NP-полнота задачи о независимом множестве - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:14:36Z

rollbackEdits.php mass rollback

185.220.102.8 в 05:45, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:45:26Z

Infovarius в 22:01, 10 октября 2019

2019-10-10T22:01:59Z

Дмитрий Мурзин: ё

2017-01-30T21:06:26Z

192.168.0.2: /* Формулировка */

2010-06-02T07:03:38Z

‎Формулировка

Mikhailpinsky: /* Формулировка */

2010-03-19T17:53:31Z

‎Формулировка

Mikhailpinsky: /* Задача о независимом множестве является NP-трудной */

2010-03-19T13:28:35Z

‎Задача о независимом множестве является NP-трудной

Mikhailpinsky: /* Задача о независимом множестве является NP-трудной */

2010-03-19T13:25:49Z

‎Задача о независимом множестве является NP-трудной

Mikhailpinsky: /* Задача о независимом множестве является NP-трудной */

2010-03-19T13:15:51Z

‎Задача о независимом множестве является NP-трудной

Mikhailpinsky: /* Задача о независимом множестве является NP-трудной */

2010-03-19T13:14:23Z

‎Задача о независимом множестве является NP-трудной

← Предыдущая		Версия 16:14, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	==Формулировка==		==Формулировка==
	Языком IND называют множество пар <tex>\langle G,k \rangle</tex>, где <math>G</math> - неориентированный граф, <math>k</math> - натуральное число. Слово принадлежит языку IND, если граф <math>G</math> содержит подграф <math>H</math> размером <math>k</math>, никакая пара вершин в котором не соединена ребром. Задача о независимом множестве является [[Понятие NP-трудной и NP-полной задачи\|NP-полной]].		Языком IND называют множество пар <tex>\langle G,k \rangle</tex>, где <math>G</math> - неориентированный граф, <math>k</math> - натуральное число. Слово принадлежит языку IND, если граф <math>G</math> содержит подграф <math>H</math> размером <math>k</math>, никакая пара вершин в котором не соединена ребром. Задача о независимом множестве является [[Понятие NP-трудной и NP-полной задачи\|NP-полной]].

← Предыдущая		Версия 05:45, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	==Формулировка==		==Формулировка==
	Языком IND называют множество пар <tex>\langle G,k \rangle</tex>, где <math>G</math> - неориентированный граф, <math>k</math> - натуральное число. Слово принадлежит языку IND, если граф <math>G</math> содержит подграф <math>H</math> размером <math>k</math>, никакая пара вершин в котором не соединена ребром. Задача о независимом множестве является [[Понятие NP-трудной и NP-полной задачи\|NP-полной]].		Языком IND называют множество пар <tex>\langle G,k \rangle</tex>, где <math>G</math> - неориентированный граф, <math>k</math> - натуральное число. Слово принадлежит языку IND, если граф <math>G</math> содержит подграф <math>H</math> размером <math>k</math>, никакая пара вершин в котором не соединена ребром. Задача о независимом множестве является [[Понятие NP-трудной и NP-полной задачи\|NP-полной]].

← Предыдущая		Версия 22:01, 10 октября 2019
Строка 17:		Строка 17:
	===Задача о независимом множестве принадлежит классу NP===		===Задача о независимом множестве принадлежит классу NP===
	В качестве сертификата возьмем набор из <math>k</math> вершин. За время <math>O(k^2)</math> можно проверить, является ли данное множество вершин независимым.		В качестве сертификата возьмем набор из <math>k</math> вершин. За время <math>O(k^2)</math> можно проверить, является ли данное множество вершин независимым.
		+
		+	[[Категория:NP]]

