NP-полнота задачи о рюкзаке - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:04:53Z

rollbackEdits.php mass rollback

141.98.9.47 в 06:34, 1 сентября 2022

2022-09-01T06:34:55Z

Infovarius в 22:04, 10 октября 2019

2019-10-10T22:04:05Z

176.117.137.156: /* syntax error fix in Формулировка задачи */

2016-05-03T13:20:52Z

‎syntax error fix in Формулировка задачи

192.168.0.2 в 13:58, 30 мая 2010

2010-05-30T13:58:16Z

192.168.0.2 в 11:29, 19 марта 2010

2010-03-19T11:29:00Z

192.168.0.2: описание сведения

2010-03-19T11:27:45Z

описание сведения

Miron: стилистические изменения

2010-03-10T06:11:18Z

стилистические изменения

Miron: Формулы --- принудительно png

2010-03-09T14:36:08Z

Формулы --- принудительно png

Miron: Доказательство закончено

2010-03-08T20:19:57Z

Доказательство закончено

← Предыдущая		Версия 16:04, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	==Формулировка задачи==		==Формулировка задачи==
	В '''задаче о рюкзаке''' (Knapsack problem) входными данными являются набор <math>n</math> пар целых чисел <math>P = \{(w_{i},v_{i})\}^{n}_{i=1}</math>, где <math>w_{i}</math> - вес i-го предмета, а <math>v_{i}</math> - стоимость, и также два целых числа <math>c</math> - максимальный вес и <math>p</math> - минимальная стоимость. Требуется определить, можно ли выбрать такой набор предметов, что их суммарная стоимость больше либо равна <math>p</math>, а вес меньше или равен <math>c</math>:		В '''задаче о рюкзаке''' (Knapsack problem) входными данными являются набор <math>n</math> пар целых чисел <math>P = \{(w_{i},v_{i})\}^{n}_{i=1}</math>, где <math>w_{i}</math> - вес i-го предмета, а <math>v_{i}</math> - стоимость, и также два целых числа <math>c</math> - максимальный вес и <math>p</math> - минимальная стоимость. Требуется определить, можно ли выбрать такой набор предметов, что их суммарная стоимость больше либо равна <math>p</math>, а вес меньше или равен <math>c</math>:

← Предыдущая		Версия 06:34, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	==Формулировка задачи==		==Формулировка задачи==
	В '''задаче о рюкзаке''' (Knapsack problem) входными данными являются набор <math>n</math> пар целых чисел <math>P = \{(w_{i},v_{i})\}^{n}_{i=1}</math>, где <math>w_{i}</math> - вес i-го предмета, а <math>v_{i}</math> - стоимость, и также два целых числа <math>c</math> - максимальный вес и <math>p</math> - минимальная стоимость. Требуется определить, можно ли выбрать такой набор предметов, что их суммарная стоимость больше либо равна <math>p</math>, а вес меньше или равен <math>c</math>:		В '''задаче о рюкзаке''' (Knapsack problem) входными данными являются набор <math>n</math> пар целых чисел <math>P = \{(w_{i},v_{i})\}^{n}_{i=1}</math>, где <math>w_{i}</math> - вес i-го предмета, а <math>v_{i}</math> - стоимость, и также два целых числа <math>c</math> - максимальный вес и <math>p</math> - минимальная стоимость. Требуется определить, можно ли выбрать такой набор предметов, что их суммарная стоимость больше либо равна <math>p</math>, а вес меньше или равен <math>c</math>:

← Предыдущая		Версия 22:04, 10 октября 2019
Строка 23:		Строка 23:
	*Если исходная [[NP-полнота задачи о сумме подмножества\|задача о сумме подмножества]] имела решение <math>S'</math>, то набор пар <math>P'</math> с весами, равными числам из <math>S'</math>, будет решением задачи о рюкзаке.		*Если исходная [[NP-полнота задачи о сумме подмножества\|задача о сумме подмножества]] имела решение <math>S'</math>, то набор пар <math>P'</math> с весами, равными числам из <math>S'</math>, будет решением задачи о рюкзаке.
	*В обратную сторону - аналогично.		*В обратную сторону - аналогично.
		+
		+	[[Категория:NP]]

@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 <p style="text-align:center;">
-<math>\exist P' \subseteq P: (\sum_{(w_{i},v_{i}) \in P'}{v_{i}} \geq p) \wedge (\sum_{(w_{i},v_{i}) \in P'}{w_{i}} \leq c)</math>
+<math>\exists P' \subseteq P: ((\sum_{(w_{i},v_{i}) \in P'}{v_{i}} \geq p) \wedge (\sum_{(w_{i},v_{i}) \in P'}{w_{i}} \leq c))</math>
 </p>
 ==Доказательство NP-полноты==
 Для доказательства того, что Knapsack problem <math>\in</math> [[NPC]], необходимо доказать два факта:

@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 <p style="text-align:center;">
-<math>f(S,s) = ((S,S),s,s) \,</math>
+<math>f(S,s) = ((S,S),s,s)</math>,
 </p>
 То есть, для каждого числа <math>q \in S</math> создадим предмет <math>(q,q)</math> с весом и стоимостью, равными значению числа <math>q</math>.

