Изменения

Пусть вершина <tex>v</tex> эйлерова графа <tex>G</tex> принадлежит любому циклу. Рассмотрим произвольную <tex>(v, w)</tex>-цепь <tex>P</tex> и покажем, что её можно продолжить до [[Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов|эйлерового цикла]]. Обозначим через <tex>G_1</tex> подграф графа <tex>G</tex>, полученный удалением из <tex>G</tex> всех рёбер цепи <tex>P</tex>. Если <tex>w=v</tex>, то все вершины подграфа <tex>G_1</tex> имеют чётную степень, если же <tex>w\ne v</tex>, то <tex>G_1</tex> содержит в точности две вершины нечётной степени. Пусть <tex>H_0</tex> — компонента связности графа <tex>G_1</tex>, содержащая вершину <tex>v</tex>. Ясно, что вершина <tex>w</tex> принадлежит <tex>H_0</tex> . Следовательно, <tex>H_0</tex> — полуэйлеров граф, и потому в <tex>H_0</tex> существует эйлерова <tex>(v, w)</tex>-цепь <tex>Q</tex>. Очевидно, что <tex>H_0</tex> содержит все рёбра графа <tex>G_1</tex>. Предположим, что <tex>G_1</tex> содержит неодноэлементную компоненту связности <tex>H</tex>, отличную от <tex>H_0</tex>. Тогда <tex>H</tex> — эйлеров граф, и потому в <tex>H</tex> содержится цикл. Этот цикл не проходит через вершину <tex>v</tex>, что невозможно. Следовательно, все компоненты связности подграфа <tex>G_1</tex>, отличные от <tex>H_0</tex>, одноэлементны.<br>

Обратно, пусть в графе <tex>G</tex> существует цикл <tex>C</tex>, не содержащий вершину <tex>v</tex>. Рассмотрим подграф <tex>G_1</tex>, полученный удалением из <tex>G</tex> всех ребер цикла <tex>C</tex>. Пусть <tex>H</tex> — компонента связности подграфа <tex>G_1</tex>, содержащая вершину <tex>v</tex>. Легко понять, что <tex>H</tex> — эйлеров граф. Обозначим через <tex>P</tex> эйлеров цикл подграфа . Можно считать, что началом и концом цикла <tex>P</tex> является вершина <tex>v</tex>. Поскольку <tex>v</tex> не принадлежит циклу <tex>C</tex>, цепь <tex>P</tex> нельзя продолжить до эйлерового цикла графа <tex>G</tex>.