Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания

Алгоритм

Пусть дан двудольный граф [math]G(V, E)[/math] и требуется найти максимальное паросочетание в нём. Преобразуем его в граф [math]G'(V', E')[/math] следующим образом:

[math]V' = V \cup \{s, t\}[/math]

Обозначим доли исходного графа как [math]L[/math] и [math]R[/math]. Тогда [math]E' = \{(s,u): u \in L\} \cup \{(u, v): u \in L, v \in R\} \cup \{(v, t): v \in R\} [/math]

1. Будем искать путь из [math]s[/math] в [math]t[/math] поиском в глубину.
2. Если путь найден, инвертируем все рёбра на пути.
3. Если путь не был найден, значит текущее паросочетание является максимальным, и алгоритм завершает работу. Иначе переходим к пункту 1.

В любой момент времени текущим паросочетанием будет множество рёбер, направленных из [math]R[/math] в [math]L[/math].

Очевидно, что путь из [math]s[/math] в [math]t[/math] является дополняющей цепью для исходного графа [math]G[/math]. Тогда корректность алгоритма следует из теоремы Бержа.

Псевдокод

 bool  dfs(x)
   if vis[x]
     return false
   vis[x] = true
   for [math]xy \in E[/math]
     if py[y] = -1
       py[y] = x
       px[x] = y
       return true
     else if dfs(py[y])
       py[y] = x
       px[x] = y
       return true
   return false

 px[] = -1
 py[] = -1
 while (changed)
   changed = false
   vis[] = false
   for [math]x \in L[/math]
     if (px[x] == -1) 
         if dfs(x)
             changed = true

Литература

• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)