@@ Строка 9: / Строка 9: @@
 <math>3SAT \le_{k} IND</math>
-Пусть задана булева формула в <math>3SAT</math>, в которой <math>k</math> скобок. Построим для нее соответствующий граф. Для каждой скобки нарисуем три вершины, соединим их попарно ребрами и подпишем их именами соответствующих литералов. Так же соединим ребрами пары вершин вида <math>x,\neg x</math>.
+Пусть задана булева формула в <math>3SAT</math>, в которой <math>k</math> скобок. Построим для неё соответствующий граф. Для каждой скобки нарисуем три вершины, соединим их попарно рёбрами и подпишем их именами соответствующих литералов. Так же соединим рёбрами пары вершин вида <math>x,\neg x</math>.
 <math>(\neg x\lor y\lor z)\land (x \lor y \lor \neg z) \to</math>[[Файл:IND_GRAPH.png]]
-Докажем, что формула выполнима тогда и только тогда, когда в соответствующем графе есть независимое множество из <math>k</math> вершин. Пусть формула выполнима, тогда в каждой скобке есть хотя бы один литерал, принимающий значение “истина”. Выберем соответствующую ему вершину в графе. Полученное множество вершин является независимым, так как ребрами соединены только те вершины, которые соответствуют литералам из одной скобки (а мы выбирали только один литерал из каждой скобки), а так же вершины вида <math>x,\neg x</math>, соответствующие литералы которых не могут одновременно принимать значение “истина”. Пусть теперь в графе есть независимое множество, размера <math>k</math>. Тогда в каждой тройке вершин, соответствующих некоторой скобке, выбрана ровно одна вершина. Установим значение соответствующего литерала “истина”. Это можно сделать, так как нет ребер между вершинами вида <math>x,\neg x</math>.  Тогда в каждой скобке, будет хотя бы один литерал, имеющий значение “истина”, значит вся формула будет принимать значение “истина”. Построение по формуле соответствующего графа можно сделать за полиномиальное время.
+Докажем, что формула выполнима тогда и только тогда, когда в соответствующем графе есть независимое множество из <math>k</math> вершин. Пусть формула выполнима, тогда в каждой скобке есть хотя бы один литерал, принимающий значение “истина”. Выберем соответствующую ему вершину в графе. Полученное множество вершин является независимым, так как рёбрами соединены только те вершины, которые соответствуют литералам из одной скобки (а мы выбирали только один литерал из каждой скобки), а так же вершины вида <math>x,\neg x</math>, соответствующие литералы которых не могут одновременно принимать значение “истина”. Пусть теперь в графе есть независимое множество, размера <math>k</math>. Тогда в каждой тройке вершин, соответствующих некоторой скобке, выбрана ровно одна вершина. Установим значение соответствующего литерала “истина”. Это можно сделать, так как нет рёбер между вершинами вида <math>x,\neg x</math>.  Тогда в каждой скобке, будет хотя бы один литерал, имеющий значение “истина”, значит вся формула будет принимать значение “истина”. Построение по формуле соответствующего графа можно сделать за полиномиальное время.
 ===Задача о независимом множестве принадлежит классу NP===
 В качестве сертификата возьмем набор из <math>k</math> вершин. За время <math>O(k^2)</math> можно проверить, является ли данное множество вершин независимым.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==Формулировка==
-Языком IND называют множество пар <tex>\langle G,k \rangle</tex>, где <math>G</math> - неориентированный граф, <math>k</math> - натуральное число. Слово принадлежит языку IND, если ли граф <math>G</math> содержит подграф <math>H</math> размером <math>k</math>, никакая пара вершин в котором не соединена ребром. Задача о независимом множестве является [[Понятие NP-трудной и NP-полной задачи|NP-полной]].
+Языком IND называют множество пар <tex>\langle G,k \rangle</tex>, где <math>G</math> - неориентированный граф, <math>k</math> - натуральное число. Слово принадлежит языку IND, если граф <math>G</math> содержит подграф <math>H</math> размером <math>k</math>, никакая пара вершин в котором не соединена ребром. Задача о независимом множестве является [[Понятие NP-трудной и NP-полной задачи|NP-полной]].
 ==Доказательство NP-полноты==

@@ Строка 11: / Строка 11: @@
 Пусть задана булева формула в <math>3SAT</math>, в которой <math>k</math> скобок. Построим для нее соответствующий граф. Для каждой скобки нарисуем три вершины, соединим их попарно ребрами и подпишем их именами соответствующих переменных. При этом если переменная входит в формулу с отрицанием, отобразим это в графе. Так же соединим ребрами пары вершин вида <math>x,\neg x</math>.
-<math>(\overline{x}\lor y\lor z)\land (x \lor y \lor \overline{z}) \to</math>[[Файл:IND_GRAPH.png]]
+<math>(\neg x\lor y\lor z)\land (x \lor y \lor \neg z) \to</math>[[Файл:IND_GRAPH.png]]
-Докажем, что формула выполнима тогда и только тогда, когда в соответствующем графе есть независимое множество из <math>k</math> вершин. Пусть формула выполнима, тогда в каждой скобке есть хотя бы одна переменная, принимающая значение “истина” (учитываем отрицание, если оно есть). Выберем соответствующую переменную в качестве вершины в графе. Полученное множество вершин является независимым, так как ребрами соединены только те вершины, которые соответствуют переменным из одной скобки(а мы выбирали только одну переменную из каждой скобки), а так же вершины вида <math>x,\neg x</math>, соответствующие переменные которых не могут одновременно принимать значение “правда”. Пусть теперь в графе есть независимое множество, размера <math>k</math>. Тогда в каждой тройке вершин, соответствующих некоторой скобке, выбрана ровно одна вершина. Установим значение соответствующей переменной “правда”(с учетом отрицания). Это можно сделать, так как нет ребер между вершинами вида <math>x,\neg x</math>.  Тогда в каждой скобке, будет хотя бы одна переменная, имеющая значение “правда”, значит вся формула будет принимать значение “правда”. Построение по формуле соответствующего графа можно сделать за полиномиальное время.
+Докажем, что формула выполнима тогда и только тогда, когда в соответствующем графе есть независимое множество из <math>k</math> вершин. Пусть формула выполнима, тогда в каждой скобке есть хотя бы одна переменная, принимающая значение “истина” (учитываем отрицание, если оно есть). Выберем соответствующую переменную в качестве вершины в графе. Полученное множество вершин является независимым, так как ребрами соединены только те вершины, которые соответствуют переменным из одной скобки(а мы выбирали только одну переменную из каждой скобки), а так же вершины вида <math>x,\neg x</math>, соответствующие переменные которых не могут одновременно принимать значение “истина”. Пусть теперь в графе есть независимое множество, размера <math>k</math>. Тогда в каждой тройке вершин, соответствующих некоторой скобке, выбрана ровно одна вершина. Установим значение соответствующей переменной “истина”(с учетом отрицания). Это можно сделать, так как нет ребер между вершинами вида <math>x,\neg x</math>.  Тогда в каждой скобке, будет хотя бы одна переменная, имеющая значение “истина”, значит вся формула будет принимать значение “истина”. Построение по формуле соответствующего графа можно сделать за полиномиальное время.
 ===Задача о независимом множестве принадлежит классу NP===
 В качестве сертификата возьмем набор из <math>k</math> вершин. За время <math>O(k^2)</math> можно проверить, является ли данное множество вершин независимым.