Троичный поиск

Эта статья находится в разработке!

Троичный поиск (или тернарный поиск) — метод поиска минимума или максимума функции на отрезке.

Рассмотрим этот алгоритм на примере поиска минимума (поиск максимума аналогичен).

Пусть функция [math]f(x)[/math] на отрезке [math][l, r][/math] имеет минимум, и мы хотим найти точку [math]x_{min}[/math], в которой он достигается.

Посчитаем значения функции в точках [math] a = l + \frac{(r-l)}{3} [/math] и [math] b = l + \frac{2(r-l)}{3} [/math]. Так как в точке [math]x_{min}[/math] минимум, то на отрезке [math][l, x_{min}][/math] функция убывает, а на [math][x_{min}, r][/math] — возрастает, то есть [math] \forall x', x'' \in [l, r]: \\ l \lt x' \lt x'' \lt x_{min} \Rightarrow f(l) \gt f(x') \gt f(x'') \gt f(x_{min}) \\ x_{min} \lt x' \lt x'' \lt r \Rightarrow f(x_{min}) \lt f(x') \lt f(x'') \lt f(r) [/math].

Значит если [math]f(a) \lt f(b)[/math], то [math]x_{min} \in [l, b][/math], аналогично из [math]f(a) \gt f(b)[/math] следует [math] x_{min} \in [a, g][/math]. Тогда нам нужно изменить границы поиска и искать дальше, пока не будет достигнута необходимая точность, то есть [math] r-l \lt \varepsilon [/math].

Псевдокод:

ternarySearch(l, r, eps) 
  if (r-l < eps)
    return (left + right) / 2
  a = (left * 2 + right) / 3
  b = (left + right * 2) / 3
  if (f(a) < f(b))
    return ternarySearch(f, a, r, eps)
  else
    return ternarySearch(f, l, b, eps)
end