Opij1Sumwc - История изменений

Maintenance script: rollbackEdits.php mass rollback

2022-09-04T16:21:53Z

rollbackEdits.php mass rollback

194.26.192.187 в 05:20, 1 сентября 2022

2022-09-01T05:20:17Z

Qradimir: Скобки, см. также

2016-06-07T01:18:19Z

Скобки, см. также

Qradimir в 09:37, 6 июня 2016

2016-06-06T09:37:00Z

Qradimir в 21:36, 5 июня 2016

2016-06-05T21:36:09Z

Qradimir: Конспект создан

2016-06-05T21:34:26Z

Конспект создан

Новая страница

<tex dpi="200">O \mid p_{ij}=1 \mid \sum w_i C_i</tex>
{{Задача
|definition = Дано <tex>m</tex> одинаковых станков, которые работают параллельно и <tex>n</tex> работ, котороые необходимо выполнить в произвольном порядке на всех станках. Время выполнения каждой работы на любом станке одинаково и равно 1. Необходимо минимизировать взвешенную сумму времен завершения работ.
}}

==Алгоритм==

===Описание алгоритма===
{{Утверждение
|statement=Оптимальный ответ для <tex>S = O \mid p_{ij}=1 \mid \sum w_i C_i</tex> равен оптимальному ответу к задаче <tex>S' = P \mid p_i=m, pmtn \mid \sum w_i C_i</tex>
|proof=Для доказательства этого утверждения необходимо показать то, что из оптимальности <tex> S' </tex> следует оптимальность <tex> S </tex>, и способ построения допустимого расписания для <tex> S </tex> из расписания для <tex> S' </tex>:
# Целевые функции задач совпадают, поэтому из оптимальности <tex> S' </tex> следует оптимальность <tex> S </tex>.
# Покажем, как получить из расписания <tex> S' </tex> допустимое расписание для <tex>S</tex> (в расписании для <tex>S'</tex> допустимость нарушает то, что на одном станке выполняется несколько блоков одной работы):
## Построим двудольный граф, в левую долю которого поместим работы, а в правую — возможные моменты времени. Из вершины, соответствующей работе <tex> i </tex> будет идти ребро в вершину, соответствующую временному моменту <tex> t</tex>, если работа <tex> i </tex> в расписании для <tex> S' </tex> претендует на выполнение в момент времени <tex>t</tex>.
## Раскрасим ребра этого графа в <tex>m</tex> цветов, из теории графов известно, что это можно сделать.
## Назначим выполнение единичного элемента работы <tex>i</tex> в момент времени <tex>t</tex> на станке <tex>k</tex>, если соответствующее ребро раскрашено в цвет <tex>k</tex>.
## После данного преобразования мы не изменим значение целевой функции (так как мы переставляем только элементы работ, выполняющихся в один и тот же момент времени). Также расписание станет допустимым для <tex> S </tex>, так как по определению реберной раскраски, не будет ни одной работы, два единичных блока которых выполняется на одном станке и во все моменты времени не окажется того, что на один станок назначено две работы.
}}
Чтобы непосредственно решить эту задачу, воспользуемся теоремой о том, что для задачи <tex> P \mid p_i=m, pmtn \mid \sum w_i C_i </tex> существует оптимальное расписание без прерываний<ref>P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, p. 121 </ref>. Известно, что для того, чтобы получить оптимальное расписание для такой задачи без прерываний, надо помещать работы по очереди на станки <tex>1 \dots m </tex> в порядке убывания весов. Длительности у всех работ совпадают, поэтому расписание будет состоять из <tex> \lfloor \frac{n}{m} \rfloor </tex> блоков по <tex> m </tex> работ и, возможно, одного неполного блока из <tex> n \mod m </tex> работ. Таким образом, аналогично задаче <tex> O \mid p_{ij}=1 \mid C_{max}</tex>, чтобы получить допустимое расписание, можно не строить раскраску графа, а просто циклически сдвигать последовательности работ внутри каждого блока.

===Время работы===
Чтобы построить циклические сдвиги внутри одного блока требуется <tex> O(m^2) </tex> времени. Всего блоков <tex> O(\frac{n}{m}) </tex>.
Значит, итоговая ассимптотика равна <tex> O(n \cdot m) </tex>.

==См. также.==
* [[Методы решения задач теории расписаний]]

==Примечания==
<references/>

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория расписаний]]

← Предыдущая		Версия 16:21, 4 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
−	~~{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"~~
−	\|+
−	~~\|-align="center"~~
−	~~\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|
−	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
−
−	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
−
−	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
−
−	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
−
−	~~''Антивоенный комитет России''~~
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
−	~~\|-style="font-size: 16px;"~~
−	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
−	\|}
−
	<tex dpi="200">O \mid p_{ij}=1 \mid \sum w_i C_i</tex>		<tex dpi="200">O \mid p_{ij}=1 \mid \sum w_i C_i</tex>
	{{Задача		{{Задача

