Теорема о ядре и базисе
+|about=O ядре и базисе
 |statement = <tex>\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = n = \dim X</tex>
 |proof=

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{Определение
-|definition='''Ядром''' линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется множество <tex>~{Ker\mathcal{A}} = \{x\in X \mid \mathcal{A}x = 0 \}</tex>
+|definition=
 }}
 {{Определение
-|definition='''Образом''' линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется множество <tex>~{Im\mathcal{A}} = \{y\in Y \mid y = \mathcal{A}x \}</tex> ''(множество значений)''
+|definition=
 }}
@@ Строка 18: / Строка 24: @@
 <tex>Ker\mathcal{A}</tex> {{---}} подпространство <tex>X</tex>
-Пусть <tex>\dim Ker\mathcal{A} = k;\ 0 \leqslant k \leqslant n</tex>
+'''Шаг 1.''' Пусть <tex>\dim Ker\mathcal{A} = k;\ 0 \leqslant k \leqslant n</tex>
-<tex>\mathcal{8} e_i : \mathcal{A}e_i = 0\ (i = 1..k)</tex>
+<tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> {{---}} базис <tex>Ker\mathcal{A}</tex> <tex>(\mathcal{8} e_i : \mathcal{A}e_i = 0\ (i = 1..k))</tex>
-Дополним <tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> до базиса <tex>X</tex>. получим базис <tex>\{e\}_{i = 1}^{n}</tex>, где <tex>n = \dim X</tex>
+Дополним <tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> до базиса <tex>X</tex>, получим базис <tex>\{e\}_{i = 1}^{n}</tex>, где <tex>n = \dim X</tex>
-Докажем, что <tex>Im\mathcal{A}</tex> {{---}} линейная оболочка <tex>\{ \mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n \}</tex>
+'''Шаг 2.''' Докажем, что <tex>Im\mathcal{A}</tex> {{---}} линейная оболочка <tex>\{ \mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n \}</tex>
 Рассмотрим <tex>X = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ ...\ + \xi^n e_n</tex>
@@ Строка 32: / Строка 36: @@
 <tex>\mathcal{A}x = 0 +\ ...\ + 0 + \mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \mathcal{A}e_n = y \in Im\mathcal{A}</tex>
-Осталось доказать следующее: <tex>\dim</tex> Л.О.<tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\} = n - k = \dim Im\mathcal{A}</tex>
+'''Шаг 3.''' Осталось доказать следующее: <tex>\dim</tex> Л.О.<tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\} = n - k = \dim Im\mathcal{A}</tex>
-Пусть <tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\}</tex> {{---}} линейно зависимы, <tex>\Rightarrow</tex> существует нетривиальная линейная комбинация, что <tex>\alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0 \ (*)</tex>
+Пусть <tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\}</tex> {{---}} линейно зависимы <tex>\Rightarrow</tex> существует нетривиальная линейная комбинация, что <tex>\alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0 \ (*)</tex>
 Пусть <tex>z = \alpha_{k+1}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_{n}e_n</tex>
@@ Строка 40: / Строка 46: @@
 Рассмотрим <tex>\mathcal{A}z = \alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0</tex> в соответствии с <tex>(*)</tex>
-Получаем, что <tex>z \in Ker\mathcal{A}</tex>, что противоречит выбору <tex>z</tex>
+Получаем, что <tex>z \in Ker\mathcal{A} \Rightarrow z=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha_ie_i</tex>, что противоречит выбору <tex>z</tex>
 Значит, <tex>\dim Im\mathcal{A} = n - k</tex>
@@ Строка 51: / Строка 57: @@
 <tex>\mathcal{A}^n = \mathcal{A} \cdot\ ...\ \cdot \mathcal{A}</tex> (n раз)
-<tex> p_m(\lambda) = \sum_{j = 0}^m \alpha_j \lambda^j \longrightarrow p_m(\mathcal{A}) = \sum_{j = 0}^m \alpha_j \mathcal{A}^j; \mathcal{A}^0 = J</tex>
+<tex> p_m(\lambda) = \sum\limits_{j = 0}^m \alpha_j \lambda^j \longrightarrow p_m(\mathcal{A}) = \sum\limits_{j = 0}^m \alpha_j \mathcal{A}^j \  (\mathcal{A}^0 = J)</tex>
 Если <tex>\mathcal{9} \mathcal{A}^{-1}</tex>, то переходим к квазиполиномам:
-<tex>p_{m, k} = \sum_{j = -k}^m \alpha_j \mathcal{A}^j</tex>
+<tex>p_{m, k} = \sum\limits_{j = -k}^m \alpha_j \mathcal{A}^j</tex>
 == Источники ==