Теорема Радо-Эдмондса (жадный алгоритм)

Теорема (Радо-Эдмондса):

На носителе матроида [math]M = \langle X, I \rangle[/math] задана весовая функция [math]\omega: X \to \mathbb R[/math]. Пусть [math]A \in I[/math] — множество минимального веса среди независимых подмножеств [math]X[/math] мощности [math]k[/math]. Возьмем [math]x: A \cup x \in I[/math], [math]x \notin A[/math], [math]\omega (x)[/math] — минимальна. Тогда [math]A \cup x[/math] — множество минимального веса среди независимых подмножеств [math]X[/math] мощности [math]k + 1[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]B \in I[/math] — множество минимального веса среди независимых подмножеств [math]X[/math] мощности [math]k + 1[/math]. Из определения матроида: [math]\exists y \in B\setminus A : A \cup y \in I[/math]. Тогда верны два неравенства: [math]\omega (A \cup y) = \omega (A) + \omega (y) \ge \omega (B) \Rightarrow \omega (A) \ge \omega (B) - \omega (y)[/math], [math]\omega (B \setminus y) = \omega (B) - \omega (y) \ge \omega (A)[/math]. Заметим, что величина [math]\omega (A)[/math] с двух сторон ограничивает величину [math]\omega (B) - \omega (y)[/math]. Значит, эти величины равны: [math]\omega (A) = \omega (B) - \omega (y) \Rightarrow \omega (A) + \omega (y) = \omega (B)[/math]. Следовательно, [math]\omega (A \cup y) = \omega (A) + \omega (y) = \omega (B)[/math]. Таким образом получаем, что если объединить множество [math]A[/math] с [math]x[/math] — минимальным из таких, что [math]A \cup x \in I[/math], — то получим множество минимального веса среди независимых подмножеств [math]X[/math] мощности [math]k + 1[/math].

[math]\triangleleft[/math]