← Предыдущая		Версия 05:20, 1 сентября 2022
Строка 1:		Строка 1:
		+	{\| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
		+	\|+
		+	\|-align="center"
		+	\|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|
		+	24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
		+
		+	Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
		+
		+	Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
		+
		+	Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
		+
		+	''Антивоенный комитет России''
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
		+	\|-style="font-size: 16px;"
		+	\|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
		+	\|}
		+
	<tex dpi="200">O \mid p_{ij}=1 \mid \sum w_i C_i</tex>		<tex dpi="200">O \mid p_{ij}=1 \mid \sum w_i C_i</tex>
	{{Задача		{{Задача

@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 {{Утверждение
 |statement=Оптимальный ответ для <tex>S = O \mid p_{ij}=1 \mid \sum w_i C_i</tex> равен оптимальному ответу к задаче <tex>S' = P \mid p_i=m, pmtn \mid \sum w_i C_i</tex>
-|proof=Для доказательства этого утверждения необходимо показать то, что из оптимальности <tex> S' </tex> следует оптимальность <tex> S </tex>, и способ построения допустимого расписания для <tex> S </tex> из расписания для <tex> S' </tex>:
+|proof=Для доказательства этого утверждения необходимо показать то, что из оптимальности <tex> S' </tex> следует оптимальность <tex> S </tex>, и предоставить способ построения допустимого расписания для <tex> S </tex> из расписания для <tex> S' </tex>:
 # Целевые функции задач совпадают, поэтому из оптимальности <tex> S' </tex> следует оптимальность <tex> S </tex>.
 # Покажем, как получить из расписания <tex> S' </tex> допустимое расписание для <tex>S</tex> (в расписании для <tex>S'</tex> допустимость нарушает то, что на одном станке выполняется несколько блоков одной работы):
@@ Строка 16: / Строка 16: @@
 ## После данного преобразования мы не изменим значение целевой функции (так как мы переставляем только элементы работ, выполняющихся в один и тот же момент времени). Также расписание станет допустимым для <tex> S </tex>, так как по определению реберной раскраски, не будет ни одной работы, два единичных блока которых выполняется на одном станке и во все моменты времени не окажется того, что на один станок назначено две работы.
 }}
-Чтобы непосредственно решить эту задачу, воспользуемся теоремой о том, что для задачи <tex> P \mid p_i=m, pmtn \mid \sum w_i C_i </tex> существует оптимальное расписание без прерываний<ref>P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, p. 121 </ref>. Известно, что для того, чтобы получить оптимальное расписание для такой задачи без прерываний, надо помещать работы по очереди на станки <tex>1 \dots m </tex> в порядке убывания весов. Длительности у всех работ совпадают, поэтому расписание будет состоять из <tex> \lfloor \frac{n}{m} \rfloor </tex> блоков по <tex> m </tex> работ и, возможно, одного неполного блока из <tex> n \bmod m </tex> работ. Таким образом, аналогично задаче <tex> O \mid p_{ij}=1 \mid C_{max}</tex>, чтобы получить допустимое расписание, можно не строить раскраску графа, а просто циклически сдвигать последовательности работ внутри каждого блока.
+Чтобы непосредственно решить эту задачу, воспользуемся теоремой о том, что для задачи <tex> P \mid p_i=m, pmtn \mid \sum w_i C_i </tex> существует оптимальное расписание без прерываний<ref>P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, p. 121 </ref>. Известно, что для того, чтобы получить оптимальное расписание для такой задачи без прерываний, надо помещать работы по очереди на станки <tex>1 \dots m </tex> в порядке убывания весов. Длительности у всех работ совпадают, поэтому расписание будет состоять из <tex> \left\lfloor \dfrac{n}{m} \right\rfloor </tex> блоков по <tex> m </tex> работ и, возможно, одного неполного блока из <tex> n \bmod m </tex> работ. Таким образом, аналогично задаче <tex> O \mid p_{ij}=1 \mid C_{max}</tex>, чтобы получить допустимое расписание, можно не строить раскраску графа, а просто циклически сдвигать последовательности работ внутри каждого блока.
 ===Время работы===
-Чтобы построить циклические сдвиги внутри одного блока требуется <tex> \mathcal{O}(m^2) </tex> времени. Всего блоков <tex> \mathcal{O}(\frac{n}{m}) </tex>.
+Чтобы построить циклические сдвиги внутри одного блока требуется <tex> \mathcal{O} \left( m^2 \right) </tex> времени. Всего блоков <tex> \mathcal{O} \left( \dfrac{n}{m} \right) </tex>.
 Значит, итоговая ассимптотика равна <tex> \mathcal{O}(n \cdot m) </tex>.
 ==См. также.==
 * [[Методы решения задач теории расписаний]]
 ==Примечания==
 <references/>
-[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
+[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 [[Категория: Теория расписаний]]

@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 |definition = Дано <tex>m</tex> одинаковых станков, которые работают параллельно и <tex>n</tex> работ, котороые необходимо выполнить в произвольном порядке на всех станках. Время выполнения каждой работы на любом станке одинаково и равно 1. Необходимо минимизировать взвешенную сумму времен завершения работ.
 }}
 ==Алгоритм==