@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 <math>f(S,s) = ((S,S),s,s) \,</math>
 </p>
-То есть, для каждого числа <math>q \in S</math> создадим предмет <math>(q,q)</math> с весом и стоимостью, равной значению числа.
+То есть, для каждого числа <math>q \in S</math> создадим предмет <math>(q,q)</math> с весом и стоимостью, равными значению числа <math>q</math>.
 А значения <math>c</math> и <math>p</math> возьмем равными <math>s</math>.
 *Очевидно, <math>f~</math> работает за полиномиальное от длины входа время.
 *Если исходная [[NP-полнота задачи о сумме подмножества|задача о сумме подмножества]] имела решение <math>S'</math>, то набор пар <math>P'</math> с весами, равными числам из <math>S'</math>, будет решением задачи о рюкзаке.
 *В обратную сторону - аналогично.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 ==Формулировка задачи==
-В '''Задаче о рюкзаке''' (Knapsack problem) входными данными являются набор <math>n</math> пар целых чисел <math>\{w_{i}\}</math> - вес и <math>\{v_{i}\}</math> - стоимость, а также два целых числа <math>c</math> - максимальный вес и <math>p</math> - минимальная стоимость. Требуется определить, можно ли выбрать такое подмножество пар, что их суммарная стоимость больше либо равна <math>p</math>, а вес меньше или равен <math>c</math>:
+В '''задаче о рюкзаке''' (Knapsack problem) входными данными являются набор <math>n</math> пар целых чисел <math>P = \{(w_{i},v_{i})\}^{n}_{i=1}</math>, где <math>w_{i}</math> - вес i-го предмета, а <math>v_{i}</math> - стоимость, и также два целых числа <math>c</math> - максимальный вес и <math>p</math> - минимальная стоимость. Требуется определить, можно ли выбрать такой набор предметов, что их суммарная стоимость больше либо равна <math>p</math>, а вес меньше или равен <math>c</math>:
 <p style="text-align:center;">
-<math>\exist \{k_{j}\} \subseteq (1..n): (\sum_{i \in k_{j}}{v_{i}} \geq p) \wedge (\sum_{i \in k_{j}}{w_{i}} \leq c)</math>
+<math>\exist P' \subseteq P: (\sum_{(w_{i},v_{i}) \in P'}{v_{i}} \geq p) \wedge (\sum_{(w_{i},v_{i}) \in P'}{w_{i}} \leq c)</math>
 </p>
 ==Доказательство NP-полноты==
-Для доказательства того, что <math>\mbox{Knapsack problem} \in NPC</math> необходимо доказать два факта:
+Для доказательства того, что Knapsack problem <math>\in</math> [[NPC]], необходимо доказать два факта:
-*<math>\mbox{Knapsack problem} \in</math> [[NP|<math>NP</math>]]
+*Knapsack problem <math>\in</math> [[NP]]
-*<math>\mbox{Knapsack problem} \in</math> [[NPH|<math>NPH</math>]]
+*Knapsack problem <math>\in</math> [[NPH]]
 ===Доказательство принадлежности к NP===
-В качестве сертификата возьмем удовлетворяющее условию задачи подмножество пар <math>\{k_{j}\}</math>. Очевидно, оно удовлетворяет всем требованиям,
+В качестве сертификата возьмем удовлетворяющее условию задачи подмножество пар <math>P'</math> с суммарным весом, не большим <math>c</math> и стоимостью не меньше <math>p</math>. Очевидно, оно удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом и работает за полиномиальное от размера входа время.
 ===Доказательство принадлежности к NPH===
-Сведем [[NP-полнота задачи о сумме подмножества|задачу о сумме подмножества]] к задаче о рюкзаке. Пусть <math>f\!\!:(\{s_{i}\},s) \to (\{w_{i}\},\{v_{i}\},c,p)</math> - функция, осуществляющее сведение. Она будет устроена так:
+Сведем [[NP-полнота задачи о сумме подмножества|задачу о сумме подмножества]] к задаче о рюкзаке. Пусть <math>f\!\!:(S,s) \to (P,c,p)</math> - функция, осуществляющее сведение. Она будет устроена так:
 <p style="text-align:center;">
-<math>f(\{s_{i}\},s) = (\{s_{i}\},\{s_{i}\},s,s) \,</math>
+<math>f(S,s) = ((S,S),s,s) \,</math>
 </p>
-Очевидно, <math>f~</math> работает за полиномиальное от длины входа время. И удовлетворяет условиям [[Сводимость по Карпу|сводимости по Карпу]].
+*Очевидно, <math>f~</math> работает за полиномиальное от длины входа время.